張林麗，肖莉，劉安平

（1.?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院公共課部，海南海口571127；20中國地質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北武漢430074

一類基于比率的且有收獲率和時滯的捕食系統(tǒng)在時間尺度上的周期解

張林麗1，肖莉2，劉安平2

（1.?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院公共課部，海南?？?71127；20中國地質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北武漢430074

研究一類基于比率且具有收獲和時滯的兩種群捕食者—食餌周期系統(tǒng)，利用重合度理論中的延拓定理建立了這類系統(tǒng)在時間尺度上正周期解存在的一個充分性判據(jù)，推廣了已知的相關(guān)結(jié)論.

時滯；收獲率；重合度；時間尺度；周期解

捕食者—食餌系統(tǒng)是生態(tài)數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的模型，現(xiàn)已有大量的研究工作[1-2].目前，對具有比率型功能性反應(yīng)的捕食者—食餌兩種群模型已成為研究熱點(diǎn)之一[3-5].時滯會對種群系統(tǒng)產(chǎn)生影響，Dong[6]利用重合度證明了具有常時滯和基于比率的捕食者—食餌系統(tǒng)（1）正周期解的存在性：

具有收獲率的系統(tǒng)，由于存在開發(fā)項(xiàng)，往往表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為[5].1988年Hilger在他的博士論文中引入時間尺度的概念[7]，旨在把微分方程和差分方程結(jié)合在一起，避免兩次證明結(jié)果的麻煩，最近幾年有關(guān)動力學(xué)方程在時間尺度上性質(zhì)的研究受到越來越多學(xué)者的關(guān)注[8-10].結(jié)合時間尺度的優(yōu)點(diǎn)，本文研究基于比率具有收獲率和變時滯的且有Machaelis-Menten功能性反應(yīng)的捕食者—食餌系統(tǒng)：其中y1（t）和y2（t）分別表示t時刻食餌種群與捕食者種群的密度；hi（t）（i=1，2）表示兩個種群的收獲率；τ1（t）、τ2（t）、h1（t）、h2（t）≥0且是周期為ω的周期函數(shù)均是周期為ω的周期函數(shù)；a（t）和d（t）分別滿足，T是具有時間周期的時間尺度.

如果T=Z，則系統(tǒng)（2）可以化為系統(tǒng)（4）：

1 引理

實(shí)數(shù)的任何非空閉子集都可以稱為時間尺度，時間尺度具有實(shí)數(shù)的拓?fù)淇臻g和序列性質(zhì).

定義2T≠R是以p為周期的時間尺度，對于函數(shù)f∶T→R，如果存在一個自然數(shù)p對于所有的t∈T滿足ω=np，ω是最小正數(shù)滿足f（t+ω）=f（t），則稱函數(shù)f是周期為ω的周期函數(shù).如果T=R，ω是最小正數(shù)使得函數(shù)f滿足f（t+ω）=f（t），則稱函數(shù)f是周期為ω的周期函數(shù).

引理1[10]設(shè)X、Y是Banach空間，L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，在上是L-緊的，其中Ω是X中的有界開集，且滿足：

（I）對任意的λ∈() 0,1，方程Lx=λNx的解滿足x∈?Ω∩Dom L；

（II）對任意的x∈Ker L∩?Ω,QNx≠0；

（III）deg{} JQN,Ω∩Ker L,0≠0；

則方程Lx=Nx在DomL∩-Ω內(nèi)至少存在一個解.

本文使用記號：

其中g(shù)（t）是連續(xù)的正的ω-周期函數(shù).

2 主要結(jié)論

為了證明系統(tǒng)（2）周期解的存在性，需要把問題放到重合度理論的框架中.

于是由（6）~（10）式可得：

以及

另一方面，由（7）~（10）式可得：

以及

因此，引理中的所有條件均成立，由引理知，系統(tǒng)（2）至少存在一個ω-周期解.

注2通過注1可知，如果系統(tǒng)（2）至少有一個ω-周期解，則對應(yīng)的系統(tǒng)（3）和（4）至少有一個ω-周期解.在系統(tǒng)（3）中，如果τ1（t）=τ2（t）=τ≥0，h1（t）=，則系統(tǒng)（3）表示系統(tǒng)（1）.

[1]陳蘭蓀,陳健. 非線性生物動力系統(tǒng)[M]. 北京:科學(xué)出版社,1993.

[2]程榮福,趙明. 一類捕食者與被捕食者模型的持久性與穩(wěn)定性[ J ]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,23(2):289-294.

[3]趙明,程榮福. 捕食者具有階段結(jié)構(gòu)和基于比率的捕食系統(tǒng)的正周期解[ J ]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2010,25(1):88-96.

[4]劉龍,李明,于立澤,等. 一類具有時滯和基于比率的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解[ J ]. 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,24(3):59-61.

[5]王輝. 一類基于比率的且具有收獲率和時滯的捕食系統(tǒng)的周期解[ J ]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(5):520-528.

[6]Dong Z Guo Y, Zhu Y. Periodic solutions for a ratio- de?pendent predator- prey system of two species[ J ]. J HebeiUniv Sci Technol,2004,25(1):1-4.

[7]Hilger S. Analysis on measure chainsa unified approach tocontinuous and discrete calculus[ J ]. Results Math,1990,18(1):18-56

[8]Li Y, Zhang H. Existence of periodic solutions for a periodicmutualism model on time scales[ J ]. J Math Anal Appl,2008,343(1):818-825.

[9]Li H J, Liu A P, Hao Z T. Existence for periodic solutions ofa ratio-dependent predator-prey system with time-varyingdelays on time scales[ J ]. Analysis and Applications,2010,8(3):227-233.

[10]Gaines R E, Mawhin J L. Coincidence degree and nonlin?ear differential equation[M]. Berlin:Springer-Verlag,1977.

責(zé)任編輯：畢和平

Periodic Solutions of a Ratio-dependent Predator-prey System with Harvesting and Time-varying Delays on Time Scales

ZHANG Linli1，XIAO Li2，LIU Anping2
（1.Department of Public Course，Haikou College of Economics，Haikou 571127，China；2.School of Mathematics and Physics，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China）

A class of two-species ratio-dependent predator-prey system with harvesting and time-varying delays is stud?ied.By using the Prolongation theorem of coincidence degree theory,the existence result of positive periodic solution on time scales is established and a solid basis to prove the solution is obtained，which improves some known relevant results.

time-varying delays；harvesting；coincidence degree；time scales；periodic solution

O 175.13

A

1674-4942（2014）04-0382-05

2014-08-28

973項(xiàng)目（2011CB710604）；海南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（112006，112007）；海南省教育廳高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（Hjkj2013-47）