張騰飛，魏立力

寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021

集中有序集值信息系統(tǒng)

張騰飛，魏立力

寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021

集值信息系統(tǒng)是完備信息系統(tǒng)的一種推廣，按照語義可劃分為合取集值信息系統(tǒng)和析取集值信息系統(tǒng)。屬性偏好關(guān)系也有兩種：屬性遞增偏好有序和屬性遞減偏好有序。提出一種新的屬性偏好關(guān)系，建立了一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系。這種優(yōu)勢(shì)關(guān)系能夠表示一類屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是趨近于某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值的情形，稱這樣的優(yōu)勢(shì)關(guān)系為屬性集中有序，它可應(yīng)用于某些集值信息系統(tǒng)。

集值信息系統(tǒng)；集中有序；屬性標(biāo)準(zhǔn)值；優(yōu)勢(shì)關(guān)系

1 引言

粗糙集理論[1-3]是由波蘭學(xué)者Paw lak于1982年首先提出的，它是一種刻劃不完整性和不確定性的數(shù)學(xué)工具，能比較有效地分析不完整、不相容、不精確等信息系統(tǒng)，并發(fā)現(xiàn)其中隱含的知識(shí)，揭示潛在的規(guī)律。經(jīng)典的粗糙集理論以不可分辨關(guān)系（等價(jià)關(guān)系）為基礎(chǔ)，其研究對(duì)象是完備信息系統(tǒng)，即所處理的信息系統(tǒng)中每個(gè)對(duì)象的所有屬性值都是已知的。當(dāng)某個(gè)信息系統(tǒng)中的某些屬性的值未知，即數(shù)據(jù)是丟失的，或者是只知道部分?jǐn)?shù)據(jù)，我們稱這樣的信息系統(tǒng)為不完備信息系統(tǒng)[4-7]，在許多實(shí)際問題中，信息系統(tǒng)往往是不完備的，研究不完備信息系統(tǒng)[8]的策略之一是將不完備信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為集值信息系統(tǒng)來處理。

Greco等人[9-11]提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型，該模型把經(jīng)典的等價(jià)關(guān)系推廣到具有偏好的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，為解決具有偏好信息的多屬性決策問題提供了思路。Qian等人[12-13]提出了集值有序信息系統(tǒng)模型，用來處理屬性偏好有序且屬性取值為集值的情況。對(duì)于集值信息系統(tǒng)語義上的理解有多種，Guan和Wang[14]將其歸結(jié)為兩類：

第一類：合取集值信息系統(tǒng)。在這類系統(tǒng)中，對(duì)象在屬性集值中的取值是合取的，即對(duì)象可以取到屬性值中的所有值。例如，屬性a表示屬性“會(huì)講一種語言”，對(duì)象x在屬性a下的取值f(x)={英語,法語,德語}可以理解為對(duì)象x會(huì)講英語、法語和德語三種語言。

第二類：析取集值信息系統(tǒng)。在這類系統(tǒng)中，對(duì)象在屬性集值中的取值是析取的，即只能取到屬性集值中的某一個(gè)值。例如，屬性a表示屬性“會(huì)講一種語言”，對(duì)象x在屬性a下的取值f(x)={英語,法語,德語}可以理解為對(duì)象x會(huì)講英語、法語和德語三種語言中的某一種語言。

對(duì)于具有未知屬性值的不完備信息系統(tǒng)可看作是析取集值信息系統(tǒng)，也可看作合取集值信息系統(tǒng)，這要視情況具體分析。在實(shí)際應(yīng)用中，集值信息系統(tǒng)中屬性往往含有偏好信息，從而導(dǎo)致對(duì)象之間往往存在優(yōu)劣關(guān)系，因此，研究具有二元偏好關(guān)系的集值信息系統(tǒng)是具有重要意義的。

目前，針對(duì)偏好信息的處理主要從兩個(gè)方面來定義了優(yōu)勢(shì)關(guān)系：一是數(shù)值越大越好（遞增偏好有序）；二是數(shù)值越小越好（遞減偏好有序）。然而，這兩種定義方法并不能處理一些實(shí)際問題。例如，對(duì)病人進(jìn)行健康診斷時(shí)，對(duì)于體溫這一指標(biāo)，不是越高越好，也不是越低越好，而是越接近人的正常體溫越好。因此，有必要提出一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義方法。本文針對(duì)這種情況，提出了一種特殊的屬性偏好關(guān)系，建立了一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，這種優(yōu)勢(shì)關(guān)系能夠解決一類屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是屬性值趨向于標(biāo)準(zhǔn)屬性值的問題，稱之為屬性集中有序。

2 預(yù)備知識(shí)

本部分引入的定義出自文獻(xiàn)[12-13，15]，現(xiàn)羅列如下。

定義1（集值信息系統(tǒng)）稱S=(U，A，V，f)是集值信息系統(tǒng)，其中，U={x1，x2，…，xn}為非空有限對(duì)象集合，也稱為論域，A={a1，a2，…，am}為非空有限的屬性集合，V=∪a∈AVa是屬性值的集合，Va表示屬性a∈A的值域，f:U×A→2V是一個(gè)集值映射，滿足| |f(x，a)≥1（對(duì)于?x∈U，a∈A)，其中|·|表示集合中元素的個(gè)數(shù)。

