陳盛斌

摘 要： 莫萊定理和拿破侖定理均聯(lián)系了普通三角形和正三角形，在近年的研究中，對(duì)莫萊定理推廣，在文[1]，[2]中找到了一系列，共54個(gè)正三角形.本文重新對(duì)這些正三角形組進(jìn)行分類歸納.同時(shí)，由新的引理，對(duì)拿破侖定理也做出探索，找出在拿破侖定理之下的35個(gè)不同的正三角形.

關(guān)鍵詞： 莫萊定理 拿破侖定理 三線旋轉(zhuǎn)組

一、拿破侖定理與莫萊定理的推廣及分類

拿破侖定理是法蘭西第一帝國皇帝拿破侖·波拿巴提出的問題，現(xiàn)在的研究包括：

外拿破侖三角：△ABC邊為底，向外做30°為底角的等腰三角形，頂點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如（圖一（a））△GHI.

內(nèi)拿破侖三角：△ABC邊為底，向內(nèi)做30°為底角的等腰三角形，頂點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如（圖一（a））△JKL.

莫萊定理是在20世紀(jì)初，由著名數(shù)學(xué)家富蘭克林·莫萊發(fā)現(xiàn)的，經(jīng)過不斷研究和擴(kuò)展，現(xiàn)包括四種形態(tài)，在文[1]中有研究，現(xiàn)重新對(duì)其歸類有：

圖一（a） 圖一（b）

1.內(nèi)莫萊三角：△ABC各角內(nèi)角三等分線交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如（圖一（b））△DEF.

2.外莫萊三角：△ABC各角外角三等分線交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如（圖一（b））△GHI.

3.優(yōu)莫萊三角：△ABC各角優(yōu)角三等分線（反向延長）交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如（圖一b）△JKL.

以上三種形式是我們較熟悉的形態(tài).

4.旁莫萊三角：△ABC各角的內(nèi)角、外角、優(yōu)角三等分線混合構(gòu)成交點(diǎn)，包含四種形態(tài)：

（I型）△ABC中，∠C內(nèi)角三等分線與∠A，∠B的外角三等分線交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如圖二（I）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個(gè)不同的正三角形.

（II型）△ABC中，∠C外角三等分線與∠A，∠B的優(yōu)角三等分線（或延長線）交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如圖二（II）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個(gè)不同的正三角形.

（III型）△ABC中，∠C優(yōu)角三等分線延長線與∠A，∠B的內(nèi)角三等分線交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如圖二（III）△DEF；A、B、C角輪換后，可形成三個(gè)不同的正三角形.

（IV型）△ABC中，∠C內(nèi)角三等分線延長線，∠B的外角三等分線，∠A的優(yōu)角三等分線（或延長線）交點(diǎn)構(gòu)成正三角形，如圖二（IV）△DEF；A、B、C角輪換及內(nèi)角、外角、優(yōu)角輪換后，可形成六個(gè)不同的正三角形.

圖二

對(duì)于旁莫萊三角的四種形態(tài)，在文[1]中已經(jīng)給予總結(jié)、證明和分類，在此形成了一個(gè)具有18個(gè)莫萊正三角形組。同時(shí)在文[1][2]中還一共形成了共有54個(gè)三角形構(gòu)成的莫萊魔方，但其分類和形成的標(biāo)準(zhǔn)比較混亂.在此做出新的總結(jié)，同時(shí)對(duì)拿破侖三角的形態(tài)可以做出類似的推廣.

二、三線旋轉(zhuǎn)組定義與證明

觀察在莫萊定理的四種形式中，每個(gè)角的內(nèi)角三等分線，外角三等分線，優(yōu)角三等分線，構(gòu)成了兩個(gè)兩兩夾角為60°的直線組.如圖一（b）中角A處直線AD，AG，AJ構(gòu)成夾角為60°的直線組；直線AF，AI，AL構(gòu)成另一個(gè)夾角為60°的直線組.

在拿破侖定理的兩種形態(tài)中，向內(nèi)外各做底角為30°的等腰三角形.如圖一（a）中角A處直線AL，AG夾角為60°，再將AG向外轉(zhuǎn)60°，得直線AM，此時(shí)就構(gòu)成了夾角為60°的直線組.同理，角B處也有直線BL，BG，BN構(gòu)成另一個(gè)夾角為60°的直線組；由于此時(shí)AM⊥AB，BN⊥AB，若認(rèn)為AM，BN交于無窮遠(yuǎn)處，則有類似的在無窮遠(yuǎn)處構(gòu)成的三角形，是拿破侖定理的第三種形態(tài).

