摘要：以平均產(chǎn)品長度作為度量標(biāo)準(zhǔn)，研究了雙抽樣均值控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。分析了雙抽樣均值控制圖的平均產(chǎn)品長度的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上建立了控制圖參數(shù)設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型，并通過與原有的雙抽樣均值控制圖的性能對(duì)比，驗(yàn)證了該優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的有效性。

關(guān)鍵詞：平均產(chǎn)品長度 雙抽樣控制圖 優(yōu)化設(shè)計(jì)

1 概述

控制圖是企業(yè)中進(jìn)行質(zhì)量管理和控制的基本方法之一，對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的好壞起著至關(guān)重要的作用?？刂茍D首先由Shewhart于1924年提出，之后得到了廣泛的研究與引用，取得了相當(dāng)不錯(cuò)的經(jīng)濟(jì)效益與社會(huì)效益，尤其是對(duì)戰(zhàn)后世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。但隨著制造業(yè)的發(fā)展，生產(chǎn)的靈活性越來越高，原先的固定抽樣區(qū)間和固定樣本容量的靜態(tài)控制圖已不能滿足質(zhì)量監(jiān)控的需要，于是Reynolds等提出了變化抽樣區(qū)間的均值（Variable Sampling Intervals，VSI）控制圖[1]，并由此形成了動(dòng)態(tài)控制圖這一新的研究領(lǐng)域。后來又有人提出變化樣本容量（Variable Sampling Size，VSS）控制圖、雙抽樣（Double Sampling，DS）控制圖等，并取得了一系列關(guān)于這類動(dòng)態(tài)控制圖的研究成果[2-4]。Costa曾比較了VSS、VSI和DS控制圖，結(jié)果發(fā)現(xiàn)DS控制圖的監(jiān)測效率最高[5]。目前，DS控制圖正逐漸成為研究的熱點(diǎn)。DS控制圖最早是由Daudin提出的，他首先將二次抽樣檢測的概念結(jié)合到控制圖理論中，采用兩個(gè)階段的抽樣來監(jiān)控過程，這種方法能降低抽樣數(shù)量并提升檢測過程偏移能力[6]。He和Grigoryan又提出了用于求解DS控制圖各個(gè)參數(shù)的遺傳算法[7]。上述DS控制圖的研究，都是基于傳統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)方法，平均運(yùn)行長度（Average Run Length，ARL），即平均需要多少個(gè)樣本來發(fā)現(xiàn)過程異常，但由于DS控制圖采用兩次抽樣，每次抽樣的樣本數(shù)量是不一樣的，因此即使在ARL相同的情況下，其檢測異常波動(dòng)的效果仍有很大的差異。為此，本文將采用平均產(chǎn)品長度（Average Product Length， APL）作為控制圖的效率度量指標(biāo)，來進(jìn)行DS控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與其他的一些動(dòng)態(tài)控制圖方法進(jìn)行性能比較。

2 DS控制圖

Daudin提出的DS控制圖將兩個(gè)不同控制限的常規(guī)控制圖結(jié)合在一起進(jìn)行過程質(zhì)量監(jiān)控，并在雙抽樣的第一階段的控制圖中增加了警告界限，如圖1所示。

第一階段抽樣及監(jiān)控 第二階段抽樣及監(jiān)控

圖1 DS均值控制圖

圖1中，L1和-L1分別表示第一階段的控制界限；w和-w分別表示第一階段的警告界限；L2和-L2分別表示第二階段的控制界限。在DS控制圖的使用過程中，首先從第一階段抽樣和監(jiān)控開始，先抽取樣本容量為n1的一個(gè)樣本，并計(jì)算均值X1，若X1落在I1區(qū)域，則判斷過程處于受控狀態(tài)；若X1落在I2區(qū)域，則判斷過程處于失控狀態(tài)；若X1落在I3區(qū)域，則無法直接進(jìn)行判斷，需要進(jìn)行第二階段抽樣及監(jiān)控，再抽取樣本容量為n2的一個(gè)樣本，并計(jì)算均值X2，在第二階段監(jiān)控時(shí)必須包含第一和第二階段的樣本數(shù)據(jù)，因此第二階段控制圖的統(tǒng)計(jì)量為X2■=■，若X2■落在I4區(qū)域，則判斷過程處于受控狀態(tài)；若落在I5區(qū)域，則判斷過程處于失控狀態(tài)。

