燕必成 高永祥 陳小紅

摘要：牛頓迭代法是方程求根中的一種較快捷的迭代方法，但遇到較復(fù)雜的方程時計算量較大。本文采用了MATLAB編程來實現(xiàn)牛頓迭代法，并給出了具體的計算例子。

關(guān)鍵詞：牛頓迭代法 MATLAB編程 算法思想

1 問題的提出

牛頓迭代法收斂速度快，但每次都要求導(dǎo)，求逆，計算量相當(dāng)大。為了減少計算量，引入簡化的牛頓迭代法。

2 算法思想

以前我們解一元方程f（x）=0時采用過牛頓法，其幾何意義是在根x*的附近取點x0作為方程的近似值，如圖1-1所示，過曲線y=f（x）上的點（x0，f（x0））作切線，以它作為 y=f（x）的近似。切線與x軸的的交點x1作為根x*的第二次近似，不斷作下去，便得到迭代公式

xk+1=xk-■ k=0，1，2…

當(dāng)f（x）滿足一定條件下，迭代序列{xk}收斂到x*。

解一元方程f（x）=0的牛頓法的主要思想是將非線性函數(shù)線性化。因此仿照一元方程的情形，就得到非線性方程組的牛頓迭代法。

令

則方程組

設(shè)（x1（k），x2（k），…，xn（k））是方程組（2-1）的一組近似解，把它的左端在（x1（k），x2（k），…，xn（k））處用多元函數(shù)的泰勒展式展開，然后取線性部分，便得方程組（2-1）的近似方程組：

這是關(guān)于Δxi（k）=xi-xi（k）（i=1，2，…，n）的線性方程組，如果它的系數(shù)矩陣（見2-3）：

非奇異，則可解得（見2-4）：

矩陣（2-3）稱為向量函數(shù)F（x）的雅可比矩陣，記作F′（x）。又記x■■=xi■+Δxi（k）。

3 算法程序

其程序為：

%ndf.m

function ndf=ndf（x）

clc；

disp（' MATLAB編的簡化牛頓迭代法程序 '）

disp（' 浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程學(xué)院 '）

disp（' -------------------------------------------------------------------------------------- '）

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x=input（'請以[x1，x2，...]的形式輸入未知變量x='）；

F=input（'請以[ ； ；...]的形式輸入非線形方程組的矩陣F（x）='）；

x0=input（'請以行的形式輸入未知變量的初始值x0='）；

n=length（x）；%確定未知變量的個數(shù)

g=jacobian（F，x）；%產(chǎn)生雅可比矩陣

F0=subs（F，x，x0）；%給方程組的矩陣置初值

g0=subs（g，x，x0）；%給雅可比矩陣置初值

if det（g0）==0；

disp（' 不符牛頓迭代法的條件?。?！'）

break

end

4 總結(jié)

牛頓迭代法收斂速度快，但要求導(dǎo)，求逆。計算的結(jié)果受初值，迭代次數(shù)（或精度要求）的影響比較大，如果求導(dǎo)后代入初值，如結(jié)果為零，則無法迭代。因而當(dāng)求導(dǎo)后結(jié)果為零時，必須尋求另外的方法來計算。

參考文獻：

[1]云磊.牛頓迭代法的MATLAB實現(xiàn)[J].信息通信，2011（6）.

[2]倪健，馬昌鳳.解非線性方程牛頓迭代法的一種新的加速技巧[J].廣西科學(xué)院學(xué)報，2010（1）.

[3]王霞，張啟虎.數(shù)值分析中牛頓迭代法的引入方法探討[J].天中學(xué)刊，2010（5）.