劉 斌，黃 震，劉 雄，劉清裕

非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則下考慮坡頂條形基礎(chǔ)的邊坡穩(wěn)定性分析*

劉 斌1，黃 震1，劉 雄1，劉清裕2

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410004；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)文法學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410004）

運(yùn)用非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析時(shí)需考慮的變量比線(xiàn)性情況多.基于非線(xiàn)性Mohr－Coulomb破壞準(zhǔn)則，在考慮坡頂條形基礎(chǔ)附屬荷載情況下對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，采用極限分析原理對(duì)邊坡的高度表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，并結(jié)合序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行計(jì)算.再根據(jù)計(jì)算方法對(duì)工程實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，將結(jié)果與已有研究結(jié)果相比較，驗(yàn)證了該計(jì)算方法的正確性.

邊坡穩(wěn)定性；非線(xiàn)性準(zhǔn)則；條形基礎(chǔ)；極限分析

隨著我國(guó)高速公路建設(shè)過(guò)程的推進(jìn)，邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題日益凸顯，如果處理措施不當(dāng)，將造成不可挽回的巨大經(jīng)濟(jì)損失.因此，邊坡穩(wěn)定性一直是學(xué)術(shù)界研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題［1－5］.在已有的研究中，大多數(shù)邊坡穩(wěn)定性分析是基于線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則進(jìn)行研究，Chen［6］在其著作中基于線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則，采用極限分析方法給出了大多數(shù)情況下邊坡的穩(wěn)定性分析結(jié)果，其研究成果為邊坡穩(wěn)定性研究提供了重要的指導(dǎo)；陳祖煜［7］對(duì)土力學(xué)經(jīng)典問(wèn)題的上、下限解進(jìn)行了研究，并給出了計(jì)算結(jié)果.然而，大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，巖土介質(zhì)服從非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則，已有的線(xiàn)性破壞情況只是非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則的一種特殊情況.對(duì)于非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則而言，其研究成果相對(duì)線(xiàn)性破壞成果較少，已有的研究成果也難以應(yīng)用到工程實(shí)際以及理論研究當(dāng)中.Yang等［8－10］首次基于非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則將極限分析方法應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性分析當(dāng)中，為處理邊坡穩(wěn)定性工程難題提供了重要參考，使極限分析方法得到了更為廣泛的應(yīng)用.

在土地資源日益緊缺的今天，邊坡頂部設(shè)置各種建筑物成為一種合理利用土地資源的手段，張曉曦［11］在考慮邊坡頂部設(shè)置固定荷載的情況下，對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，為山區(qū)公路邊坡的穩(wěn)定性及處治提供了參考.本文基于非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則，并考慮在邊坡頂部設(shè)置條形基礎(chǔ)荷載情況下，對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析.構(gòu)建了在條形基礎(chǔ)作用下的邊坡破壞機(jī)構(gòu)，同時(shí)利用非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則對(duì)邊坡的內(nèi)外做功功率進(jìn)行推導(dǎo)，計(jì)算了條形基礎(chǔ)荷載對(duì)邊坡內(nèi)外做功功率的影響，令邊坡處于極限狀態(tài)，求解邊坡的臨近高度，采用非線(xiàn)性規(guī)劃算法對(duì)其結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，將本文所得結(jié)果與已有研究相比較，為實(shí)際工程中邊坡穩(wěn)定性設(shè)計(jì)和施工提供了指導(dǎo)意義.

1 基本原理

在巖土工程研究當(dāng)中，為了計(jì)算的簡(jiǎn)便，通常采用的強(qiáng)度準(zhǔn)則為線(xiàn)性的Mohr－Coulomb準(zhǔn)則，在線(xiàn)性準(zhǔn)則中，其最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3為線(xiàn)性關(guān)系：

式（3）當(dāng)中，σ1和σ3為土體破壞時(shí)的最大以及最小主應(yīng)力，qp、Mp和巖體的土體強(qiáng)度指標(biāo)c、φ之間的關(guān)系為：

但是，大量的實(shí)驗(yàn)表明，在土體當(dāng)中，其最大與最小主應(yīng)力的關(guān)系并非是線(xiàn)性的，大多數(shù)研究考慮的兩者的線(xiàn)性關(guān)系只是一種特殊情況.其非線(xiàn)性關(guān)系可以表達(dá)如下：

上式當(dāng)中，M*p和α是由室內(nèi)三軸試驗(yàn)所確定的參數(shù)，此公式是Bieniawski在線(xiàn)性強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上提出的.在應(yīng)力空間（τ，σn）中，上式可以表示如下：

將上述關(guān)系式用曲線(xiàn)表示如圖1所示，其中c0為縱軸的截距，c0，σt和m均為室內(nèi)三軸試驗(yàn)所確定土體參數(shù).令m＝1，則所研究的非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則退化為線(xiàn)性準(zhǔn)則.

