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對(duì)易變質(zhì)多物品庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略的探究

2014-07-12 03:03:46姚云飛
滁州學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年2期
關(guān)鍵詞:增函數(shù)時(shí)變變質(zhì)

童 偉,姚云飛

隨著物流業(yè)的快速發(fā)展,庫(kù)存控制與管理逐漸受到重視,經(jīng)典的EOQ模型也越來越廣為熟知。但是EOQ模型由于其參數(shù)固定而具有一定的局限性。在實(shí)際生活中,許多物品具有一定的變質(zhì)性,例如血液、酒精、水果等食品。覃毅延[1]等提出了需求隨價(jià)格變化的具有折扣的易變質(zhì)物品的庫(kù)存模型,證明了當(dāng)供應(yīng)商給予數(shù)量折扣時(shí),零售商的需求量是增大的,并給出了供應(yīng)商給予數(shù)量折扣時(shí)零售商的訂貨量和訂貨周期的計(jì)算方法。勵(lì)凌峰[2]等研究了變質(zhì)率服從 Weibull分布的易變質(zhì)物品的最優(yōu)采購(gòu)和庫(kù)存策。王道平[3]建立了在需求和采購(gòu)價(jià)格均為時(shí)變的易變質(zhì)物品EOQ模型.羅兵[4]等進(jìn)一步考慮了變質(zhì)物品在存貨影響銷售率且需求和采購(gòu)價(jià)均為時(shí)變時(shí)的EOQ模型。

近年來多物品庫(kù)存受到越來越多的關(guān)注。Bhattacharya[5]考慮了需求為線性的情況下兩種易變質(zhì)物品的庫(kù)存問題。Saha[6]建立了需求依賴庫(kù)存水平的易碎多物品庫(kù)存模型。莫降濤[7]等給出了易變質(zhì)多物品最優(yōu)訂購(gòu)策略的線搜索算法。

本文所研究的是易變質(zhì)多物品庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略,采用適當(dāng)?shù)挠嗁?gòu)策略,使得庫(kù)存系統(tǒng)單位成本最小。一般的訂購(gòu)策略有兩種:一是一次性訂購(gòu)所有的物品,也就是每一次訂購(gòu),則所有的物品都訂購(gòu),這種策略比較方便,但缺乏一定的變通性;二是部分物品同時(shí)訂購(gòu),將一些訂購(gòu)頻率差不多的物品同時(shí)訂購(gòu)。這種方法考慮到物品的組合,每次訂購(gòu)可以選擇性的訂購(gòu)部分物品。本文給出第一種策略的最優(yōu)解,第二種策略的估計(jì)解,并用數(shù)值例子對(duì)兩種策略進(jìn)行比較。

1 模型符號(hào)說明與假設(shè)條件

(1)n表示庫(kù)存系統(tǒng)訂購(gòu)的物品種類數(shù)量,ni表示第i種物品,i=1,2,…,n

(2)Di為第i種物品的需求率,為常數(shù)。

(3)不允許缺貨,補(bǔ)貨率無限大,提前期為零。

(4)A為一次訂購(gòu)物品的基本訂購(gòu)費(fèi)。

(5)Ai為訂購(gòu)第i種物品額外的訂購(gòu)費(fèi),ci為第i種物品單位購(gòu)買成本,h為單位物品單位時(shí)間庫(kù)存持有成本占單位購(gòu)買成本的百分比,T為庫(kù)存周期長(zhǎng)度。

(6)αi為第i種物品的變質(zhì)率,Ii(t)為第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平。

2 模型建立與解的分析

2.1 考慮第一種訂購(gòu)策略,即一次訂購(gòu)所有物品

在這種情況下,所有物品有共同的訂購(gòu)周期,則第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平滿足下式

解上述微分方程,得

相應(yīng)的得到第i種物品的庫(kù)存費(fèi)為:

變質(zhì)費(fèi)為:

庫(kù)存系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均成本為:

事 實(shí)上可令f(x)=ex[(x-1)2+1]-2,則

當(dāng)x>0時(shí)f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)。

定理1atc(T)有最小值解,且唯一。

2.2 部分產(chǎn)品同時(shí)訂購(gòu)

2.2.1 模型的建立

這種情況下,我們考慮訂購(gòu)最為頻繁的一種物品,令這種物品的訂購(gòu)周期為T,則其余物品的訂購(gòu)周期為T的mi(mi為正整數(shù))倍,第i種物品的訂購(gòu)周期即為miT,則第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平滿足下式

解上述微分方程,得

相應(yīng)的得到第i種物品的庫(kù)存費(fèi)為:

變質(zhì)費(fèi)為:

庫(kù)存系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均成本為:

為方便,以下將ATC(T,m1,m2…mn)簡(jiǎn)記為ATC。若ATC要取得極值需滿足下式:

定理2 若存在滿足(3)式和(4)式的一組解(T*,m*1,m*2…m*n),則該解是ATC的最小值解。

證明 分別用ATC對(duì)T和mi求二階偏導(dǎo),可得:

將(3)式帶入上式化簡(jiǎn)可得

其n+1個(gè)順序主子式為

定理3 對(duì)于給定的一組值 (m1,m2…mn)(mi>0)(4)式有唯一確定的解T;對(duì)于給定的T(T>0),(4)式有唯一確定的一組值 (m1,m2…mn)。

證明 將(3)式左右兩邊同時(shí)乘以T2,然后

令左邊為M(T),則

則M(T)在(0,∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)

當(dāng)T→+∞ 時(shí),M(T)→+∞,由介值定理可知,M(T)存在唯一確定的解T,該解T也即為(3)式的解。

同理,將(4)式左右兩邊同時(shí)乘以Tm2i,然后令左邊為Ni(mi)(i=1,2…,n),則

則Ni(mi)在(0,∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)Ni(mi=0)=-Ai<0,當(dāng)mi→+∞時(shí),Ni(mi)→+∞,由介值定理可知,M(T)存在唯一確定的解mi,該解mi也即為(4)式的解。證畢。

對(duì)于(3)式和(4)式的解很難求解出,但是由定理3我們知道對(duì)于給定的一組值(m1,m2…mn)(mi>0)(3)式有唯一確定的解,所以,若能給出 (m1,m2…mn)的估計(jì)值,則最優(yōu)解T很容易求出,從而得到較好的庫(kù)存系統(tǒng)平均費(fèi)用的值。

2.2.2 模型的求解

首先由

算出每一個(gè)物品單獨(dú)訂購(gòu)的最優(yōu)周期,令其中最優(yōu)周期最小的物品i的mi=1,則其他物品的mj由下式給出

這種方法能很好的體現(xiàn)出不同變質(zhì)率下物品的訂購(gòu)頻率,因此是個(gè)比較不錯(cuò)的估計(jì)方法。

綜上所述,對(duì)于策略2,我們可以給出算法如下:

Step 1:輸入各參數(shù),求解方程(4),得到Ti,令Ti值最小的物品mi=1

Step 2:由(5)式 求解出mj,且令mj取整到最接近的整數(shù)

Step 3:將所有物品的mi值及各參數(shù)帶入(3)式并計(jì)算出T*

Step 4:用(2)式計(jì)算出平均成本ATC

3 實(shí)例

某超市訂購(gòu)4種物品,其各參數(shù)如表1.其中h=0.2,A=100。

表1

利用本文所給出的算法,得到T1=0.32,T2=0.4575,T3=0.434,T4=0.248。所以選物品4的m4=1,則m1=1,m2=2,m3=2,T*=0.2917,ATC(T*)=2967.61,Q*1=117,Q*2=478,Q*3=829,Q*4=592。

若將各參數(shù)值帶入(1),解得若使用策略1,其最優(yōu)T*=0.3491,atc(T*)=3259.75。由此可以看出策略2被策略1更好。

下面分析物品的變質(zhì)率αi對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響,為方便起見,這里只以物品1為例。

表2

從表中可以看出,隨著變質(zhì)率的增大,庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)周期逐漸減少,而平均成本增加。

4 結(jié)束語

本文對(duì)易變質(zhì)多物品庫(kù)存系統(tǒng)提出了兩種訂購(gòu)策略,以系統(tǒng)平均費(fèi)用最少為目的建立模型,并嘗試著給出其最優(yōu)解。最后通過數(shù)值列子比較兩種策略的優(yōu)劣,并對(duì)物品變質(zhì)率對(duì)系統(tǒng)訂購(gòu)周期和平均成本進(jìn)行了數(shù)值分析。本文的研究中還有些不足,沒有考慮購(gòu)買費(fèi)用滯后支付對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響,如果允許滯后支付該如何制定最優(yōu)訂購(gòu)策略,這些問題值得進(jìn)一步研究。

[1]勵(lì)凌峰,黃培清,駱建文.易腐物品的庫(kù)存管理研究[J].系統(tǒng)工程,2004(123):25-30.

[2]覃毅延,唐煥文,郭崇慧.需求隨價(jià)格變化的具有折扣的易變質(zhì)物品的庫(kù)存模型[J].運(yùn)籌與管理,2006,15(4):22-26.

[3]王道平,于俊娣,李向陽.需求和采購(gòu)價(jià)格均為時(shí)變的易變質(zhì)物品EOQ模型[J].數(shù)學(xué)的時(shí)間與認(rèn)識(shí),2011,41(8):59-66.

[4]羅 兵,楊 帥,李宇雨.變質(zhì)物品在存貨影響銷售率且需求和采購(gòu)價(jià)均為時(shí)變時(shí)的EOQ模型[J].工業(yè)工程與管理,2005(3):40-44.

[5]Bhattacharya.D.K.Production,manufacturing and logistics on multi-item inventory[J].European Journal of Operational Research2005,162(3):786-791.

[6]Saha A ,et al.Inventory models for breakable items with stock dependent demand and imprecise constraints[J].Mathematical and computer Modeling,2010(52):1771-1782.

[7]莫降濤,陳桂梅,范婷,毛宏.需求依賴即時(shí)庫(kù)存水平的易變質(zhì)多物品最優(yōu)訂購(gòu)[J].系統(tǒng)工程,2011(209):98-102.

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