對(duì)于集值信息系統(tǒng)語義上的理解有多種，Guan和Wang將其歸結(jié)為合取集值信息系統(tǒng)和析取集值信息系統(tǒng)兩類，在引言中已經(jīng)討論過，這里不再贅述。

定義2（有序信息系統(tǒng)）給定信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，若信息系統(tǒng)S中所有的條件屬性都是遞增或遞減偏好有序，則稱信息系統(tǒng)S為有序信息系統(tǒng)。

表示在屬性a∈A下，y至少和x一樣好。下面將在數(shù)值域中考慮偏好屬性的序關(guān)系，即Va?N（其中N表示數(shù)值），則?f(y，a)≥f(x，a)（條件偏好屬性a遞增有序）或?f(y，a)≤f(x，a)（條件偏好屬性a遞減有序）。

定義3（優(yōu)勢(shì)關(guān)系和優(yōu)勢(shì)類）給定有序信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義為：

若屬性子集B=B1∪B2，其中，屬性子集B1中的偏好關(guān)系遞增有序，屬性子集B2中的偏好屬性遞減有序，則優(yōu)勢(shì)類的定義為：

定義4（析取集值有序信息系統(tǒng)）給定集值信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，對(duì)于任意的x∈U和任意的a∈A，若對(duì)象x在屬性值f(x，a)中的取值都是析取的，即只能取到屬性集值中的某一個(gè)值，則稱S為析取集值信息系統(tǒng)。若在析取集值信息系統(tǒng)S中進(jìn)行決策規(guī)則獲取時(shí)，總要考慮對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，則稱S為析取集值有序信息系統(tǒng)。

顯然，析取集值有序信息系統(tǒng)是同時(shí)滿足析取集值信息系統(tǒng)和有序信息系統(tǒng)定義的一種特殊的信息系統(tǒng)。

定義5（合取集值有序信息系統(tǒng)）給定集值信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，對(duì)于任意的x∈U和任意的a∈A，若對(duì)象x在屬性值f(x，a)中的取值都是合取的，即要取到屬性集值中的每一個(gè)值，則稱S為合取集值信息系統(tǒng)。若在合取集值信息系統(tǒng)S中進(jìn)行決策規(guī)則獲取時(shí)，我們也總要考慮對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，則稱S為合取集值有序信息系統(tǒng)。

顯然，合取集值有序信息系統(tǒng)是同時(shí)滿足合取集值信息系統(tǒng)和有序信息系統(tǒng)定義的一種特殊的信息系統(tǒng)。

3 集中有序的集值信息系統(tǒng)

對(duì)象在屬性下的最優(yōu)值叫做屬性標(biāo)準(zhǔn)值，某一屬性a的屬性標(biāo)準(zhǔn)值用Ma表示，高于或低于屬性標(biāo)準(zhǔn)值的值都不是最優(yōu)的。例如，若屬性a表示“人的體溫指標(biāo)”，那么Ma就表示人體溫的標(biāo)準(zhǔn)值，也即是人的正常體溫，高于或低于正常體溫的溫度都不是最優(yōu)的。

在集值信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)中，Va表示屬性a∈A的值域，易知屬性a的標(biāo)準(zhǔn)值Ma∈Va。非空有限的屬性集合A={a1，a2，…，am}，其中a1，a2，…，am的屬性標(biāo)準(zhǔn)值分別為Ma1，Ma2，…，Mam，可以用MA={Ma1，Ma2，…，Mam}，表示屬性標(biāo)準(zhǔn)值集。

3.1 集中有序的完備信息系統(tǒng)

定義6（完備信息系統(tǒng)的屬性集中有序）在完備信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)中，Va表示屬性a的值域，Ma表示屬性a的標(biāo)準(zhǔn)值，Ma∈Va。對(duì)于對(duì)象x，y∈U，在屬性a下的取值分別為f(x，a)∈Va、f(y，a)∈Va，若滿足

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

這里的集中有序就是屬性值無論從左側(cè)還是右側(cè)，越靠近屬性標(biāo)準(zhǔn)值的對(duì)象就越有優(yōu)勢(shì)。屬性集中有序是區(qū)別于屬性遞增有序和屬性遞減有序的一種特殊的有序關(guān)系。滿足集中有序的條件屬性，也稱之為具有偏好關(guān)系的屬性。

用表示在屬性a∈A下，y優(yōu)于x，也即y至少和x一樣好。那么定義6可用下式描述。

定義7給定集中有序完備信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義為：

對(duì)象x的優(yōu)勢(shì)類相應(yīng)地為：

例1表1所示的為一個(gè)完備信息系統(tǒng)，其中對(duì)象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1，2，3，4，5}，屬性標(biāo)準(zhǔn)值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=3。

