戚東東 張春 張傳松 譚子良

（安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

基于線性二次型最優(yōu)控制器的平行雙倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制

戚東東 張春*張傳松 譚子良

（安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合控制系統(tǒng)。本文在建立平行雙倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器（LQR）以實(shí)現(xiàn)對(duì)平行雙倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制，并通過(guò)MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

倒立擺；建模；LQR控制；仿真

倒立擺系統(tǒng)的控制是控制理論應(yīng)用的一個(gè)典型范例，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本較低，便于用模擬或數(shù)字方法進(jìn)行控制。雖然其結(jié)構(gòu)形式多種多樣，但無(wú)論何種結(jié)構(gòu)，就其本身而言，都是一個(gè)非最小相位、多變量、絕對(duì)不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)［1］。由于倒立擺系統(tǒng)的絕對(duì)不穩(wěn)定性，必須采取有效的措施進(jìn)行穩(wěn)定。其控制方法在軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和一般工業(yè)過(guò)程中都有著廣泛的用途，因此很多學(xué)者提出很多的控制方法［2-6］，然而這些控制方法主要應(yīng)用在單擺系統(tǒng)中，而對(duì)平行雙倒立擺系統(tǒng)的控制研究則較少，文獻(xiàn)［7］應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)的控制方法對(duì)雙擺系統(tǒng)進(jìn)行了控制研究，文獻(xiàn)［8］應(yīng)用擬人智能控制方法對(duì)兩擺間有彈簧連接的平行單級(jí)雙倒立擺的穩(wěn)定控制和兩個(gè)電機(jī)的解耦控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［9］應(yīng)用線性理論的控制方法對(duì)兩擺桿長(zhǎng)度相同的平行雙倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了控制研究。

本文分析了平行雙倒立擺系統(tǒng)的特定物理結(jié)構(gòu)并進(jìn)行合理建模，探討使用線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器（linear ruadraticregulator，LQR）實(shí)現(xiàn)對(duì)兩擺桿長(zhǎng)度不同的平行雙倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問(wèn)題。

1 平行一級(jí)雙倒立擺的數(shù)學(xué)模型

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立［4］

為簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析，在模型建立過(guò)程中，忽略空氣流動(dòng)阻力以及各種次要的摩擦力。這樣，可將雙倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和兩個(gè)勻質(zhì)剛性桿組成的系統(tǒng)（如圖1所示），其中，M為小車的質(zhì)量；x為小車水平方向的位移；F為加在小車上的力；m1、m2分別為左右兩個(gè)擺桿的質(zhì)量；2L1、2L2分別為左右兩個(gè)擺桿的長(zhǎng)度；J1、J2分別為左右兩個(gè)擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1、θ2分別為左右兩個(gè)擺桿與豎直方向上的夾角，即擺角。

對(duì)小車和擺桿分別進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律得雙倒立擺系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型為

圖1 平行一級(jí)雙倒立擺系統(tǒng)

1.2 數(shù)學(xué)模型的線性化

在兩擺擺角|θ1|，|θ2|＜10度時(shí)，設(shè)cosθ1≈1，cosθ2≈1，sinθ1≈θ1，sinθ2≈θ2，則線性化處理后的微分方程組為

設(shè)狀態(tài)變量為x、˙x、θ1、˙θ1、θ2、˙θ2，經(jīng)過(guò)變換易得狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中q=4M+m1+m2。

2 LQR控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)能控性分析

系統(tǒng)能控性是LQR控制器設(shè)計(jì)的前提，通過(guò)編程求解系統(tǒng)能控性矩陣N=［B AB A2B A3B A4B A5B］的秩，大量仿真實(shí)驗(yàn)表明只要L1≠L2，系統(tǒng)能控矩陣N的秩f(wàn)=6，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控；而當(dāng)L1=L2時(shí)，f=4＜6，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。

2.2 LQR控制器設(shè)計(jì)

線性二次型（Linear Quadratic，LQ）是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種重要工具，它為多變量反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了一種有效的分析方法，它適應(yīng)于時(shí)變系統(tǒng)，可以處理擾動(dòng)信號(hào)和測(cè)量噪聲問(wèn)題以及處理有限和無(wú)限的時(shí)間區(qū)間等問(wèn)題。

