趙彥仲，吳立文

蘭州理工大學計算機與通信學院，蘭州 730050

Hurst指數估計法的比較和研究

趙彥仲，吳立文

蘭州理工大學計算機與通信學院，蘭州 730050

針對時間序列的Hurst指數的估計方法的問題，目前國內外已經提出了R/S，DAF，絕對值法，周期圖法等多種方法。但上述方法都會對Hurst指數的估計值產生易誤解和不一致的結果。針對這個問題，通過對R/S分析法，小波分析法，迭代估計算法和W hittle法的描述，進行數值模擬來說明這些方法所得Hurst指數估計值的誤差，通過比較能夠得出Whittle法是一種具有更高精度和更好穩(wěn)定性的方法。

分形布朗運動；改進Whittle法；R/S；小波分析法；迭代估計法

1 引言

分形與混沌理論作為非線性科學中的兩個重要組成部分，從上世紀70年代起在經濟、金融研究中得到廣泛的應用，其中估計經濟學中時間序列曲線的Hurst指數H值就是其中之一[1]。Hurst等人曾證明，對應于不同的Hurst指數H(0＜H＜1)，存在以下情況：（1）H=0.5，是相互獨立，方差有限的隨機序列；（2）0.5＜H＜1，表明該序列有長程依賴性，即表現(xiàn)為持續(xù)性，且H越接近1，持續(xù)性越強；（3）0＜H＜0.5，表明該時間序列具有長程依賴性，且將來總體趨勢與過去相反，這種現(xiàn)象稱為反持續(xù)性，H越接近于0，反持續(xù)性越強，而其中隨機性成分越少。到目前為止，國內外學者已經提出了多種估計Hurst指數的方法。其中Hurst提出了重極標差（R/S）分析法，以判斷時間序列數據遵從隨機游走是有偏隨機游走過程的指標，并由Mandelbrot于1971年應用到金融時間序列分析中，成為應用于時間序列的分形特征的有效方法之一；Lo在經典R/S分析法的基礎上給出了修正的R/S分析法（簡稱MR/S），從而克服了經典R/S分析法無法分辨短期相關性與長期相關性的缺點[2]；Giraitis等提出了樣本序列累積離差的方法，更具穩(wěn)健性和有效性[3]。Peng等在研究DNA組織時擴展了普通的波動分析方法，得到了DFA方法，它在消除時間序列局部趨勢及發(fā)現(xiàn)局部相關方面比R/S及MR/S方法更優(yōu)[4]。在Hurst指數估計方法中，R/S分析法是最常用的方法，后來很多學者又提出了小波分析法，迭代估計算法等方法能夠更好地克服估計的周期長，誤差大等問題，特別是有些方法在周期存在的情況下錯誤地檢測到序列中存在的長依賴性[5]?？梢娫跁r間序列中，周期及趨勢項的存在對Hurst指數的估計影響很大，所以在分析之前，應對分析的時間序列進行預處理，以消除周期和趨勢的影響。本文主要針對就混沌，分形金融領域的股票市場中估計Hurst指數時所涉及到的分形維數計算的數學基礎與方法進行詳細討論[6]。雖然很多學者對中國股市的有效性和長記憶性進行了多方面的分析，但他們均是對中國股市的總體有效性進行的研究，都得出了中國金融市場是一個弱式有效市場的結論，但關于中國自證券交易市場成立運行以來，其20多年的市場發(fā)展狀態(tài)少有人研究。近年來，對于金融市場中Hurst指數的估計的研究，陸續(xù)有一些學者利用一些估計方法去估計，但是很少有人去比較這些估計結果，而Whittle分析法作為一種更穩(wěn)定，更有效的分析法亦鮮有人研究[7]。本文最后就各類分形維數的數學定義，以金融市場中滬市，深市股票指數為例，相互聯(lián)系及以各自特點進行比較詳細的分析，并對就時間序列數據所廣泛使用的關聯(lián)維數，對Hurst指數的理論與估算方法進行研究[8]。

