黎麗

n值邏輯系統(tǒng)中條件隨機(jī)真度理論

黎麗

(桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部,廣西桂林541004)

在n值命題邏輯系統(tǒng)中命題的隨機(jī)真度、隨機(jī)邏輯度量空間的基礎(chǔ)上,給出了修正的n值G¨odel命題邏輯系統(tǒng)中命題的條件真度、條件相似度的概念并討論了其性質(zhì),建立了條件隨機(jī)邏輯度量空間.

隨機(jī)真度;條件真度;條件相似度;條件邏輯度量空間

1 引言

在計(jì)量邏輯學(xué)中,從把邏輯概念程度化入手,給出了公式的真度概念,建立了計(jì)量邏輯學(xué)理論[1-4].由于計(jì)量邏輯學(xué)中,每個(gè)原子公式的真度都相等,這就使得如果兩個(gè)公式完全一致,那么它們的真度也一定相等.這種把每個(gè)原子公式的真度等同看待的觀點(diǎn),顯然與客觀世界中各原子公式的概率不盡相同的事實(shí)相違背,所以賦予不同原子公式以不同的概率,可以使命題公式的真度更接近現(xiàn)實(shí)世界.基于這樣的考慮,文獻(xiàn)[5-7]就二值和三值邏輯系統(tǒng)提出了隨機(jī)真度的概念,文獻(xiàn)[8]在n值邏輯系統(tǒng)中引入了隨機(jī)真度的概念,研究相似度和偽距離,建立了隨機(jī)邏輯度量空間.把概率邏輯學(xué)[9]中條件概率部分通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐緩脚c真度相結(jié)合,并能使其指導(dǎo)生活實(shí)踐,這是一個(gè)十分有意義的課題.

繼n值命題邏輯系統(tǒng)中命題隨機(jī)真度的研究成果,本文在修正的n值G¨odel命題邏輯系統(tǒng)中引入了命題的條件隨機(jī)真度、條件隨機(jī)相似度和條件隨機(jī)偽距離的概念并研究了其性質(zhì),從而建立了條件隨機(jī)度量空間.因此可以把n值邏輯系統(tǒng)中計(jì)量邏輯學(xué)的程度化研究以及近似推理模式等納入到本文給出的更為寬泛的研究體系之中.

2 n值隨機(jī)邏輯度量空間

定義2.1[2]設(shè)S={q1,q2,···}是可數(shù)集,稱為原子公式集,“?”是一元運(yùn)算,“∨”與“→”是二元運(yùn)算,F(S)是由S生成的(?,∨,→)型自由代數(shù),稱F(S)中的元素為公式或命題,S中的元素叫原子公式或命題變?cè)?

在本文中,記

其中n為大于等于2的正整數(shù).

在In={0,1/n?1,···,n?2/n?1,1}中,運(yùn)算“?”,“∨”與“→”分別定義為:

則In成為(?,∨,→)型代數(shù),稱為修正的n值G¨odel邏輯系統(tǒng),記作Gn.

本文在修正的n值G¨odel邏輯系統(tǒng)Gn中展開討論.

定義2.2[4]設(shè)ν:F(S)→Gn是映射,若ν滿足:

則稱ν是F(S)在Gn中的一個(gè)賦值,稱作公式A的賦值.F(S)的賦值映射的全體記為Σ(Gn), Gn稱為賦值域.

設(shè)A=A(q1,···,qm)是含有m個(gè)原子公式q1,···,qm(為了與概率分布中的符號(hào)p相區(qū)別,本文用q來(lái)表示原子公式)的命題公式,設(shè)Gn是賦值域,分別用Gn中的x1,···,xm去取代q1,···,qm,并且把A中的邏輯聯(lián)結(jié)詞“?”,“∨”,“→”分別換成Gn中的運(yùn)算“?”,“∨”,“→”,則得到m元函數(shù):

定義2.3[8]設(shè)N={1,2,···},ξ=(ξ1,ξ2,···),其中

稱ξ=(ξ1,ξ2,···)為隨機(jī)概率分布序列(ξ是一個(gè)n行可數(shù)列矩陣).

注2.1(i)要求概率分布中的每一個(gè)元素pij均大于0;

(ii)概率分布ξ1,ξ2,···是各自獨(dú)立的;

(iii)隨機(jī)概率分布序列ξ構(gòu)成的矩陣的每一列元素之和等于1,但不要求每行元素之和等于1.

定義2.4[8]設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,其中

令φ(α)=Q1×Q2×···×Qm.當(dāng)時(shí),則

命題2.1∑{φ(α):α=(x1,···,Xm)∈}=1,即φ()=1.

證明對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)m=1時(shí),

用數(shù)學(xué)歸納法易證:

定義2.5[8]設(shè)

則稱τξ(A)為公式A在修正的n值G¨odel邏輯系統(tǒng)Gn中基于隨機(jī)概率分布序列ξ的隨機(jī)真度,簡(jiǎn)稱為公式A的ξ-隨機(jī)真度.

定理2.1[8]設(shè)A,B∈F(S),ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,則以下各結(jié)論成立:

(i)A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=1,A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=0;

(ii)若A≈B,則τξ(A)=τξ(B);

(ii)τξ(?A)=1?τξ(A);

(iv)τξ(A∨B)=τξ(A)+τξ(B)?τξ(A∧B).

定義2.6[8]設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,A,B∈F(S).令

稱δξ(A,B)為公式A與B的ξ-隨機(jī)相似度.顯然有δξ(A,B)=δξ(B,A).