表1 一個(gè)完備信息系統(tǒng)

則信息系統(tǒng)在優(yōu)勢(shì)關(guān)系下的優(yōu)勢(shì)類分別為：

定理1給定集中有序完備信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，則

（1）滿足自反性、傳遞性；

證明（1）和（2）可以由優(yōu)勢(shì)關(guān)系和優(yōu)勢(shì)類的定義直接得到。

3.2 集中有序的析取集值信息系統(tǒng)

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

用表示在屬性a∈A下，y優(yōu)于x，也即y至少和x一樣好。那么定義8可用下式描述。

注：Va表示屬性a∈A的值域，把Va中每個(gè)值與屬性標(biāo)準(zhǔn)值Ma相減后取絕對(duì)值，把所得值的集合表示為Wa。對(duì)于兩個(gè)對(duì)象x，y∈U，在屬性a∈A之下，他們有各自的屬性值域和，同時(shí)也有各自的和，那么，定義8也可用下式表示。

例2表2所示的為一個(gè)析取集值信息系統(tǒng)，其中對(duì)象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1，2，3，4，5，6，7}，屬性標(biāo)準(zhǔn)值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=4。

表2 一個(gè)析取集值信息系統(tǒng)

則信息系統(tǒng)在優(yōu)勢(shì)關(guān)系下的優(yōu)勢(shì)類分別為：

定理2給定析取集中有序集值信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，屬性子集B(B?A)，則

證明（1）和（2）可以由優(yōu)勢(shì)關(guān)系和優(yōu)勢(shì)類的定義直接得到。

3.3 集中有序的合取集值信息系統(tǒng)

則稱在屬性a∈A下，y至少和x一樣好，稱屬性a集中有序。

用表示在屬性a∈A下，y優(yōu)于x，也即y至少和x一樣好。那么定義10可用下式描述。

定義11（優(yōu)勢(shì)關(guān)系和優(yōu)勢(shì)類給定合取集值有序信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，屬性子集B(B?A)，優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義為：

對(duì)象x的優(yōu)勢(shì)類相應(yīng)地為：

例3表3所示為一個(gè)合取集值信息系統(tǒng)，其中對(duì)象集U={x1，x2，…，x10}，屬性集A={a1，a2，a3，a4}，屬性集A中的偏好屬性集中有序，屬性值域Va1=Va2=Va3=Va4= {1,2,3,4,5,6,7}，屬性標(biāo)準(zhǔn)值Ma1=Ma2=Ma3=Ma4=4。

表3 一個(gè)合取集值信息系統(tǒng)

則各對(duì)象在優(yōu)勢(shì)關(guān)系下的優(yōu)勢(shì)類分別為：

定理3給定合取集中有序集值信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，屬性子集B(B?A)，則

（1）滿足自反性、傳遞性；

證明（1）和（2）可以由優(yōu)勢(shì)關(guān)系和優(yōu)勢(shì)類的定義直接得到。

4 結(jié)束語

目前，針對(duì)偏好信息的處理主要從兩個(gè)方面來定義了優(yōu)勢(shì)關(guān)系：一是數(shù)值越大越好（遞增偏好有序）；二是數(shù)值越小越好（遞減偏好有序）。然而，這兩種定義方法并不能表示某些情形。本文提出一種新的條件屬性偏好關(guān)系，建立了一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，這種優(yōu)勢(shì)關(guān)系能夠表示一類條件屬性偏好既不是遞增有序也不是遞減有序，而是趨近于某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值的情形。然后，把這種優(yōu)勢(shì)關(guān)系分別應(yīng)用于析取集值信息系統(tǒng)和合取集值信息系統(tǒng)，基于這種優(yōu)勢(shì)關(guān)系，還可以進(jìn)一步研究對(duì)象排序、屬性約簡和決策分析等問題。

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ZHANG Tengfei,WEI Lili

College of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan,Ningxia 750021,China

Set-valued information system is a promotion of complete information system.According to semantics,it can be divided into conjunctive set-valued information system and disjunctive set-valued information system.There are also two kinds of attribute preference relations：attribute increasing preference order and attribute decreasing preference order. This paper focuses on a new attribute preference relation and establishes a new dominance relation.This new dominance relation can represent a kind of attribute preference which is not the increasing preference order and not the decreasing preference order,but the condition attribute values tend to the standard values of attribute,such a dominance relation is called as attribute ordered concentration,it can be applied to some set-valued information system s.

set-valued information systems;ordered concentration;standard values of attribute;dominance relation

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0320

ZHANG Tengfei,WEI Lili.Set-valued in formation system s based on ordered concentration.Computer Engineering and Applications,2014,50（16）：140-145.

國家自然科學(xué)基金（No.11261044）；寧夏高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目。

張騰飛（1988—），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)閼?yīng)用統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析；魏立力（1965—），通訊作者，男，教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析、人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。E-mail：weill866@163.com

2012-09-27

2012-11-23

1002-8331（2014）16-0140-06

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2012-12-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121218.1528.024.htm l