2 Hurst指數估計方法

針對Hurst指數的估計，本章主要介紹四種Hurst指數估計方法，包括基于極大似然whittle估計法，R/S分析法，小波分析法和迭代估計算法。

2.1 Whittle估計法

Whittle[9]估計法作為一種參數估計方法，更適合于統(tǒng)計推斷，而且更高效。Whittle估計值，可以通過一下方法得到。

2.2 R/S分析法

R/S[10-11]分析法是現(xiàn)在估計Hurst指數最常用的一種方法，R/S分析法描述如下：

2.3 小波分析法

小波分析法[12-13]描述如下：

給定一時間序列Xi，i=1，2，…，n，對其進行二進制小波變換：

ψ(·)為母小波函數，dx(j，k)為小波變換系數，j為尺度參數，k為平移參數。若Xi為二階平穩(wěn)過程，則

f(v)和ψ(v)分別為Xi的功率譜和ψ(·)的傅里葉變換，而且

其中，c=lb[cfC(H，ψ)]。在(j，lbμj)的圖上，用最小二乘法線性擬合得到的斜率為α=2H-1。

2.4 迭代估計算法

2.4.1 自相似的相關定義

定義1稱為離散隨機過程Xn的m階聚集過程，如果它的k階自相關系數記為ρm(k)。

定義2廣義平穩(wěn)的離散隨機過程Xn稱為自相似的，如果其m階聚集過程與原過程Xn有相同的自相關系數結構，即ρm(k)=ρ(k)，對所有的m(=1，2，…)都成立，也就是說與Xn具有相同的二階統(tǒng)計特性。

廣義平穩(wěn)的自相似過程的自相關函數滿足：

2.4.2 迭代估計算法

網絡流量序列Xt是自相似的，其中Xt表示在第i個時間周期內網絡的業(yè)務量（字節(jié)數、包數量等），則其自相關函數ρk應該滿足式（1），對該式進行變換得到H的迭代計算公式：

對于給定的序列X1，X2，…，Xn， 令

利用樣本自相關函數代替ρk，有Hurst參數的迭代估計公式：

對于長相關過程，設初值=0.5。

式（17）成立的條件是k無窮大，然而實驗證明，k取1不僅能夠獲得足夠精度的Hurst估計值，而且能大大減少運算量。k取較大的值時迭代結果并不理想，導致這種情況的主要是隨著k的增大，代替ρ所產生的誤差對H估計值影響越來越大。因此，在式（17）中取k=1，得到簡化的迭代估計公式：

由不動點定理可以證明該式在（0.5，1）區(qū)間內的收斂性和唯一性。

3 Hurst指數估計方法應用中存在的問題

本文對上述描述的幾種方法中，應用最廣泛的應屬于R/S分析法。R/S分析法屬于非參數分析法，不必假定潛在的分布是高斯分布，僅獨立就可以。R/S分析法的研究對象不僅包括正態(tài)分布，而且也包括非高斯獨立過程。

但是Taqqu等人指出了時間序列中周期存在對Hurst指數的估計有影響，周期越長，估計誤差越大，特別是有些方法在周期存在的情況下，錯誤地檢測到序列中存在的長程依賴性。估計Hurst指數，在監(jiān)測信號中，對指出信號中非平穩(wěn)性質，如均值變化，線性或多項式趨勢對監(jiān)測和估計長程依賴性的影響很大，在此情況下，R/S分析法估計結果差，易于非平穩(wěn)性的具有短程依賴性過程混淆，而小波分析法的估計具有很好的魯棒性。Hurst指數作為表征具有尺度不變和自相關函數緩慢衰減的特點，作為這一類數據統(tǒng)計特性的一個重要指標，它反映了數據的自相似程度及其二階統(tǒng)計特性。小波的出現(xiàn)給這一問題帶來了許多新的內容和方法，這是因為利用小波對信號分析是在尺度和時間域上進行的，尤其他的多尺度特性與自相似過程的尺度不變性有著自然的聯(lián)系。與小波分析法相比，根據自相似過程的自相關函數的計算公式推導出一個估計Hurst指數的迭代公式，更加充分利用了已有信息，誤差相對較小，并且該方法計算速度快，置信區(qū)間小，以及不易受時間尺度影響等優(yōu)點。Whittle估計法，對長記憶性強弱Hurst指數的估計偏差最小，它是一種基于極大似然的參數估計法，該方法比前面提到的常用的幾種方法更適合用于統(tǒng)計推斷，而且更高效?？梢姡跁r間序列中，周期及趨勢項的存在對Hurst指數的估計影響很大，所以在分析之前，應對待分析的時間序列進行預處理，以消除周期和趨勢項的影響，并且選擇適當的方法估計Hurst指數。

4 實驗結果與分析

4.1 數值模擬仿真方法的比較

由于目前對具體分形維參數還沒有一個公認的估計值，因此本節(jié)采用蒙特卡羅仿真模擬，并取樣本分別為350、500和1 000對上文介紹的各種Hurst指數估計方法進行實驗比較和分析。對不同的Hurst指數值H和時間序列長度N，以及路徑數Q，通過調用M atlab自帶的wfbm(H，N)函數[9]產生Q條服從標準分數布朗運動的時間序列，記為(t=1,2,…，N;q=1，2，…，Q)。通過轉化得到Q條服從分數高斯過程的時間序列應用上文介紹的方法對Q組時間序列Sq，t(q=1，2，…，Q;t=1，2，…，N)進行估計，得到Q個Hurst指數估計值Hq(q=1，2，…，Q)。則有其中，H為真實Hurst指數，?為均值，σ為標準差，MSE為均方誤差。通過這三個指標，得出數據估計結果如表1，通過圖1，圖2，圖3的比較圖形，能夠分析估計結果的精確度、穩(wěn)定性、無偏性等指標得出上一節(jié)提到的各種方法的比較分析是合理的。

