張林麗，何蓮花

（1.?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院基礎(chǔ)課部，海南?？?71127；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550001）

一類(lèi)具有脈沖和時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的反周期解

張林麗1，何蓮花2

（1.海口經(jīng)濟(jì)學(xué)院基礎(chǔ)課部，海南海口571127；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550001）

利用迭代分析方法研究了一類(lèi)具有脈沖和時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反周期解的存在性和唯一性，以及平衡點(diǎn)的一致穩(wěn)定性，得到了一些新的結(jié)論.

迭代分析方法；反周期解；脈沖；時(shí)滯

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)模型的研究中，細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作為目前最流行的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之一，被廣泛地應(yīng)用于生物、工程、信號(hào)與圖像處理等不同領(lǐng)域.信號(hào)在傳播和處理過(guò)程中不可避免地會(huì)受外界干擾和產(chǎn)生時(shí)滯現(xiàn)象，而脈沖和時(shí)滯往往是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)振動(dòng)和不穩(wěn)定的原因；同時(shí)，系統(tǒng)往往處于周期變化的環(huán)境下，其動(dòng)力學(xué)呈現(xiàn)出周期性特征，因此，探討神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期動(dòng)力學(xué)行為具有實(shí)際意義.目前，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的研究吸引了越來(lái)越多的關(guān)注[1-2]，其中關(guān)于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)周期解的理論和應(yīng)用也得到了充分探討[3-6]，但研究具有脈沖時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反周期解的文獻(xiàn)尚不多見(jiàn)[7-10].本文利用迭代分析方法研究了一類(lèi)具有脈沖和時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)反周期解的存在性、唯一性以及平衡點(diǎn)的一致穩(wěn)定性.

本文考慮如下一類(lèi)具有脈沖和時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：其中，n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；脈沖時(shí)刻tk滿足表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通并且無(wú)外部附加電壓差的情況下第i個(gè)神經(jīng)元恢復(fù)靜止?fàn)顟B(tài)下的速率表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸出作用于第i個(gè)神經(jīng)元上的影響強(qiáng)度表示第j個(gè)神經(jīng)元在t-τj時(shí)刻的輸出作用于第i個(gè)神經(jīng)元上的影響強(qiáng)度，并且τj0，表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的沿第j個(gè)神經(jīng)元的軸突信號(hào)傳輸時(shí)滯；表示在t時(shí)刻第j個(gè)神經(jīng)元的輸出量表示在t時(shí)刻第i個(gè)神經(jīng)元的外部輸入表示在固定的脈沖時(shí)刻tk所產(chǎn)生的爆破；是定義在上的一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù)；

假設(shè)：（A1）存在T>0，對(duì)?t,v∈R，有

（A2）存在p∈Z+，有

令

以及范數(shù)

那么P是一個(gè)Bɑnɑch函數(shù)空間.

那么可以得到：

為了證明系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，只需要證明系統(tǒng)（2）的平凡解是穩(wěn)定的.

定義范數(shù)：

定義1若一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)

滿足以下兩個(gè)條件，則稱(chēng)x（t）為系統(tǒng)（1）的解：

（2）?t∈() 0,+∞，均有x（t+T）=-x（t）；

（3）x（t）在t≠tk處處連續(xù)，并且對(duì)于存在.

1 基本假設(shè)

以下是本文的基本假設(shè)條件：

（H1）存在常數(shù)Li>0，使得

成立；

（H2）存在qik（t）>0，使得

成立；

記：

（H3）0

引理1系統(tǒng)（2）的T-反周期解

可以表示成下列積分形式：

其中

其中

當(dāng)t∈[] 0,t1時(shí)，此時(shí)無(wú)脈沖，有

那么當(dāng)t=t1時(shí)，

在（t1，t2]上考慮柯西問(wèn)題（2）和初始值，有

在區(qū)間（t2，t3]，（t3，t4]，…，（tp，T]上重復(fù)以上的步驟很容易得到下式成立：

令t=T可以得到

將（4）代入到（3）式中去，可以得到對(duì)于任意的t∈J1都有下式成立：

2 主要結(jié)論

定理1若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則系統(tǒng)（2）有唯一的一組T-反周期解

并且滿足

證明定義如下迭代序列：

其中i，j=1，…，n.

利用歸納法易得如下不等式成立

進(jìn)一步可以推導(dǎo)出

則

反證法：假設(shè)u（t）=[u1（t），u2（t），…，un（t）]T為系統(tǒng)（2）的另一組T-反周期解，則

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，可推導(dǎo)出

將i=1，2，…，n代入到（6）式中，并將n個(gè)式子相加，可以得到下列不等式：

由假設(shè)條件（H3）可得，i=1，2，…，n.即系統(tǒng)（2）只有唯一的一組T-反周期解.

由定理1，可以得到如下結(jié)論：

定理2若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則系統(tǒng)（1）有唯一的一組T-反周期解

定理3若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則系統(tǒng)（2）的平凡解是一致穩(wěn)定的.

由定理3，可以得到定理4.

定理4若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是一致穩(wěn)定的.

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責(zé)任編輯：畢和平

Anti-periodic Solutions for a Class of Cellular Neural Networks With Impulsive and Time Delays

ZHANG Linli1，HE Lianhua2
（1.Department of Basic Course，Haikou College of Economics，Haikou 571127，China；2.School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China）

In this pɑper,by meɑns of iterɑtive ɑnɑlysis,the existence ɑnd uniqueness of ɑnti-periodic solution ɑnd the uni?form stɑbility of the equilibrium point of impulsive cellulɑr neurɑl networks with time delɑys ɑre considered.Some new re?sults ɑre obtɑined.

iterɑtive ɑnɑlysis；ɑnti-periodic solution；impulses；time delɑys

O221.2

A

1674-4942（2014）03-0249-05

2014-04-07

海南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(112006)；海南省教育廳高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（Hjkj2013-47）；貴州省科學(xué)技術(shù)基金（黔科合J字LKS〔2011]14號(hào)）