邵尚奇，田守嶒，李根生，盛 茂

（油氣資源與探測國家重點實驗室（中國石油大學(xué)（北京）），北京102249）

隨著油氣資源需求量的增大，非常規(guī)油氣藏（頁巖氣、致密氣等）的開發(fā)得到了極大的重視。由于泥頁巖地層具有低孔、低滲、天然裂縫發(fā)育的特點［1］，因此非常規(guī)油氣藏的開發(fā)需要借助水力壓裂。國外學(xué)者對泥頁巖地層的裂縫延伸進(jìn)行了大量研究，提出了很多裂縫起裂延伸準(zhǔn)則：Erdogan等人［2］提出了最大軸向應(yīng)力準(zhǔn)則（MTS準(zhǔn)則）；Palaniswamy等人［3］提出了能量釋放速率準(zhǔn)則；Sih等人［4－6］提出了應(yīng)變能密度因子理論。這些準(zhǔn)則均是基于線彈性斷裂力學(xué)提出的［7］。但泥頁巖不同于砂巖等脆性巖石，研究表明，泥頁巖受到一定應(yīng)力作用時會發(fā)生蠕變，且隨著周圍載荷的增大，泥巖從脆性向塑性轉(zhuǎn)變［8－11］，所以，線彈性斷裂力學(xué)理論并不適用于泥頁巖地層水力裂縫延伸的研究。因此，筆者基于塑性斷裂力學(xué)理論，根據(jù)應(yīng)力疊加原理以及T準(zhǔn)則，建立了水力裂縫起裂角解析模型，計算了不同裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角以及施工壓力下水力裂縫的起裂角，分析了這些參數(shù)對水力裂縫起裂的影響規(guī)律。

1 水力裂縫起裂角分析

1.1 塑性區(qū)域計算

泥頁巖地層的裂縫端部存在著塑性區(qū)，而塑性區(qū)的存在可以阻止脆性斷裂裂縫的擴(kuò)展。假設(shè)裂縫周圍塑性核區(qū)域半徑是變化的，裂縫沿著最大體積應(yīng)變能密度方向延伸，當(dāng)體積應(yīng)變能密度達(dá)到臨界值時，裂縫開始延伸。利用疊加原理［12］分析裂縫端部應(yīng)力場，如圖1所示。

圖1 裂縫端部應(yīng)力場的極坐標(biāo)示意Fig.1 The stress field of fractures under polar coordinate

不同方向應(yīng)力分量的計算公式為：

式中：σx，σy和τxy分別為裂縫端部的應(yīng)力分量，MPa；KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1／2；r為極坐標(biāo)下任意一點與裂縫的距離，m；θ為極坐標(biāo)下任意一點與裂縫長軸的順時針夾角，（°）；a為裂縫半縫長，m。

裂縫端部周圍的體積應(yīng)變能密度TV和形狀應(yīng)變能密度TD的表達(dá)式為：

式中：ν為泊松比；E為彈性模量，MPa。

式（3）可以表示為：

式中：σmises為von Mises應(yīng)力，MPa。

在裂縫周圍塑性核區(qū)域的邊界上，von Mises應(yīng)力是相等的［13］，所以，可以認(rèn)為裂縫塑性區(qū)域邊界上的形狀應(yīng)變能密度是常數(shù)［14］。

當(dāng)塑性區(qū)域上的體積應(yīng)變能密度TV達(dá)到Ⅰ型斷裂應(yīng)變能的臨界值時，裂縫開始失穩(wěn)延伸，即：

式中：TVc為體積應(yīng)變能密度的臨界值，MPa。

將式（1）代入式（3），得到裂縫端部塑性核半徑R的表達(dá)式：

1.2 起裂角計算

在地層巖石中，水力裂縫端部附近區(qū)域存在塑性區(qū)域，而離裂縫端部較遠(yuǎn)的區(qū)域是彈性地層。因此，水力裂縫首先要穿過塑性區(qū)域，然后到達(dá)彈性區(qū)域（見圖2）。T準(zhǔn)則假設(shè)裂縫會沿著裂縫尖端至彈塑性邊界距離最小的方向延伸，如圖2中紅線所示。當(dāng)邊界的總應(yīng)變能達(dá)到應(yīng)變能臨界值時，裂縫開始起裂擴(kuò)展。

假設(shè)裂縫端部的塑性區(qū)域是連續(xù)的，則裂縫延伸起裂角的表達(dá)式為：

將式（6）帶入式（7），得到起裂角的計算公式：

圖2 塑性地層裂縫延伸方向示意Fig.2 The propagating direction of fracture in ductile formation

對式（9）求解，即可得到水力裂縫的起裂角。

2 Ⅰ－Ⅱ型復(fù)合裂縫塑性區(qū)域研究

水平井進(jìn)行分段射孔壓裂時，由于鉆井設(shè)備以及地質(zhì)條件復(fù)雜等原因，導(dǎo)致鉆進(jìn)的方向不平行于最小水平主應(yīng)力方向，而是與最小水平主應(yīng)力方向存在一定的傾角（見圖3），此時裂縫處于拉剪應(yīng)力狀態(tài)。假設(shè)裂縫處于無限大平面內(nèi)，周邊巖體為均質(zhì)材料。圖3中，σH，σh分別為加載在裂縫上的最大水平主應(yīng)力和最小水平主應(yīng)力；σn，τn分別為作用在傾斜裂縫表面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；p為裂縫內(nèi)流體壓力，γ為水力裂縫和最大水平主應(yīng)力方向的夾角。

