童 偉，姚云飛

隨著物流業(yè)的快速發(fā)展，庫(kù)存控制與管理逐漸受到重視，經(jīng)典的EOQ模型也越來越廣為熟知。但是EOQ模型由于其參數(shù)固定而具有一定的局限性。在實(shí)際生活中，許多物品具有一定的變質(zhì)性，例如血液、酒精、水果等食品。覃毅延［1］等提出了需求隨價(jià)格變化的具有折扣的易變質(zhì)物品的庫(kù)存模型，證明了當(dāng)供應(yīng)商給予數(shù)量折扣時(shí)，零售商的需求量是增大的，并給出了供應(yīng)商給予數(shù)量折扣時(shí)零售商的訂貨量和訂貨周期的計(jì)算方法。勵(lì)凌峰［2］等研究了變質(zhì)率服從 Weibull分布的易變質(zhì)物品的最優(yōu)采購(gòu)和庫(kù)存策。王道平［3］建立了在需求和采購(gòu)價(jià)格均為時(shí)變的易變質(zhì)物品EOQ模型.羅兵［4］等進(jìn)一步考慮了變質(zhì)物品在存貨影響銷售率且需求和采購(gòu)價(jià)均為時(shí)變時(shí)的EOQ模型。

近年來多物品庫(kù)存受到越來越多的關(guān)注。Bhattacharya［5］考慮了需求為線性的情況下兩種易變質(zhì)物品的庫(kù)存問題。Saha［6］建立了需求依賴庫(kù)存水平的易碎多物品庫(kù)存模型。莫降濤［7］等給出了易變質(zhì)多物品最優(yōu)訂購(gòu)策略的線搜索算法。

本文所研究的是易變質(zhì)多物品庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略，采用適當(dāng)?shù)挠嗁?gòu)策略，使得庫(kù)存系統(tǒng)單位成本最小。一般的訂購(gòu)策略有兩種：一是一次性訂購(gòu)所有的物品，也就是每一次訂購(gòu)，則所有的物品都訂購(gòu)，這種策略比較方便，但缺乏一定的變通性；二是部分物品同時(shí)訂購(gòu)，將一些訂購(gòu)頻率差不多的物品同時(shí)訂購(gòu)。這種方法考慮到物品的組合，每次訂購(gòu)可以選擇性的訂購(gòu)部分物品。本文給出第一種策略的最優(yōu)解，第二種策略的估計(jì)解，并用數(shù)值例子對(duì)兩種策略進(jìn)行比較。

1 模型符號(hào)說明與假設(shè)條件

（1）n表示庫(kù)存系統(tǒng)訂購(gòu)的物品種類數(shù)量，ni表示第i種物品，i＝1，2，…，n

（2）Di為第i種物品的需求率，為常數(shù)。

（3）不允許缺貨，補(bǔ)貨率無限大，提前期為零。

（4）A為一次訂購(gòu)物品的基本訂購(gòu)費(fèi)。

（5）Ai為訂購(gòu)第i種物品額外的訂購(gòu)費(fèi)，ci為第i種物品單位購(gòu)買成本，h為單位物品單位時(shí)間庫(kù)存持有成本占單位購(gòu)買成本的百分比，T為庫(kù)存周期長(zhǎng)度。

（6）αi為第i種物品的變質(zhì)率，Ii（t）為第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平。

2 模型建立與解的分析

2.1 考慮第一種訂購(gòu)策略，即一次訂購(gòu)所有物品

在這種情況下，所有物品有共同的訂購(gòu)周期，則第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平滿足下式

解上述微分方程，得

相應(yīng)的得到第i種物品的庫(kù)存費(fèi)為：

變質(zhì)費(fèi)為：

庫(kù)存系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均成本為：

事 實(shí)上可令f（x）＝ex［（x－1）2＋1］－2，則

當(dāng)x＞0時(shí)f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)。

定理1atc（T）有最小值解，且唯一。

2.2 部分產(chǎn)品同時(shí)訂購(gòu)

2.2.1 模型的建立

這種情況下，我們考慮訂購(gòu)最為頻繁的一種物品，令這種物品的訂購(gòu)周期為T，則其余物品的訂購(gòu)周期為T的mi（mi為正整數(shù)）倍，第i種物品的訂購(gòu)周期即為miT，則第i種物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平滿足下式

解上述微分方程，得

相應(yīng)的得到第i種物品的庫(kù)存費(fèi)為：

變質(zhì)費(fèi)為：

庫(kù)存系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均成本為：

為方便，以下將ATC（T，m1，m2…mn）簡(jiǎn)記為ATC。若ATC要取得極值需滿足下式：

定理2 若存在滿足（3）式和（4）式的一組解（T＊，m＊1，m＊2…m＊n），則該解是ATC的最小值解。

證明 分別用ATC對(duì)T和mi求二階偏導(dǎo)，可得：

將（3）式帶入上式化簡(jiǎn)可得

其n＋1個(gè)順序主子式為

定理3 對(duì)于給定的一組值 （m1，m2…mn）（mi＞0）（4）式有唯一確定的解T；對(duì)于給定的T（T＞0），（4）式有唯一確定的一組值 （m1，m2…mn）。

