程豐波 馬征 范開(kāi) 周劉軍 李闖建

摘 要： 地球物理學(xué)是一門通過(guò)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋地下異常體在各種場(chǎng)中的響應(yīng)，從而為資源勘探、工程施工等提供指導(dǎo)的綜合性學(xué)科。本文就礦井瞬變電磁法時(shí)深轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)及直流電法勘探中均勻電流場(chǎng)球體電位推導(dǎo)闡述數(shù)學(xué)在地球物理學(xué)中的重要性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué) 地球物理學(xué) 拉氏變換 貝塞爾方程

引言

科學(xué)技術(shù)發(fā)展到今天，越來(lái)越顯示科學(xué)技術(shù)化、技術(shù)科學(xué)化的趨勢(shì)。地球物理學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)其理論研究的進(jìn)步，而其理論研究則依托了數(shù)學(xué)、物理學(xué)、電子科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的最新成就。但是應(yīng)用地球物理學(xué)教學(xué)學(xué)時(shí)較以前有大幅壓縮和裁剪，這使得很多地球物理學(xué)本科畢業(yè)生缺乏扎實(shí)的與專業(yè)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)從而使其對(duì)專業(yè)理論理解不深厚[1]，[2]。

在進(jìn)行地球物理勘探時(shí)，需要對(duì)勘探過(guò)程得到的信息進(jìn)行處理，傅立葉級(jí)數(shù)與變換、拉普拉斯變換、微分方程求解等都是處理地球物理勘探信息的主要數(shù)學(xué)方法。此外，地球物理中的分支電磁法勘探中的諸多理論知識(shí)都是依托大量數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展起來(lái)的[3]。

1.常用數(shù)學(xué)知識(shí)介紹

（1）拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是處理工程技術(shù)信息數(shù)據(jù)的一種常見(jiàn)數(shù)學(xué)方法。一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算往往并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，這樣在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化[4]，[5]，[6]，[7]。

拉普拉斯變換有關(guān)概念在此不做詳解，在用拉普拉斯變換解微分方程時(shí)常常用到它的以下性質(zhì)：

微分性質(zhì)：L[f■（t）]=p■L[f（t）]-p■f（0）-p■f′（0）-…-f■（0）

積分性質(zhì)：L[？蘩■■f（π）dτ]=■L[f（t）]

卷積性質(zhì)：L[f■（t）*f■（t）]=L[f■（t）]·L[f■（t）]

通過(guò)解下面的常微分方程的初值問(wèn)題了解拉普拉斯變換的應(yīng)用：

T■″（t）+（■）■T■（t）=f■tT■（0）=0T■′（0）=0

對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換并設(shè)：■（p）=L[T■（t）]；F（p）=L[f■（t）]

則由拉普拉斯變換的微分性質(zhì)可得出：

p■■（p）-pT■（O）-T■′（O）+（■）■■（p）=F（p）

代入初始條件得到：

p■■（p）+（■）■■（p）=F（p）

■（p）=F（p）×■

又由公式L[sinat]=■得到■=■L[sin■t]

故由卷積公式有：T■（t）=L■[■（p）]=：L■[F（p）]·■

=■L■[L[f■（t）]·L[sin■t]]=■f■（t）*sin■t=■？蘩■■f■（τ）sin■（t-τ）dτ

（2）貝塞爾函數(shù)及勒讓德方程簡(jiǎn)介

貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆赫茲方程時(shí)得到的（詳細(xì)過(guò)程請(qǐng)參照參考文獻(xiàn)[3]），因此貝塞爾函數(shù)在波動(dòng)問(wèn)題及各種涉及有勢(shì)場(chǎng)的問(wèn)題中占有非常重要的地位[5]，[8]。

貝塞爾方程的形式為：x■y″+xy′+（x■-υ■）y=0，0

式中υ為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱為貝0塞爾方程的階。取x■=0為展開(kāi)中心，就可以用廣義冪級(jí)數(shù)方法求出其一個(gè)特解即貝塞爾函數(shù)：J■（x）=∑■■■（■）■

貝塞爾方程的通解為一個(gè)與J■（x）線性無(wú)關(guān)的獨(dú)立解：y■=AJ■（x）+BJ■（x），通過(guò)朗斯基行列式可以求得J■=■

勒讓德多項(xiàng)式是數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中最重要的函數(shù)集合之一，它在求解三維空間中的球?qū)ΨQ問(wèn)題，譬如計(jì)算點(diǎn)電荷在空間中激發(fā)的電勢(shì)時(shí)通常要用到勒讓德多項(xiàng)式作級(jí)數(shù)展開(kāi)。

勒讓德方程：（1-x■）y″-2xy′+1（1+1）y=0，x=0為方程常點(diǎn)，故可設(shè)在x=0的領(lǐng)域內(nèi)，其解為y=∑■■C■x■，將此解代入方程可推導(dǎo)出C■的表達(dá)式，從而可求出方程的解。C■即為n階勒讓德多項(xiàng)式，C■=■為勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式[5]。