表2 各種方法的代號及名稱

圖1 當N=350時的結果

4.2 實驗結果分析

通過描點，畫出圖1，2，3。從圖1，當N=350時，可以看出Hurst指數真值一定，使用Whittle方法計算出的Hurst指數估計值最為穩(wěn)定和準確。從圖2，當N=500時，圖3，N=1 000時，可以得出，使用Whittle方法相對其他方法更為精確、穩(wěn)定。

圖2 當N=500時的結果

圖3 當N=1 000時的結果

表3 上證指數和深圳指數收益率序列的基本統(tǒng)計特性1）

4.3 實驗分析及應用

本節(jié)將采用蒙特卡羅仿真模擬證明精度和穩(wěn)定性更好的Whittle方法進行實證分析應用。

4.3.1 數據選擇及統(tǒng)計特性分析

鑒于我國學者多使用滬深兩市股指數據進行長記憶性分析，為了方便比較分析，本文采用上證指數和深圳指數的日收盤價為研究對象，時間分別選取1990年11月19日至2011年2月14日和1991年5月3日至2011年1月14日，上證指數有4 904個樣本，深圳指數有4 874個樣本，數據來源于聚源數據庫。對收益率yt=lbPt-lbpt-1，分別取其絕對值和平均值作為股市波動率的近似值為研究樣本[15]。下面應用Whittle估計法分析上證指數和深圳指數的Hurst指數值。

4.3.2 使用W hittle法對上證指數和深圳指數進行的實驗分析

表3上證指數和深圳指數的收益率序列和波動率序列的峰度和偏度值表明其均有別于正態(tài)分布。從J-B正態(tài)性檢驗結果來看，兩只指數的J-B統(tǒng)計量均顯著地超過了臨界值，概率幾乎為0。因此，兩序列表現(xiàn)出尖峰，厚尾，右偏的特性，均為非正太分布。而ADF統(tǒng)計量的值表明滬深股指均為平穩(wěn)時間序列。

5 結束語

針對Hurst值的估計，本文采用了四種方法，即Whittle、R/S分析法、迭代估計算法和小波分析法。通過蒙特卡洛仿真，使用這四種方法分別對Hurst指數進行了估計和比較。結果表明W hittle算法與國內常用的R/S分析法，迭代估計法和小波分析法這些方法相比較，Whittle估計法克服了這些方法的缺陷，使得估計值具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性，而且與均方根誤差和標準差為指標說明了該方法的優(yōu)越性，并進一步說明了Whittle算法對Hurst指數真實值以及樣本大小敏感度方面的強壯性；而且在時間序列中，Hurst值的變化與樣本容量有很大的關系，H值的總體規(guī)律是：隨著消失矩增大，局部上H值時大時小，總體上H值在減小，消失矩越小，分解級數越大，求解的H值越準確。這一結果對未來的水蓄水量，食品價格，經濟，金融包括醫(yī)學等很多領域的研究提供了有價值的參考。

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ZHAO Yanzhong,WU Liwen

School of Computer and Communication,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China

At present,there are many methods of analyzing the Hurst exponent of time series in and abroad,but most of them could lead to misunderstanding and disagreement to the estimation of Hurst exponent.This paper describes R/S analysis, wavelet analysis,iterative algorithm estimation and modified Whittle analysis,by the means of numerical simulation,to com pare the error of estimation of Hurst exponent that obtained by the above methods.The comparison is made to test and verify Whittle method has the best accuracy and stability.

fractal Brownian motion;improved whittle method;R/S;wavelet analysis;iterative estimation

A

TP393

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0141

ZHAO Yanzhong,WU Liwen.Comparison and application of estimation of Hurst exponent.Computer Engineering and Applications,2014,50（16）：154-158.

趙彥仲（1987—），男，碩士研究生，主要研究領域為分形幾何及其應用；吳立文（1985—），男，碩士研究生，主要研究領域為分形幾何及其應用。E-mail：kurekey@163.com

2012-09-15

2012-11-06

1002-8331（2014）16-0154-05

CNKI網絡優(yōu)先出版：2012-12-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121218.1522.015.htm l