證明 將（3）式左右兩邊同時(shí)乘以T2，然后

令左邊為M（T），則

則M（T）在（0，∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)

當(dāng)T→＋∞ 時(shí)，M（T）→＋∞，由介值定理可知，M（T）存在唯一確定的解T，該解T也即為（3）式的解。

同理，將（4）式左右兩邊同時(shí)乘以Tm2i，然后令左邊為Ni（mi）（i＝1，2…，n），則

則Ni（mi）在（0，∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)Ni（mi＝0）＝－Ai＜0，當(dāng)mi→＋∞時(shí)，Ni（mi）→＋∞，由介值定理可知，M（T）存在唯一確定的解mi，該解mi也即為（4）式的解。證畢。

對(duì)于（3）式和（4）式的解很難求解出，但是由定理3我們知道對(duì)于給定的一組值（m1，m2…mn）（mi＞0）（3）式有唯一確定的解，所以，若能給出 （m1，m2…mn）的估計(jì)值，則最優(yōu)解T很容易求出，從而得到較好的庫(kù)存系統(tǒng)平均費(fèi)用的值。

2.2.2 模型的求解

首先由

算出每一個(gè)物品單獨(dú)訂購(gòu)的最優(yōu)周期，令其中最優(yōu)周期最小的物品i的mi＝1，則其他物品的mj由下式給出

這種方法能很好的體現(xiàn)出不同變質(zhì)率下物品的訂購(gòu)頻率，因此是個(gè)比較不錯(cuò)的估計(jì)方法。

綜上所述，對(duì)于策略2，我們可以給出算法如下：

Step 1：輸入各參數(shù)，求解方程（4），得到Ti，令Ti值最小的物品mi＝1

Step 2：由（5）式 求解出mj，且令mj取整到最接近的整數(shù)

Step 3：將所有物品的mi值及各參數(shù)帶入（3）式并計(jì)算出T＊

Step 4：用（2）式計(jì)算出平均成本ATC

3 實(shí)例

某超市訂購(gòu)4種物品，其各參數(shù)如表1.其中h＝0.2，A＝100。

表1

利用本文所給出的算法，得到T1＝0.32，T2＝0.4575，T3＝0.434，T4＝0.248。所以選物品4的m4＝1，則m1＝1，m2＝2，m3＝2，T＊＝0.2917，ATC（T＊）＝2967.61，Q＊1＝117，Q＊2＝478，Q＊3＝829，Q＊4＝592。

若將各參數(shù)值帶入（1），解得若使用策略1，其最優(yōu)T＊＝0.3491，atc（T＊）＝3259.75。由此可以看出策略2被策略1更好。

下面分析物品的變質(zhì)率αi對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響，為方便起見，這里只以物品1為例。

表2

從表中可以看出，隨著變質(zhì)率的增大，庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)周期逐漸減少，而平均成本增加。

4 結(jié)束語

本文對(duì)易變質(zhì)多物品庫(kù)存系統(tǒng)提出了兩種訂購(gòu)策略，以系統(tǒng)平均費(fèi)用最少為目的建立模型，并嘗試著給出其最優(yōu)解。最后通過數(shù)值列子比較兩種策略的優(yōu)劣，并對(duì)物品變質(zhì)率對(duì)系統(tǒng)訂購(gòu)周期和平均成本進(jìn)行了數(shù)值分析。本文的研究中還有些不足，沒有考慮購(gòu)買費(fèi)用滯后支付對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響，如果允許滯后支付該如何制定最優(yōu)訂購(gòu)策略，這些問題值得進(jìn)一步研究。

［1］勵(lì)凌峰，黃培清，駱建文.易腐物品的庫(kù)存管理研究［J］.系統(tǒng)工程，2004（123）：25－30.

［2］覃毅延，唐煥文，郭崇慧.需求隨價(jià)格變化的具有折扣的易變質(zhì)物品的庫(kù)存模型［J］.運(yùn)籌與管理，2006，15（4）：22－26.

［3］王道平，于俊娣，李向陽.需求和采購(gòu)價(jià)格均為時(shí)變的易變質(zhì)物品EOQ模型［J］.數(shù)學(xué)的時(shí)間與認(rèn)識(shí)，2011，41（8）：59－66.

［4］羅 兵，楊 帥，李宇雨.變質(zhì)物品在存貨影響銷售率且需求和采購(gòu)價(jià)均為時(shí)變時(shí)的EOQ模型［J］.工業(yè)工程與管理，2005（3）：40－44.

［5］Bhattacharya.D.K.Production，manufacturing and logistics on multi－item inventory［J］.European Journal of Operational Research2005，162（3）：786－791.

［6］Saha A ，et al.Inventory models for breakable items with stock dependent demand and imprecise constraints［J］.Mathematical and computer Modeling，2010（52）：1771－1782.

［7］莫降濤，陳桂梅，范婷，毛宏.需求依賴即時(shí)庫(kù)存水平的易變質(zhì)多物品最優(yōu)訂購(gòu)［J］.系統(tǒng)工程，2011（209）：98－102.