考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

設(shè)狀態(tài)反饋控制律u（t）=-Kx（t），使得二次型性能指標(biāo)最小

其中，x（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；tf、t0為終止時(shí)間與起始時(shí)間；S為終態(tài)約束矩陣；Q（t）為運(yùn)動(dòng)約束矩陣；R（t）為約束控制矩陣。其中Q（t）、R（t）決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。為使J最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為

式中，矩陣P（t）為微分Riccatti方程-P（t）A-ATP（t）+P（t）BR-1BTP（t）-Q的解。如果令終止時(shí)間tf=∞，P（t）為一個(gè)常數(shù)矩陣，且P（t）=0，則以上Riccatti方程簡(jiǎn)化為

因此可求得J取極小值時(shí)的最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣為

對(duì)于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣K，可使用MATLAB中專門(mén)的求解工具lr r（A，B，Q，R）來(lái)求取。將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如圖2所示。

圖2 LQR倒立擺控制算法原理圖

lr r函數(shù)允許選擇兩個(gè)參數(shù)R和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。假定R=0.1，Q= C’*C，Q矩陣為6階方陣，其中對(duì)角線上Q1，1代表小車位置權(quán)重，而Q3，3，Q5，5是擺桿角度的權(quán)重。

2.3 仿真與分析

設(shè)雙倒立擺控制系統(tǒng)參數(shù)為：M=2 Kg，m1=m2=0.3 Kg，2L1=0.7m，2L2=0.6m，g=9.8 m/s2，F(xiàn)=0.3（階躍信號(hào)）。

取Q1，1=1，Q3，3=1，Q5，5=1時(shí)，可得K=［3.16 7.70 1 937.64 598.65 -1 871..36 -534.04］，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖3所示。

從圖3中可以看出，當(dāng)狀態(tài)變量的權(quán)重取得較小時(shí)，擺角響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，小車向正方向移動(dòng)時(shí)，擺角經(jīng)短暫時(shí)間回復(fù)穩(wěn)定位置。

若取Q1，1=10 000，Q3，3=100，Q5，5=100，則得K=［316.23 413.37 22 305.24 6 884.22 -19 683.04 -5 623.09］，此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖4所示。

從圖4可知，通過(guò)適當(dāng)增大Q矩陣中的Q1，1和Q3，3與Q5，5，系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短，擺角超調(diào)量和擺桿的角度變化也同時(shí)減小。當(dāng)Q1，1、Q3，3、Q5，5及R取最優(yōu)值時(shí)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的最優(yōu)控制。

圖3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線（擺角1和2重合）

圖4 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

3 結(jié)語(yǔ)

利用牛頓定律建立了平行一級(jí)雙倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的能控性，采用LQR控制原理設(shè)計(jì)了控制器，并采用MATLAB軟件對(duì)控制器的控制性能進(jìn)行了仿真研究，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的合理性，仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的LQR控制器對(duì)平行雙倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了有效的穩(wěn)定控制，且該控制方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。

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Stabilization Control of Parallel Type Inverted PendulumBasedon Linear Quadratic Optimal Controller

QIDong-dong ZHANG Chun*ZHANG Chuan-song TAN Zi-liang

（Electrical Engineering College，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Inverted pendulum control system is a typical high order，unstable，multivariable，nonlinear and strong coupling control system.Based on building the mathematical model of the parallel double inverted pendulum control system，the linear ruadraticregulator（LQR for short）is designed to achieve optimal control of the parallel double inverted pendulum system.Simulation experiments show that the method is effective.

inverted pendulum；modeling；LQR control；simulation

TP273

A

1009-0312（2014）03-0008-04

2013-12-18

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（1208085MF115）；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201210363040）。*通訊作者：張春（1972—），男，安徽望江人，副教授，碩士，主要從事電氣傳動(dòng)、智能控制等方面的教學(xué)與研究。