定義：若三條直線，兩兩之間夾角為60°，則稱這三條直線構(gòu)成一個(gè)三線旋轉(zhuǎn)組.

我們給出這樣的引理：

圖三

引理：（圖三）以A，B兩點(diǎn)分別做直線a■，a■，a■和b■，b■，b■使其分別構(gòu)成三線旋轉(zhuǎn)組，按逆時(shí)針順序?qū)?yīng)相交，則構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構(gòu)成正△CDE；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構(gòu)成正△FGH；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）構(gòu)成正△IJK.

以正△CDE為例，我們給出證明：

證明：∵a■，a■和b■，b■分別夾角為60°，a■和b■交于點(diǎn)C，a■和b■交于點(diǎn)D，

∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

同理，a■，a■和b■，b■分別夾角為60°，a■和b■交于點(diǎn)D，a■和b■交于點(diǎn)E，

∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓.

∴ABCDE五點(diǎn)共圓.

設(shè)外接圓半徑為R，

∴由正弦定理CD=2Rsin∠CBD=■R，ED=2Rsin∠EBD=■R，CE=2Rsin∠CBE=■R，

即△CDE為正三角形.正△FGH和正△IJK同理可證.

三、莫萊正三角形組與拿破侖正三角形組的統(tǒng)一推廣

1.莫萊正三角形組

由∠A，∠B，∠C的各有兩組三線旋轉(zhuǎn)組，以A、B兩點(diǎn)為例，加以說明.

（I型）如圖四，以∠A，∠B靠近AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形，共計(jì)9個(gè)等邊三角形.

（II型）如圖四，以∠A，∠B遠(yuǎn)離AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形，共計(jì)9個(gè)等邊三角形.

圖四

（III型）如圖四，以∠A遠(yuǎn)離AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，∠B靠近AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似交換三等分線旋轉(zhuǎn)組，以∠A靠近AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，∠B遠(yuǎn)離AB邊的內(nèi)角三等分線及其三線旋轉(zhuǎn)組，則在AB邊可再構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形，共計(jì)18個(gè)等邊三角形.

在此，我們共計(jì)在莫萊定理的推廣中，共找出了54個(gè)等邊三角形，形成了一個(gè)比較復(fù)雜的正三角形組群.

2.拿破侖正三角形組

由A，B，C三點(diǎn)處各有兩組三線旋轉(zhuǎn)組，以A、B兩點(diǎn)為例，加以說明.

（I型）如圖五，以A、B邊向外各旋轉(zhuǎn)30°的直線及三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形，共計(jì)6個(gè)等邊三角形.

（II型）如圖五，以A為圓心，AC邊向外旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組；以B為圓心，BC邊向外做旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形，共計(jì)9個(gè)等邊三角形.

圖五

（III型）如圖五，以A為圓心，AC邊向外旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組；以B為圓心，BA邊向外各做旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形.類似交換旋轉(zhuǎn)組，以A為圓心，AB邊向外旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組；以B為圓心，BC邊向外各做旋轉(zhuǎn)30°的直線及其三線旋轉(zhuǎn)組，由引理相交構(gòu)成三個(gè)等邊三角形，此時(shí)共在A、B點(diǎn)構(gòu)成了六個(gè)等邊三角形；在BC邊、AC邊輪換也同樣相交構(gòu)成六個(gè)等邊三角形，共計(jì)18個(gè)等邊三角形.

由此，我們?cè)谀闷苼龆ɡ淼耐茝V中，共找出了含35個(gè)正三角形的組群.

針對(duì)拿破侖定理和莫萊定理，還有其他可以統(tǒng)一研究的對(duì)象嗎？能否找到統(tǒng)一的證明方法？若把三線旋轉(zhuǎn)組，改為相鄰直線成45°的四線旋轉(zhuǎn)組，則有其他結(jié)論嗎？這些問題有待大家共同思考解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]梁卷明.三等分角線構(gòu)成的三角形的性質(zhì).中學(xué)數(shù)學(xué)，1997.7.

[2]梁卷明.莫萊（morley）三角形新探.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001.3.

[3]阮世慶.Napoleon定理的一個(gè)初等證法的改進(jìn).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010.17.