圖1 非線(xiàn)性屈服準(zhǔn)則的切線(xiàn)

式（4）的切線(xiàn)方程可表示如下：

式（5）中：ct，tanφt為切線(xiàn)的截距和斜率，如上圖1中所示，在非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則當(dāng)中，ct，tanφt可表示如下：

2 條形基礎(chǔ)荷載作用下邊坡的上限分析

構(gòu)建如圖2所示的邊坡在條形基礎(chǔ)作用下的旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)，其中曲線(xiàn)AB為旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)的假象破壞面，邊坡坡腳為β，邊坡頂部BC長(zhǎng)度為L(zhǎng)，邊坡的高度為H，所構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)中心O與邊坡的B、A連線(xiàn)與水平夾角分別為θ0，θh.由參考文獻(xiàn)可知，在本文的破壞機(jī)構(gòu)中，潛在破壞面AB的曲線(xiàn)方程可表示為：

直線(xiàn)OA的長(zhǎng)度為：

圖2所示在條形基礎(chǔ)作用下的邊坡的破壞機(jī)構(gòu)中，潛在破壞面AB以上的土體可視為假象剛體，并繞破壞機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)中心O做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則由圖中的幾何關(guān)系可得：

圖2 條形基礎(chǔ)荷載作用下邊坡的對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)破壞機(jī)構(gòu)

2.1外部做功功率

在Chen的著作當(dāng)中可知，在分析邊坡的旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)時(shí)，如果對(duì)分析的土體自重做功功率時(shí)，直接對(duì)其進(jìn)行求解，則過(guò)程過(guò)于繁瑣，并且結(jié)果不易求得，只能是一個(gè)近似解，因此在本文對(duì)圖2邊坡的外部做功功率求解時(shí)，采用的方法為間接的疊加法：首先分別求出OAB、OBC、OAC三個(gè)部分的做功功率，進(jìn)而求得要求的ACB區(qū)域的做功功率，其中OAB的做功功率相對(duì)OBC、OAC兩個(gè)三角形的土體做功功率較為難求，本文采用積分的手段進(jìn)行求解，可得OAB部分做功功率為：

其中：

O－B－C的重力做功功率可表示如下：

同理可得OAC土體自重做功功率表達(dá)式為：

因此由（14）、（16）、（18）式可得，本文所求ACB區(qū)域土體外部做功功率為：

2.2土體內(nèi)部耗散功率

由極限分析原理可知，旋轉(zhuǎn)剛體的內(nèi)部能量耗損發(fā)生在間斷面AB上，沿著間斷面AB進(jìn)行積分即可得旋轉(zhuǎn)剛體的土體內(nèi)部能量耗散功率：

2.3條形基礎(chǔ)荷載做功功率

條形基礎(chǔ)荷載分布圖2所示，條形基礎(chǔ)與坡頂C的距離為L(zhǎng)0，埋深為d，基礎(chǔ)寬度為b，假設(shè)其附加均布荷載為q.本文假設(shè)回填土的重度、條形基礎(chǔ)的重度和二級(jí)邊坡土體的重度比較接近，其差別對(duì)邊坡的影響可以忽略不計(jì).故可認(rèn)為條形基礎(chǔ)的附加荷載為上部結(jié)構(gòu)傳遞到基底的平均值：

由式（20）及式（22）可得，邊坡總的外力做功功率為：

由極限分析上限法定理可知，土體外部做功功率與內(nèi)部能量耗散功率相等時(shí)，圖2中旋轉(zhuǎn)剛體達(dá)到一個(gè)臨界狀態(tài)，可知：

當(dāng)在條形基礎(chǔ)附加荷載作用下邊坡的各項(xiàng)功率滿(mǎn)足公式（24）時(shí)，旋轉(zhuǎn)剛體體達(dá)到臨界狀態(tài)，在非線(xiàn)性Mohr－Coulomb破壞準(zhǔn)則下，對(duì)于在條形基礎(chǔ)附加荷載作用下邊坡的穩(wěn)定性分析時(shí)，相比線(xiàn)性準(zhǔn)則的3個(gè)變量就能確定其滑動(dòng)面方程而言，非線(xiàn)性準(zhǔn)則下要采用4個(gè)變量，分別為θ0，θh，r0，tanφt，進(jìn)而確定邊坡在平衡狀態(tài)的臨界高度Hcr.

