孫志權
關于數(shù)學的解題方法有很多種,并且每一種的解題方法都有著自身的特點.在種類眾多的解題方法中,圖解法是應用最為廣泛的一種解題方法.按照所限定的條件,采用幾何直觀繪圖手法,借助對圖形有效的分析,將圖形所包含的內(nèi)容利用文字數(shù)學的形式表現(xiàn)出來.圖解法的特點就是結(jié)合圖形的直觀形象,引導啟發(fā)學生的思路,以便獲取更加準確的答案.圖解法是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學解題過程的集中性體現(xiàn),由“形”中獲取“數(shù)”的方法.
一、目標函數(shù)和約束條件都是線性的
例1maxz=3x+y
s.t2x+3y≤24,
x-y≤7,
y≤6,x≥0,
y≥0.
在解題之前可以先作出可行域,如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區(qū)域內(nèi)可以作為可行域存在.直線l:3x+y=0
根據(jù)定理2中顯示,從O點到C點是形成的目標函數(shù)逐漸增大的發(fā)展方向,所在B點可以得出我們所需要的最值解,這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.
解方程組x- y=7,
2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為(9,2).所以Zmax=3×9+2=29.
所以由例子1我們可以得出利用線性規(guī)劃圖解法進行求解問題的步驟
建立一個完整的直角坐標系,根據(jù)相關的約束條件作出線性規(guī)劃問題中的可行域,在沒有可行域的情況下,問題是沒有解的.
畫出由O到C發(fā)展的方向,目標函數(shù)值增大的方向就能夠找到目標函數(shù)并取得最優(yōu)解
通過對方程組求解,并將坐標代入取得最優(yōu)值.
二、目標函數(shù)與約束條件的非線性發(fā)展
例2在滿足f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.
在解答這道問題時可進行優(yōu)化問題,max(min)f(x)=ax2-c
- 4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
x=3
由f(x)ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1
-1≤4a- c≤ 5
將原來的問題進行充分的轉(zhuǎn)化成約束條件4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
求出f(3)=9a-c的取值范圍
我們可以做出可行域中的陰影部分,如下圖.
由上圖我們可以指導題目的最優(yōu)解是A(0,1)和C(3,7).
a=0,c=7這兩個條件代入9a-c得出結(jié)論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.
三、圖解法的應用能夠使抽象的數(shù)學問題更加的具體,能夠更加直觀的表達,將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡易化
例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點,在其中取四個不共面的點不同的取法
共有( )
A.150種B.147種
C.144種D.141種
如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用,但是在結(jié)論中顯示要求這4個點不共面,所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示,四面體一共有四個面,在每個面中都有6個點,所以對共面的計算就可以采用4×C46,在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知,在每一條棱上都有三個不同的點,這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面,所以在這種情況下,6種四個點共面的情形,所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選(D).
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關于數(shù)學的解題方法有很多種,并且每一種的解題方法都有著自身的特點.在種類眾多的解題方法中,圖解法是應用最為廣泛的一種解題方法.按照所限定的條件,采用幾何直觀繪圖手法,借助對圖形有效的分析,將圖形所包含的內(nèi)容利用文字數(shù)學的形式表現(xiàn)出來.圖解法的特點就是結(jié)合圖形的直觀形象,引導啟發(fā)學生的思路,以便獲取更加準確的答案.圖解法是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學解題過程的集中性體現(xiàn),由“形”中獲取“數(shù)”的方法.
一、目標函數(shù)和約束條件都是線性的
例1maxz=3x+y
s.t2x+3y≤24,
x-y≤7,
y≤6,x≥0,
y≥0.
在解題之前可以先作出可行域,如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區(qū)域內(nèi)可以作為可行域存在.直線l:3x+y=0
根據(jù)定理2中顯示,從O點到C點是形成的目標函數(shù)逐漸增大的發(fā)展方向,所在B點可以得出我們所需要的最值解,這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.