2.礦井瞬變電磁法時(shí)深轉(zhuǎn)換

礦井瞬變電磁法勘探接受回線測(cè)量的是巷道附近導(dǎo)電巖層在一次電磁場(chǎng)激勵(lì)下產(chǎn)生的純二次感應(yīng)場(chǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律，反映巷道附近導(dǎo)電介質(zhì)電性分布特征，可換算為勘探體積范圍導(dǎo)電介質(zhì)的視電阻率隨時(shí)間變化曲線，依據(jù)該曲線只能解釋出不同時(shí)間巷道周圍導(dǎo)電介質(zhì)的電性分布特征，與電性介質(zhì)的具體分布范圍和空間位置（深度）很難直接對(duì)比，無(wú)法滿足生產(chǎn)實(shí)際要求。因此，必須將視電阻率隨時(shí)間變化的曲線轉(zhuǎn)換為隨深度變化的曲線（簡(jiǎn)稱時(shí)深轉(zhuǎn)換），綜合礦井地質(zhì)和水文地質(zhì)等資料解釋，從而可以確定巷道附近導(dǎo)電介質(zhì)的分布范圍和具體空間位置（深度），對(duì)解決實(shí)際地質(zhì)問(wèn)題更具指導(dǎo)意義[9]。

礦井瞬變電磁法時(shí)深轉(zhuǎn)換步驟如下：

電磁場(chǎng)傳播深度D（t）為時(shí)間的函數(shù)：D（t）=？蘩■■v（p，t）dt（1）

■=■？蘩■■L■■[■]J■（λ）J■（Kλ）λ■dλ（2）

Q=■？蘩■■[■-λe■erfc（λτ■+■）]J■（λ）λ■dλ（3）

■=■γ■？蘩■■（2λz■-λz-1）e■J■（λ）λ■dλ（4）

上式中λ=μa■/4ρt，A是發(fā)射回線有效面積，（3）式中三項(xiàng)積分前兩項(xiàng)可以求出，第三項(xiàng)無(wú)法直接求取，故對(duì)第三項(xiàng)積分采用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)并積分得：

？蘩■■e■J■（λ）λ■dλ=4γ■e■（5）

并且

？蘩■■λ■e■J■（λ）dλ=■∑■■■？蘩■■λ■e■dλ=8γ■∑■■■（-γ）■（6）

將式（5）和（6）代入式（4）中得：

■=■γ■[2γZ■-1-2γ■ZC■（γ）]（7）

式中C■（γ）=e■∑■■■（-γ）■，當(dāng)磁場(chǎng)對(duì)時(shí)間變化率極大值時(shí)，電磁場(chǎng)達(dá)最大深度Z為：Z=■=■（8）

實(shí)際計(jì)算中，由于C■（γ）式中Γ函數(shù)存在，求和式出現(xiàn)的截?cái)嗾`差可能影響C■（γ）數(shù)值解。為了減小這種影響，對(duì)C■（γ）式右邊進(jìn)行Kummer變換，得：

C■（γ）=■[1-■-∑■■■（■）■]（9）

已知電磁場(chǎng)垂直分量在某一時(shí)間內(nèi)傳播的垂直距離公式（8）中的D，則電磁波在垂直方向上的擴(kuò)散速度為：

V=■=■{C■+（C■■+2）■+[1+■]γC■}（10）

式（10）是巷道頂板和底板為均勻?qū)щ娙臻g電磁波在發(fā)射回線中心垂直方向的擴(kuò)散速度，如果已知不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)的電阻率值，則可換算出不同深度對(duì)應(yīng)的電阻率值。

3.均勻電流場(chǎng)中球體的電位推導(dǎo)

設(shè)在均勻各項(xiàng)同性無(wú)線導(dǎo)電巖石中，有一半徑為r■的球形礦體，圍巖電阻率為ρ■，球體電阻率為ρ■，均勻電流場(chǎng)的電流密度為j■

因?yàn)榍騼?nèi)球外電位均滿足拉普拉斯方程：■（r■■）+■·■（sinθ■）=0（11）

解上式偏微分方程用分離變量法可設(shè)U■（r，θ）=f（r）？覫（θ）（12）

將（12）式代入（11）式中兩邊整理得：

■·■[r■■]=-■·■[sinθ■]（13）

（13）式為左右兩邊兩個(gè)互不相關(guān)的函數(shù)相等，故只有兩個(gè)函數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)C才能使等式成立。即有：

■·■[r■■]=C（14）

■·■[sinθ■]=-C（15）

（14）式可化簡(jiǎn)為歐拉方程的求解得C=n（n+1），這里不作細(xì)述。將C=n（n+1）代入（15）式中得：

■·■[sinθ■]+n（n+1）？覫（θ）=0（16）

可見(jiàn)（16）式為n等于任意整數(shù)時(shí)的勒讓德方程，其解為？覫（θ）=p■cosθ

然后根據(jù)此模型的邊界條件聯(lián)立方程組即可得出球內(nèi)球外電位表達(dá)式[10]。

結(jié)語(yǔ)

從上面兩個(gè)例子可以看出要想深入了解研究地球物理學(xué)中的原理必須有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此筆者建議高等院校在為地球物理學(xué)本科生（無(wú)論是理學(xué)還是工學(xué)）開(kāi)設(shè)課程時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，只有深入理解掌握地球物理學(xué)原理和數(shù)據(jù)處理的方法，才能更好地將其運(yùn)用于實(shí)踐中。

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煤炭資源與安全開(kāi)采國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目