設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,A,B∈F(S),令ρξ(A,B)=1?δξ(A,B),則ρξ為F(S)上的偽距離,稱為ξ-隨機(jī)偽距離,稱(F(S),ρξ)為ξ-隨機(jī)邏輯度量空間.

下面在修正的n值G¨odel邏輯系統(tǒng)Gn中引入條件隨機(jī)真度、條件隨機(jī)相似度和條件隨機(jī)偽距離的概念,研究其性質(zhì),建立條件隨機(jī)邏輯度量空間.

3 條件隨機(jī)真度

定義3.1設(shè)A=A(q1,···,qm)∈F(S),ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,Λ∈F(S)且τξ(Λ)>0,令τξ(A|Λ)=,則稱τξ(A|Λ)為公式A在條件Λ下的ξ-條件隨機(jī)真度.

定義3.2設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,A,B∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0.

定理3.1設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,L)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,A∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,則

(i)若A=Λ1,則τξ(A|Λ)=1;

(ii)若A=Λ0,則τξ(A|Λ)=0;

(iii)若A≈ΛB,則τξ(A|Λ)=τξ(B|Λ);

(iv)τξ(A∧B|Λ)=τξ(A|Λ)+τξ(B|Λ)?τξ(A∧B|Λ).

證明(i)不妨設(shè)A和H含有相同的原子公式q1,···,qm.

由運(yùn)算的同態(tài)性,可得

由A=Λ1知,

所以由

得

由于

則可得,

于是

即至此證明了

于是得:

故得

(ii)因?yàn)?/p>

由故顯然得τξ(A∧Λ)=0,于是τξ(A|Λ)=0.

(iii)因?yàn)锳≈ΛB,則由定義2.2知,當(dāng)i=1,2,···,n?1時(shí),均有

故

于是,

故得τξ(A|Λ)=τξ(B|Λ).

(iv)由定理2.1得,

上式兩邊同時(shí)除以τξ(Λ)即得結(jié)論.

4 條件隨機(jī)邏輯度量空間

定義4.1設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,A∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,令δξ(A,B|Λ)=τξ((A→B)∧(B→A|Λ)),則稱δξ(A,B|Λ)為公式A與B在條件Λ下的相似度.

定理4.1設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0.則

(i)若A≈ΛB,則δξ(A,B|Λ)=1;

(ii)δ(A,B|Λ)+δ(B,C|Λ)≤1+δ(A,C|Λ).

證明(i)因?yàn)锳≈ΛB,則A→B和B→A,都是基于Λ的重言式,則(A→B)∧(B→A)也是基于Λ的重言式,則由定理3.1得,

(ii)為了證明結(jié)論成立,先給出ξ-隨機(jī)真度公式的一個(gè)變形,即

事實(shí)上,

即結(jié)論成立.

另一方面,設(shè)a,b,c∈Gn,則對(duì)于修正的n值G¨odel邏輯系統(tǒng)Gn的蘊(yùn)涵算子,可以驗(yàn)證(a→b)∧(b→a)+(b→c)∧(c→b)?(a→c)∧(c→a)≤1成立.

又因?yàn)椤(x1,···,xm):Gmn→Gn,是Gmn到Gn的同態(tài)映射,于是有,

于是

于是就得到,δξ(A,B|Λ)+δξ(B,C|Λ)?δξ(A,C|Λ)≤1,結(jié)論成立.

設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0.令ρξ(A,B|Λ)=1?ξξ(A,B|Λ),則由定理3.1容易證明,對(duì)于賦值域?yàn)镚n的n值G¨odel命題邏輯系統(tǒng),有ρξ(A,B|Λ)=ρξ(B,C|Λ)≥ρξ(A,C|Λ).

又因?yàn)棣薛?A,A|Λ)=0和ρξ(A,B|Λ)=ρξ(B,A|Λ)顯然成立,所以ρξ為F(S)上的條件偽距離.稱為在條件Λ下的條件隨機(jī)偽距離.

定義4.2設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個(gè)隨機(jī)概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0,則ρξ為F(S)上的條件偽距離,稱(F(S),ρξ)為條件隨機(jī)邏輯度量空間.

由此定義3.2和定理3.1顯然得:

定理4.2設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,···)為隨機(jī)概率分布序列,Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,A,B∈F(S),若A≈ΛB,則ρξ(A,B|Λ)=0.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在修正的n值G¨odel命題邏輯系統(tǒng)中引入了命題的條件隨機(jī)真度、條件隨機(jī)相似度和條件隨機(jī)偽距離的概念,研究了其性質(zhì),從而建立了條件隨機(jī)度量空間.如何進(jìn)一步在n值命題邏輯系統(tǒng)的條件隨機(jī)度量空間中展開近似推理以及拓?fù)湫再|(zhì)的研究,將另文討論.

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[9]Adams E W.A Primer of Probability Logic[M].Stanford:CSLI Publications,1998.

Theory of conditional randomized truth degree in valued logical system

Li li
(Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin541004,China)

Based on randomized truth degrees and randomized logic metric space of n-valued logical system, the concept of conditional truth degree and conditional similarity degree in G¨odel n-valued logical system and their properties are given.The concept of conditional randomized logic metric space is also introduced.

randomized truth degree,conditional truth degree,conditional similarity degree, conditional logic metric space

O159

A

1008-5513(2014)06-0573-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.005

2014-03-21.

廣西壯族自治區(qū)教育廳科研項(xiàng)目(桂教科研[2011]14號(hào));桂林航天工業(yè)學(xué)院基金(YJ1301).

黎麗(1974-),講師,研究方向:模糊數(shù)學(xué)與動(dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:03E72