徐芹芹，張慧

統(tǒng)一模的概念是Yager在［1］中推廣和統(tǒng)一三角模和三角余模時(shí)提出來的，Weber S在［2］中提出了強(qiáng)否定算子的概念，［3］在研究三角模（三角余模）以及強(qiáng)否定算子的基礎(chǔ)上對對偶三角模（三角余模）與有補(bǔ)三角模（三角余模）有一些研究.本文在統(tǒng)一模的基礎(chǔ)上給出了對偶統(tǒng)一模與有補(bǔ)統(tǒng)一模的定義，并介紹了一種由已知的對偶（有補(bǔ)）統(tǒng)一模生成新的對偶（有補(bǔ)）統(tǒng)一模的方法.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1 統(tǒng)一模U是指一個(gè)映射U：［0，1］2→ ［0，1］，它滿足下列性質(zhì)：

（1）交換性：U（a，b）＝U（b，a）；

（2）單調(diào)性：若a≥c，b≥d，則

U（a，b）≥U（c，d）

（3）結(jié)合性：U（U（a，b），c）＝U（a，U（b，c））；

（4）存在單位元：e∈ ［0，1］，對任意a∈ ［0，1］，U（e，a）＝a.

定義1.2 否定算子n是指映射：［0，1］→［0，1］，它單調(diào)減少且滿足n（0）＝1和n（1）＝0，否定算子n稱為強(qiáng)否定算子，如果n（n（x））＝x（?x∈ ［0，1］）.

2 對偶統(tǒng)一模與有補(bǔ)統(tǒng)一模的定義

引理 若U是［0，1］上的統(tǒng)一模，單位元為e，令（a，b）＝n（U（n（a），n（b））），其中n為［0，1］上的強(qiáng)否定算子，則也是［0，1］上的統(tǒng)一模，且的單位元為n（e）.

證明 （1）交換性：（a，b）＝n（U（n（a），n（b）））＝n（U（n（b），n（a）））＝U（b，a）

（2）單調(diào)性：若a≥c，b≥d，則n（a）≤n（c），n（b）≤n（d），即（a，b）＝n（U（n（a），n（b）））≥n（U（n（c），n（d）））＝（c，d）

（3）結(jié)合性：（（a，b），c）＝n（U（n（n（U（n（a），n（b）））），n（c））） ＝n（U（U（n（a），n（b）），n（c））） ＝n（U（n（a），U（n（b），n（c）））＝n（U（n（a），n（n（U（n（b），n（c）））））＝（a，（b，c））

（4）存在單位元：（a，n（e））＝n（U（n（a），n（n（e））））＝n（U（n（a），e））＝n（n（a））＝a.

定義2.1 設(shè)U，都是［0，1］上的統(tǒng)一模，n為［0，1］上的強(qiáng)否定算子，且 ?a，b∈ ［0，1］，有（a，b）＝n（U（n（a），n（b）））（等價(jià)于U（a，b）＝n（（n（a），n（b）））），則稱和U關(guān)于n是對偶的.

定義2.2 設(shè)U是［0，1］上的統(tǒng)一模，單位元為e，若存在強(qiáng)否定算子n，使得對?a∈（0，1），有U（a，n（a））＝n（e），則稱U為有補(bǔ)統(tǒng)一 模.

3 一種構(gòu)造新的對偶（有補(bǔ)）統(tǒng)一模的方法

定理 設(shè)g：［0，1］→ ［0，1］是嚴(yán)格單調(diào)增的連續(xù)函數(shù)，且g（0）＝0，g（1）＝1，用G表示g的反函數(shù).又設(shè)U1，U2是［0，1］上的統(tǒng)一模，其單位元分別為e1，e2.n為［0，1］上的強(qiáng)否定算子，若?a，b∈ ［0，1］，令

則也是［0，1］上的統(tǒng)一模，且其單位元分別為G（e1），G（e2）.為［0，1］上的強(qiáng)否定算子，且若U1，U2關(guān)于n是對偶的（有補(bǔ)的），則關(guān)于也是對偶的（有補(bǔ)的）.

同理可證也是統(tǒng)一模，且其單位元為G（e2）

其次證明是［0，1］上的強(qiáng)否定算子

最后證明關(guān)于是對偶的（有補(bǔ)的），?a，b∈ ［0，1］，

［1］Yager R R，Rybalov A.Uninorm aggregation operators，F(xiàn)uzzy Sets and Systems，1996（80）：111－120.

［2］Weber S.A general concept of fuzzy connectives，negations and implications based on t-norms and t-conorms，F(xiàn)uzzy Sets and Systems，1983（11）：15－134.

［3］胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)（第2版）［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004：22－26.