3 APL的計(jì)算

平均產(chǎn)品長度的定義為從均值或方差的變化發(fā)生到這個(gè)變化在控制圖中被發(fā)現(xiàn)之間生產(chǎn)工序平均生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量[8]。而受控情況下的APL，用APL0表示，指從方案開始到產(chǎn)生一個(gè)錯(cuò)誤報(bào)警信號(hào)之間平均生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)。n表示控制圖上描一個(gè)點(diǎn)代表的樣本容量的大小。S表示在偏移發(fā)生到被發(fā)現(xiàn)之間抽樣的樣本的個(gè)數(shù)。Z表示從偏移發(fā)生到之后第一個(gè)樣本之間的產(chǎn)品數(shù)。一個(gè)常量h表示樣本之間間隔的產(chǎn)品數(shù)。L，即產(chǎn)品運(yùn)行長度，表示產(chǎn)品的均值或方差的變動(dòng)發(fā)生到該變動(dòng)被發(fā)現(xiàn)之間生產(chǎn)的總產(chǎn)品數(shù)。如圖2所示，L的數(shù)學(xué)表達(dá)可以用公式（1）表示：

L=Z+h（S-1）+nS=Z+hS-h+nS； （1）

產(chǎn)品運(yùn)行長度L的期望，即APL，就可用樣本容量n和抽樣比例r表示出來：

APL=E（L）=E（Z）+[E（n）+h]E（S）-h； （2）

對(duì)于E（S），它就是通常用于控制圖性能度量的平均運(yùn)行長度（ARL），若過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，通常用ARL0=1/a表示，其中a為控制圖第一類錯(cuò)誤（即虛發(fā)報(bào)警）的概率；若過程出現(xiàn)異常，導(dǎo)致過程均值偏移了？啄倍標(biāo)準(zhǔn)差？啄σ，此時(shí)用ARL？啄=■，？啄≠0表示，其中β？啄為控制圖第二類錯(cuò)誤（漏發(fā)報(bào)警）的概率。DS控制圖的ARL0和ARL？啄的計(jì)算見式（3）和（4）。

偏移產(chǎn)生 信號(hào)產(chǎn)生

圖2 運(yùn)行長度的計(jì)算圖解

ARL0=■=■；

=■ （3）

ARL？啄=■=■；

其中，Z1=■；Z2=■；Z■■=■；

C=■；r=■；I*■=（-w+？啄■，w+？啄■）；

I*■=（-L1+？啄■，-w+？啄■）∪（w+？啄■，L1+？啄■）。P（·）表示落在某區(qū)域的概率，？椎（·）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)，？準(zhǔn)（·）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

對(duì)于E（n），在常規(guī)控制圖中，樣本容量是一個(gè)常量，每次描點(diǎn)采用的樣本容量都是一樣的，但對(duì)于DS控制圖來說，每次描點(diǎn)可能只需用進(jìn)行一重抽樣，也可能需用進(jìn)行二重抽樣，因此，每此描點(diǎn)需用的樣本數(shù)是不固定的，在過程處于穩(wěn)定狀態(tài)下，需用的樣本量是比較小的，而當(dāng)過程出現(xiàn)一定程度的偏移時(shí)，就常常需用進(jìn)行二重抽樣，需用的樣本量就會(huì)比較大，因此其數(shù)學(xué)期望可以分別考慮在過程穩(wěn)定時(shí)的期望樣本量E0（n）和過程偏移程度為？啄倍標(biāo)準(zhǔn)差？啄σ的期望樣本量E？啄（n），見式（5）和（6）。

E0（n）=n1+n2P（Z1∈I3）=n1+n2·[？椎（-w）-？椎（-L1）+？椎（L1）-？椎（W）]

E？啄（n）=n1+n2P（Z1∈I3）=n1+n2·[？椎（-w+？啄■）-？椎（-L1+？啄■）+？椎（L1+？啄■）-？椎（W+？啄■）] （6）

對(duì)于E（Z），當(dāng)n的值為定值時(shí)，Z服從均勻分布，E（Z）=■，但由于DS控制圖每次描點(diǎn)需用的樣本數(shù)是不固定的，因此同樣分別考慮過程穩(wěn)定和過程出現(xiàn)偏移情況下兩種狀態(tài)的數(shù)學(xué)期望：

E0（Z）=■

E？啄（Z）=■

將式（3）——（7）代入到式（2），就可以計(jì)算出APL0和APL？啄：

APL0=E0（Z）+[E0（n）+h]·ARL0-h

APL？啄=E？啄（Z）+[E？啄（n）+h]·ARL？啄-h

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

DS控制圖的設(shè)計(jì)主要是確定5個(gè)參數(shù)：兩個(gè)控制限參數(shù)（L1和L2）、兩個(gè)階段的抽樣數(shù)（n1和n2）以及第一階段的警告限參數(shù)w。控制圖的一般設(shè)計(jì)原則是：當(dāng)過程穩(wěn)定，希望錯(cuò)誤報(bào)警的概率要小，即APL0盡量的大；當(dāng)過程出現(xiàn)異常，希望漏發(fā)報(bào)警的概率要小，即APL？啄越小越好。但虛發(fā)和漏發(fā)報(bào)警的概率為反比關(guān)系，不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。因此，可以先令A(yù)PL0取一個(gè)足夠大的可以接受的固定值，在此基礎(chǔ)上要求APL？啄達(dá)到最小。于是，設(shè)APL0為一較大的常數(shù)C，抽樣間隔的產(chǎn)品數(shù)為常數(shù)h，則優(yōu)化設(shè)計(jì)模型就可以表示為：

