董學(xué)東，張瑤，張妍

1.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧大連 116622

2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029

三元域上三次和四次剩余碼的冪等生成元

董學(xué)東1，張瑤2，張妍2

1.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧大連 116622

2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029

1 引言

在通信系統(tǒng)中，為提高信息傳輸可靠性，廣泛使用了具有一定糾錯(cuò)能力的信道編碼技術(shù)，如奇偶校驗(yàn)碼、漢明碼、循環(huán)碼等編碼技術(shù)。二次剩余碼是特殊的循環(huán)碼，又是漢明碼和格雷碼的推廣。因此研究二次剩余碼以及它們的推廣形式具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。文獻(xiàn)[1]的第十六章討論了二元域F2上四種二次剩余碼之間的關(guān)系，給出了四種二次剩余碼的冪等生成元。文獻(xiàn)[2-5]定義了有限域Fq上的高次剩余碼，給出了這些碼生成多項(xiàng)式的形式。高次剩余碼的生成多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式xn-1的因式。然而要求出這些高次剩余碼，就需要在有限域Fq上分解xn-1。當(dāng)n很大時(shí)，這是一件十分困難的任務(wù)。如果能夠確定高次剩余碼冪等生成元，求這些冪等生成元與xn-1最大公因式就可得到高次剩余碼生成多項(xiàng)式而不用分解xn-1[1]。文獻(xiàn)[6]給出了二元域F2上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式。三元域不像二元域那樣簡(jiǎn)單，許多在二元域上顯然成立的結(jié)果在三元域上不一定成立。因此確定三元域F3上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式并不容易。本文使用與文獻(xiàn)[6]不同的枚舉方法給出了三元域F3上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]如果方程xt≡3(modp)有解，則稱3是模p的一個(gè)t次剩余。

引理1[3]設(shè)t|(p-1)，則3是模p的一個(gè)t次剩余?

以下假設(shè)p是奇素?cái)?shù)，t是正整數(shù)并且t|(p-1)，3是模p的一個(gè)t次剩余。設(shè)ρ為有限域Fp的本原元，令

3 三元域上三次剩余碼的冪等生成元

4 三元域上四次剩余碼的冪等生成元

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多項(xiàng)式xn-1在有限域上分解的困難性，給出了三元域上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式。求解這些冪等生成元與多項(xiàng)式xn-1最大公因式就可得到三元域上三次和四次剩余碼的生成多項(xiàng)式。而在有限域上求解兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式可用已有的計(jì)算機(jī)軟件如Maple，Matlab等來(lái)解決。從而可得到具體的三元域上三次和四次剩余碼。用文中枚舉的方法求解五元域或更高階的有限域上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式可能是非常困難的。如何確定高次剩余碼的冪等生成元是一個(gè)有待研究的問(wèn)題。

[1]Macwilliams F J，Sloane N J A.The theory of error-correcting codes[M].Amsterdam，the Netherlands：[s.n.]，1977.

[2]董學(xué)東，高潔，楊麗.關(guān)于三次剩余碼[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，25（1）：1-2.

[3]高潔.關(guān)于e次剩余碼[D].大連：遼寧師范大學(xué)，2002.

[4]高麗，李體政，封利鋒.關(guān)于四次剩余碼及其推廣[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，23（1）：37-39.

[5]朱士信，陳安順.域F2上的三次剩余碼[J].電子學(xué)報(bào)，2008，36（12）：2312-2314.

[6]董學(xué)東，李文杰，張妍.二元域上三次和四次剩余碼的冪等生成元[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2013，49（11）：41-44.

[7]Huffman W C，Pless V.Fundamentals of error correcting codes[M].[S.l.]：Cambridge University Press，2003：138-144.

DONG Xuedong1,ZHANG Yao2,ZHANG Yan2

1.College of Information Engineering,Dalian University,Dalian,Liaoning 116622,China
2.School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian,Liaoning 116029,China

The generating polynomials of higher degree residue codes over finite fields are factors of the polynomialxn-1. Generally speaking,it is difficult to factor the polynomialxn-1over finite fields.This paper gives generating idempotents of cubic and quartic residue codes over the fieldF3.As a result,the generating polynomials of cubic and quartic residue codes over the fieldF3can be obtained by computing the greatest common divisors of these generating idempotents and the polynomialxn-1with computer software such as Matlab and Maple.

generating idempotent;residue code;cyclic code

有限域上高次剩余碼的生成多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式xn-1的因式。針對(duì)多項(xiàng)式xn-1在有限域上分解的困難性，給出了三元域F3上三次和四次剩余碼的冪等生成元表達(dá)式。利用計(jì)算機(jī)軟件求解這些冪等生成元與xn-1最大公因式就可得到三次和四次剩余碼生成多項(xiàng)式而不用分解xn-1。

冪等生成元；剩余碼；循環(huán)碼

A

TN911.22

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0174

DONG Xuedong,ZHANG Yao,ZHANG Yan.Generating idempotents of cubic and quartic residue codes over fieldF3.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：113-117.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.10171042）；遼寧省教育廳高校科研項(xiàng)目（No.L2010234）。

董學(xué)東（1961—），男，博士，教授，研究領(lǐng)域：編碼密碼學(xué)；張瑤（1985—），女，碩士，研究領(lǐng)域：編碼密碼學(xué)；張妍（1978—），女，博士研究生，講師，研究領(lǐng)域：編碼密碼學(xué)。E-mail：dongxuedong@dl.cn

2012-10-18

2012-12-14

1002-8331（2014）18-0113-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-01-11，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130111.0953.015.html