摘要：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，為了能讓學(xué)生在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)快速地、正確地掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，本文為此進(jìn)行了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的模版化改造，并對(duì)其如何教學(xué)進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 模版 畫(huà)框

在高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，微積分是一個(gè)重要的模塊，它的系統(tǒng)性主要表現(xiàn)在各個(gè)部分的知識(shí)的相互聯(lián)系、不可分割。其中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是這個(gè)模塊中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較關(guān)鍵的部分，也一直是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分中的一大難點(diǎn)，它掌握的好壞直接影響到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。如何在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地掌握求導(dǎo)方法和積分方法呢？我受兩個(gè)重要極限的啟發(fā)，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)中作了一些嘗試——模板式教學(xué)。

1 模板式教學(xué)

“模板”在新華字典中的解釋為：澆灌混凝土用的模型板，一般用木料制成。不過(guò)筆者認(rèn)為這里所說(shuō)的模板應(yīng)該是指一種固定程序模式，在計(jì)算機(jī)軟件中十分常見(jiàn)，在軟件中又稱(chēng)為模版。如常用的工具軟件Word、Powerpoint等都具有這項(xiàng)功能，通過(guò)直接調(diào)用設(shè)計(jì)好的格式，可以生成相應(yīng)的文檔或幻燈片版式，為人們的工作帶來(lái)了極大的方便。現(xiàn)在“模板”的概念已經(jīng)廣泛應(yīng)用于分子生物學(xué)、遺傳學(xué)、網(wǎng)站等領(lǐng)域。

模板式教學(xué)就是讓學(xué)生在一定的基礎(chǔ)上，利用一些固定的套路來(lái)學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)和技能的一種教學(xué)方法。比如說(shuō)在乒乓球戰(zhàn)術(shù)中最簡(jiǎn)單的戰(zhàn)術(shù)運(yùn)用：發(fā)球搶攻。模板教學(xué)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，事實(shí)上學(xué)生每次的數(shù)學(xué)課都在潛移默化地進(jìn)行著模版式訓(xùn)練，老師所講解的例題，其解答格式就是一種模版，學(xué)生在練習(xí)的時(shí)候自然而然的遵循著老師的格式，然后掌握技能。不過(guò)這是潛在的模版，也有明確提出來(lái)的模版，比如，兩個(gè)重要極限，在具體應(yīng)用時(shí)就形成了一個(gè)模版：

■■=1→■■=1

在這個(gè)模版中，只要把“□”中的形式寫(xiě)出來(lái)保持一致，并且讓“□”趨于0，就可以得到相應(yīng)的結(jié)果1。在具體操作中，只要按照模版去湊相應(yīng)的式子形式，就能解決問(wèn)題。模版好記，又有啟發(fā)性，非常便于學(xué)生，尤其是初學(xué)者學(xué)習(xí)掌握。

2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中容易出現(xiàn)的問(wèn)題

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在整個(gè)求導(dǎo)運(yùn)算中以及在解決一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題上都處于重要的地位，能夠熟練地掌握和應(yīng)用，是衡量一個(gè)學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量的標(biāo)志之一。然而，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是既不容易掌握也極容易出錯(cuò)，因此弄清學(xué)生難以掌握的具體原因，是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。筆者從多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，總結(jié)了學(xué)生難以掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的原因。

學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)難以掌握的原因主要有幾個(gè)方面：①?gòu)?fù)合函數(shù)求導(dǎo)所涉及的函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜而且多變；②復(fù)合函數(shù)的概念前后交錯(cuò)；③復(fù)合函數(shù)的中間變量不容易準(zhǔn)確的設(shè)出，即使能夠設(shè)出，在計(jì)算的過(guò)程中也往往容易出現(xiàn)丟項(xiàng)落項(xiàng)的現(xiàn)象。具體體現(xiàn)如下：

一是求導(dǎo)不徹底，如：（sin32x）′=3sin22xcos2x；

二是求導(dǎo)順序分不清，如：（sin32x）′=3cos22x；

三是書(shū)寫(xiě)不合邏輯，如：（sin32x）′=3sin22x（sin2x）′（2x）′。

3 模板式教學(xué)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的實(shí)踐

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則[f（φ（x））]′=f′[（φ（x）]·φ′（x），要準(zhǔn)確應(yīng)用法則，必須：①正確分解函數(shù)的復(fù)合過(guò)程；②準(zhǔn)確選擇函數(shù)的求導(dǎo)公式；③正確理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。而這幾條有一條解決不好，就容易出現(xiàn)前面提到過(guò)的問(wèn)題。為了一次性解決上述問(wèn)題，我在講解完復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，用最入門(mén)級(jí)的例子對(duì)法則做了具體化的轉(zhuǎn)化，例如：

求函數(shù)y=e■的導(dǎo)數(shù)

y=e■是由y=eu，u=x3復(fù)合而成，所以

■

從而有（e■）′=e■·□′

于是，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則就具體化到一個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式身上，記住了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式也就記住了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。我把每一個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式都做這樣的改變，如：把公式

（sinx）′=cosx改成（sin□）′=cos□·□′

改動(dòng)后的公式中要求“□”中的式子形式要相同。這樣，每次只使用一個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，求導(dǎo)時(shí)只需記住基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可。我把這個(gè)稱(chēng)為求導(dǎo)公式復(fù)合化。這樣可以降低尋求中間變量的難度，尤其是復(fù)合層次較多的時(shí)候。

例1 求函數(shù)y=（2x+1）5的導(dǎo)數(shù)

解：y′=■

=5（2x+1）4（2x+1）′=10（2x+1）4

例2 求函數(shù)y=Insinx的導(dǎo)數(shù)

解：y′=

■

=■cosx=cotx

例3 求函數(shù)y=e■的導(dǎo)數(shù)

解：y′=■

■

■

■

=e■■

在求導(dǎo)過(guò)程中，畫(huà)框是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，畫(huà)框使函數(shù)簡(jiǎn)單化，容易找準(zhǔn)要使用的求導(dǎo)公式，也省去了設(shè)中間變量的麻煩，尤其是函數(shù)復(fù)合層次較多的時(shí)候；第二個(gè)環(huán)節(jié)是寫(xiě)出所用求導(dǎo)公式的復(fù)合化結(jié)構(gòu)，這樣可以加強(qiáng)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的認(rèn)識(shí)，同時(shí)還能強(qiáng)化公式的記憶。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)在不同班級(jí)的教學(xué)實(shí)踐，以畫(huà)框的方式求導(dǎo)，這樣做下來(lái)的情況比以往的學(xué)生的學(xué)習(xí)效果要好，尤其是對(duì)基礎(chǔ)相對(duì)較弱抽象能力較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)效果更明顯。這部分學(xué)生習(xí)慣于按某種模式照搬，對(duì)于靈活性稍強(qiáng)的內(nèi)容就倍感吃力，這時(shí)我就反其道而行之，把本來(lái)靈活的東西找出其規(guī)律后進(jìn)行相對(duì)的固定以適應(yīng)他們的思維習(xí)慣，讓這部分同學(xué)掌握起來(lái)容易一些，使得在求導(dǎo)教學(xué)中的難點(diǎn)能順利的突破，并很好地克服了前文中提到的幾種常見(jiàn)毛病，讓學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則能較好的掌握和運(yùn)用，從而達(dá)到教學(xué)目的。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

邵斌（1969-），女，重慶人，講師，碩士，長(zhǎng)期以課堂教學(xué)為主。