Min APL？啄

約束：APL0=CAPL？啄

在上式中，兩個(gè)階段的抽樣數(shù)n1和n2為整數(shù)，為了減少計(jì)算量，取小于50的數(shù)，事實(shí)上生產(chǎn)實(shí)踐中也不可能取過大的樣本容量。同樣，兩個(gè)控制限參數(shù)L1和L2以及第一階段的警告限參數(shù)w都取小于6的數(shù)。表1為分別設(shè)定C=10000，h=100和C=50000，h=100兩種情況下通過上式優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果。

表1 在給定APL0和抽樣間隔的產(chǎn)品數(shù)

h時(shí)DS控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

■

5 性能對(duì)比

在我們的模型中，采用的控制參數(shù)都是根據(jù)APL選擇最優(yōu)值，那么這時(shí)的控制方案到底比以往的DS控制圖有多優(yōu)越呢？現(xiàn)在我們就拿我們的模型與Irianto和Shinozaki提出的DS圖設(shè)計(jì)方案[9]進(jìn)行比較。分別用基于APL的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型（Optimal Design）和Irianto和Shinozaki提出的設(shè)計(jì)方案（I&S;）針對(duì)1倍和兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的過程偏移進(jìn)行設(shè)計(jì)確定控制參數(shù)，再用兩種方案對(duì)各種程度的過程偏移進(jìn)行監(jiān)控效率的對(duì)比，結(jié)果見表2。

由于Irianto和Shinozaki提出的設(shè)計(jì)方案（I&S;）是以 為監(jiān)控效率的評(píng)價(jià)指標(biāo)，一般都取ARL0在370左右，按照抽樣樣本間隔為h=100的假設(shè)，換算出APL0約為40000，為了便于對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案進(jìn)行比較，因此同樣取

C=40000。表2中給出了各種程度過程異常偏移情況下的APL、ARL和E（n）的值，從表中的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，不論是對(duì)較小的過程偏移？啄=1.0還是對(duì)較大的過程偏移？啄=2.0，本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案發(fā)現(xiàn)異常偏移的效率都是高于Irianto和Shinozaki提出的設(shè)計(jì)方案的。

6 結(jié)論

本文主要討論了雙抽樣均值控制圖的平均產(chǎn)品長度的計(jì)算方法，并以此作為效率評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立了該控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。通過與原有的雙抽樣均值控制圖設(shè)計(jì)方案的對(duì)比，說明新的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型能夠有效提高雙抽樣均值控制圖技術(shù)檢測各種程度異常偏移的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Reynolds M R，Amin R W，Arnold J C and Nachlas，J.A.X Charts with Variable Sampling Intervals[J]. Technometrics.1988，30：181-192.

[2]Costa A F.X Charts with Variable Parameters[J]. Journal of Quality Technology.1999，31：408-416.

[3]Costa A F.Joint X and R Charts with Variable Sample Size and Sampling Intervals[J].Journal of Quality Technology，1999，33：387-397.

[4]王兆軍.關(guān)于動(dòng)態(tài)質(zhì)量控制圖的設(shè)計(jì)理論[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì). 2002，18（3）：316-332.

[5]Costa A F.，Rahim M A.Joint X and R Charts with Two Stage Sampling [C].Proceedings of IIE Research Conference.Orlando，F(xiàn)la.，USA：IIE Press，2002：22-24.

[6]Daudin J J.Double Sampling X-bar Charts [J].Journal of Quality Technology.1992，24（2）：78-87.

[7]He D.Grigoryan A.Construction of Double Sampling Control Charts for Agile Manufacturing[J].Quality and Reliability Engineering International，2002，18（4）：343-355.

[8]王海宇.基于平均產(chǎn)品長度的EWMA圖性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化[J]. 管理工程學(xué)報(bào)，2007，21（3）：164-167.

[9]Irianto D.and Shinozaki N.An Optimal Double Sampling X-bar Control Chart[J].International Journal of Industrial Engineering.1998，5：226-243.

[10]Hsu，L.F.Note on“Design of Double and Triple Sampling X-bar Control Charts Using Genetic Algorithms”[J].International Journal of Product Research.2004，42（5）：1043-1047.

作者簡介：

婁琳華（1979-），女，河南新鄉(xiāng)人，中級(jí)經(jīng)濟(jì)師，研究方向：質(zhì)量管理。