解方程組x- y=7,
2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為(9,2).所以Zmax=3×9+2=29.
所以由例子1我們可以得出利用線性規(guī)劃圖解法進行求解問題的步驟
建立一個完整的直角坐標系,根據(jù)相關的約束條件作出線性規(guī)劃問題中的可行域,在沒有可行域的情況下,問題是沒有解的.
畫出由O到C發(fā)展的方向,目標函數(shù)值增大的方向就能夠找到目標函數(shù)并取得最優(yōu)解
通過對方程組求解,并將坐標代入取得最優(yōu)值.
二、目標函數(shù)與約束條件的非線性發(fā)展
例2在滿足f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.
在解答這道問題時可進行優(yōu)化問題,max(min)f(x)=ax2-c
- 4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
x=3
由f(x)ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1
-1≤4a- c≤ 5
將原來的問題進行充分的轉(zhuǎn)化成約束條件4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
求出f(3)=9a-c的取值范圍
我們可以做出可行域中的陰影部分,如下圖.
由上圖我們可以指導題目的最優(yōu)解是A(0,1)和C(3,7).
a=0,c=7這兩個條件代入9a-c得出結(jié)論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.
三、圖解法的應用能夠使抽象的數(shù)學問題更加的具體,能夠更加直觀的表達,將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡易化
例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點,在其中取四個不共面的點不同的取法
共有( )
A.150種B.147種
C.144種D.141種
如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用,但是在結(jié)論中顯示要求這4個點不共面,所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示,四面體一共有四個面,在每個面中都有6個點,所以對共面的計算就可以采用4×C46,在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知,在每一條棱上都有三個不同的點,這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面,所以在這種情況下,6種四個點共面的情形,所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選(D).
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一、目標函數(shù)和約束條件都是線性的
例1maxz=3x+y
s.t2x+3y≤24,
x-y≤7,
y≤6,x≥0,
y≥0.
在解題之前可以先作出可行域,如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區(qū)域內(nèi)可以作為可行域存在.直線l:3x+y=0
根據(jù)定理2中顯示,從O點到C點是形成的目標函數(shù)逐漸增大的發(fā)展方向,所在B點可以得出我們所需要的最值解,這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.
解方程組x- y=7,
2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為(9,2).所以Zmax=3×9+2=29.
所以由例子1我們可以得出利用線性規(guī)劃圖解法進行求解問題的步驟
建立一個完整的直角坐標系,根據(jù)相關的約束條件作出線性規(guī)劃問題中的可行域,在沒有可行域的情況下,問題是沒有解的.
畫出由O到C發(fā)展的方向,目標函數(shù)值增大的方向就能夠找到目標函數(shù)并取得最優(yōu)解
通過對方程組求解,并將坐標代入取得最優(yōu)值.
二、目標函數(shù)與約束條件的非線性發(fā)展
例2在滿足f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.
在解答這道問題時可進行優(yōu)化問題,max(min)f(x)=ax2-c
- 4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
x=3
由f(x)ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1
-1≤4a- c≤ 5
將原來的問題進行充分的轉(zhuǎn)化成約束條件4≤a-c≤-1
-1≤4a-c≤5
求出f(3)=9a-c的取值范圍
我們可以做出可行域中的陰影部分,如下圖.
由上圖我們可以指導題目的最優(yōu)解是A(0,1)和C(3,7).
a=0,c=7這兩個條件代入9a-c得出結(jié)論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.
三、圖解法的應用能夠使抽象的數(shù)學問題更加的具體,能夠更加直觀的表達,將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡易化
例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點,在其中取四個不共面的點不同的取法
共有( )
A.150種B.147種
C.144種D.141種
如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用,但是在結(jié)論中顯示要求這4個點不共面,所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示,四面體一共有四個面,在每個面中都有6個點,所以對共面的計算就可以采用4×C46,在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知,在每一條棱上都有三個不同的點,這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面,所以在這種情況下,6種四個點共面的情形,所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選(D).
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