圖3 地應(yīng)力和流體壓力作用下Ⅰ－Ⅱ型復(fù)合裂縫示意Fig.3 Ⅰ－Ⅱ mixed mode fracture under in－situ stress and fluid pressure

水力裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式為：

取裂縫縫內(nèi)流體壓力p為50MPa，最大水平主應(yīng)力σH為60MPa，最小水平主應(yīng)力σh為40MPa。將其代入式（10）和式（11），可以計算出不同裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角下的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和KⅡ；將KⅠ和KⅡ代式（9）即可計算出起裂角，將計算出的起裂角代入式（6）即可計算出塑性核半徑，結(jié)果見圖4。

由圖4可以看出，水力裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角不同，水力裂縫的塑性區(qū)域包絡(luò)線所包含的區(qū)域也發(fā)生改變。當(dāng)水力裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角為0°和90°時，縫端塑性區(qū)域沿裂縫長軸方向?qū)ΨQ分布，且分布范圍為0～0.18倍半縫長；當(dāng)水力裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角為30°和60°時，裂縫塑性區(qū)域沿裂縫不對稱分布，分布范圍為0～0.45倍半縫長。這是因為，當(dāng)裂縫和最大水平主應(yīng)力方向夾角為0°和90°時，裂縫面只受到拉應(yīng)力的作用，裂縫面上不存在剪應(yīng)力，起裂方向和裂縫平行，塑性區(qū)域沿縫長方向?qū)ΨQ分布；而當(dāng)裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角為30°和60°時，裂縫面同時受到拉應(yīng)力和剪應(yīng)力作用，延伸方向與裂縫呈一定的角度，塑性區(qū)域不沿裂縫方向?qū)ΨQ分布。

3 起裂角敏感性分析

3.1 裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角

對利用塑性準(zhǔn)則和最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則計算出的起裂角（見圖5）進(jìn)行比較，可以看出，縫內(nèi)流體壓力一定，當(dāng)裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角為0°～90°時，水力裂縫的起裂角為0°～180°，且起裂角隨裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角的增大逐漸減小，而起裂角越大，井筒周圍的裂縫越容易發(fā)生扭曲和轉(zhuǎn)向；裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角為0°～65°時，利用塑性準(zhǔn)則計算出的起裂角比利用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則計算出的大0°～20°，這是因為水力裂縫受到的拉應(yīng)力較大，占據(jù)主導(dǎo)地位，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)變能較大，裂縫起裂角較大；當(dāng)裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角超過65°時，利用塑性準(zhǔn)則和最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則計算出的起裂角相差不大，這是由于隨著裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角的增大，水力裂縫的拉應(yīng)力和剪應(yīng)力逐漸減小，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)變能減小，起裂角也隨之減小。

圖4 地應(yīng)力條件下不同裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角水力裂縫塑性區(qū)域計算結(jié)果Fig.4 Plastic region of hydraulic fracture under different inclination angle of fracture and maximum horizontal principal stress with in－situ stress

圖5 利用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則和塑性準(zhǔn)則計算出的起裂角Fig.5 Comparison of fracture initiation angle calculated by maximum circumferential stress criterion and ductile criterion

3.2 縫內(nèi)壓力

在水平井分段射孔壓裂時，由于每一段的施工壓力存在差異，導(dǎo)致了裂縫的幾何形狀各不相同，起裂角也不一樣。假設(shè)其他條件不變，計算不同縫內(nèi)流體壓力下的起裂角，結(jié)果見圖6。

圖6 不同縫內(nèi)流體壓力下的裂縫起裂角變化Fig.6 Comparison of fracture initiation angles under different fluid pressures

從圖6可知，當(dāng)裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角一定時，縫內(nèi)流體壓力越大，裂縫的起裂角也越大。這是因為縫內(nèi)流體壓力越大，塑性區(qū)域的體積膨脹應(yīng)變能密度越大，導(dǎo)致起裂角增大。這一規(guī)律可以解釋在水力壓裂施工中，當(dāng)施工壓力過高時，近井筒地帶的裂縫容易發(fā)生轉(zhuǎn)向，使近井筒的表皮系數(shù)增大，油氣產(chǎn)能降低。

4 結(jié) 論

1）推導(dǎo)出了Ⅰ－Ⅱ型復(fù)合裂縫的縫端塑性核半徑和起裂角表達(dá)式。

2）起裂角隨裂縫與最大水平主應(yīng)力方向夾角的增大而減小，隨縫內(nèi)流體壓力的增大而增大。

3）在低施工排量下壓出的裂縫和與最大水平主應(yīng)力方向夾角較大的裂縫比較平直，而在高排量壓出的裂縫和與最大水平主應(yīng)力方向夾角較小的裂縫容易發(fā)生轉(zhuǎn)向。

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