由公式（10）、（12）、（20）、（21）、（23）以及（24）可知，條形基礎(chǔ)附加荷載作用下邊坡的高度H可以表示為θ0，θh，r0，tanφt的函數(shù).故采用極限分析原理求條形基礎(chǔ)附加荷載作用下邊坡的臨界高度，可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題：

當(dāng)在條形基礎(chǔ)附加荷載作用下邊坡的滑動(dòng)土體處于臨界狀態(tài)時(shí)，H即為最小值，也是式（25）的最小值令，進(jìn)而對(duì)θ0，θh，r0，tanφt進(jìn)行求解.

其約束條件可確定如下：

本文采用Chen提出的邊坡穩(wěn)定系數(shù)概念，公式（25）給出了臨界高度的一個(gè)上限解min H.

記

稱(chēng)無(wú)量綱系數(shù)Ns為邊坡穩(wěn)定系數(shù).

3 工程算例

為了便于比較，假設(shè)某邊坡坡腳β＝90°，即為豎直邊坡.采用已有研究將本文中非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則下考慮坡頂條形基礎(chǔ)附屬荷載作用所得邊坡的穩(wěn)定系數(shù)與已有的研究結(jié)果［12］相比較，設(shè)某豎直邊坡的土體服從非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則，Zhang等［13］在對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行分析時(shí)，所取的巖土強(qiáng)度參數(shù)分別為c＝90kPa、σt＝247.3kPa，此后也有許多學(xué)者基于非線(xiàn)性準(zhǔn)則及相同的強(qiáng)度參數(shù)分析巖土的穩(wěn)定性.因此，本文所取的計(jì)算參數(shù)也同樣采用上述參數(shù)值.非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則中，其非線(xiàn)性系數(shù)m決定著破壞準(zhǔn)則的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)形狀，對(duì)巖土的其他參數(shù)有著較大影響，故本文對(duì)不同非線(xiàn)性系數(shù)下的邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行研究.由于本文考慮坡頂條形基礎(chǔ)荷載的作用，邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)將比文獻(xiàn)［12］中會(huì)小.

當(dāng)m分別取值為1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5，其他參數(shù)與文獻(xiàn)［12］中所述相同，并將本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［12］中所得結(jié)果相比較，結(jié)果見(jiàn)表1.從表1中可看出，在非線(xiàn)性Mohr－Coulomb破壞準(zhǔn)則下，考慮坡頂條形基礎(chǔ)附屬荷載，邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)Ns相比文獻(xiàn)［12］中較小，隨著m系數(shù)的增加，兩者相差也越來(lái)越大，當(dāng)m＝2.5時(shí)，其穩(wěn)定系數(shù)為3.44，與文獻(xiàn)［12］中相差達(dá)到22.6%.從而可以看出條形基礎(chǔ)附加荷載對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，也驗(yàn)證上文提到的本文計(jì)算的正確性.

表1 非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則下考慮條形基礎(chǔ)荷載時(shí)邊坡穩(wěn)定性系數(shù)與已有結(jié)果的比較

4 結(jié)論

（1）在非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則下，對(duì)邊坡的穩(wěn)定性分析時(shí)要考慮的變量比線(xiàn)性情況要多一個(gè)土體參數(shù).運(yùn)用極限分析原理對(duì)邊坡的高度表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，并采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行計(jì)算，從而求得條形基礎(chǔ)荷載對(duì)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)的影響.

（2）將本文研究方法應(yīng)用的工程實(shí)例當(dāng)中，并將所得計(jì)算結(jié)果與已有研究結(jié)果相比較，可以得出，在非線(xiàn)性Mohr－Coulomb破壞準(zhǔn)則下，考慮坡頂條形基礎(chǔ)附屬荷載下，邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)Ns相比已有結(jié)果中較小，隨著m系數(shù)的增加，兩者相差也越來(lái)越大.

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Slope Stability Analysis under the Nonlinear Failure Criterion w ith the Consideration of the Crest Strip Foundation

LIU Bin1，HUANG Zhen1，LIU Xiong1，LIU Qingyu2
（1.College of Transportation Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China；2.College of Arts and Law，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China）

It is necessary to considermore variables to analyze slope stability by using nonlinear failure criterion compared to the linear case.Based on nonlinearMohr－Coulomb failure criterion，affiliated load of the creststrip foundation is considered to analyze the slope stability.Slope height expressions are deduced by the principle of limitanalysis，and they are calculated with sequential quadratic programming algorithm.Then the paper calculates the engineering practicewith the calculationmethod，and the results are compared with those of previous studies to verify the correctness of the calculationmethod.

slope stability；nonlinear criteria；strip foundation；limit analysis

TU47

A

1008－4681（2014）02－0015－05

（責(zé)任編校：晴川）

2013－12－31

劉斌（1990－），男，江西吉安人，長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院碩士生.研究方向：特殊土路基、邊坡穩(wěn)定性.