時間序列分析在某滑坡變形監(jiān)測預報中的應用

2014-07-25 11:29閆利成李國輝張建龍

鐵道勘察 2014年5期

關鍵詞：差分監(jiān)測點滑坡

閆利成李國輝張建龍

(內(nèi)蒙古鐵道勘察設計院有限公司，內(nèi)蒙古呼和浩特 010050)

時間序列分析在某滑坡變形監(jiān)測預報中的應用

閆利成李國輝張建龍

(內(nèi)蒙古鐵道勘察設計院有限公司，內(nèi)蒙古呼和浩特 010050)

為了預防滑坡的發(fā)生，需要不斷對監(jiān)測點的高程進行測量，觀測其變化，并對滑坡的動態(tài)變化做出預報。在簡要介紹時間序列模型的基礎上，以某露天礦滑坡為例，對某監(jiān)測點數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理建立差分回歸模型，分析模型的應用。計算結果表明，預報趨勢基本符合滑坡動態(tài)發(fā)展規(guī)律，進而說明運用時間序列分析法對滑坡變形監(jiān)測進行預報可行。

時間序列差分回歸模型滑坡變形監(jiān)測

對滑坡變形進行監(jiān)測預報是一項重要的研究內(nèi)容?；掠兄薮蟮钠茐牧?，一旦發(fā)生，可以損壞建筑、破壞農(nóng)田、中斷交通等，往往會造成大量的人員和財產(chǎn)損失[1]。加強對滑坡變形的監(jiān)測預報，對于做好防災減災工作有著積極意義。

滑坡是一個動態(tài)的變化過程，盡管導致滑坡發(fā)生的因素很復雜，除內(nèi)部巖土性質結構外，還有水、采礦爆破振動等外界影響因素[1]，不考慮眾多力學影響因素，作為最終表現(xiàn)形式的監(jiān)測點前后各期高程變化之間存在著一定聯(lián)系。高程變化是一組依賴于時間t的隨機序列，t可視為影響高程變化各種因素的一個綜合量。通過大量觀測得到的監(jiān)測點高程變化數(shù)據(jù)，建立數(shù)據(jù)隨時間動態(tài)變化、反映相互關聯(lián)的模型，進而對其進行預報。

1 時間序列分析

時間序列是一種描述動態(tài)數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性的方法，分為確定性變化分析和隨機性變化分析。確定性變化包含趨勢變化和季節(jié)變化等，趨勢變化是指具有趨勢變化的數(shù)據(jù)隨時間按照一定的規(guī)律表現(xiàn)為持續(xù)增長或下降，常用分析方法有：移動平均法、指數(shù)平滑法、模型擬合法等；季節(jié)變化是指受季節(jié)等外界客觀事物的影響，數(shù)據(jù)按照一個固定周期有規(guī)律的變化，常用的方法是季節(jié)指數(shù)法[2]。隨機性變化不同于上述確定性變化，是由許多不確定因素共同作用引起的序列變化，所使用的分析方法是時間序列分析法。

1.1 時間序列法常用模型[3，4]

(1)自回歸模型(AR(p))模型

(1)

(2)

(2)滑動平均模型(MA(q))模型

(3)

若采用后移算子Bqat=at-q，(3)式可以寫成

(4)

(3)自回歸滑動平均模型(ARMA(p，q))模型

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+at-θ1at-1-

(5)

采用后移算子(5)式可以寫成

(6)

(4)非平穩(wěn)時間序列模型(ARIMA(p，d，q))模型

實際問題中許多數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性，對于非平穩(wěn)情形，需要對Yt序列d階差分，形成平穩(wěn)的時間序列模型，通常經(jīng)過一次或兩次差分就會穩(wěn)定下來[5]。該過程實質上是先對觀測數(shù)據(jù)d階差分，然后再擬合ARMA(p，q)模型。引入差分算子

=1-B有

(7)

其中φ′(B)=φ(B)d

這時φ′(B)=0有d個根在單位圓上，其余根在單位圓外。

1.2 時間序列法預測問題的步驟

(1)模型初步識別

利用自相關系數(shù)(acf)和偏相關系數(shù)(pacf)來識別，計算公式為

rk和Φkk的分布漸進于正態(tài)分布

對于AR(p)模型，它的自相關系數(shù)隨時滯k衰減呈正弦波或指數(shù)，并趨于零，稱為“拖尾性”，偏相關系數(shù)在p步之后迅速減為零，稱為“截尾性”。對于MA(q)模型則有自相關系數(shù)q步截尾，偏相關系數(shù)呈拖尾性。ARMA(p，q)模型自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)同時具有拖尾性。

(2)參數(shù)估計

主要方法有Y-W法、矩估計法、極大似然估計法、牛頓-拉夫森法、最小方差法、最小二乘法等。采用最小二乘法，將(5)式改寫為下面形式

(8)

將(8)式表示為向量形式Y=F(X，β)+e

其中Y=[Yp+1，Yp+2，…，YN]T，F(xiàn)=[fp+1，fp+2，…，fN]T，e=[ap+1，ap+2，…，aN]T

X表示觀測值Y1，…，YN，β表示待求參數(shù)φ1，…，φp，θ1，…，θq

應用最小二乘就是要使殘差平方和

Q=[Y-F(X，β)]T[Y-F(X，β)]達到最小來求參數(shù)β。

(3)模型檢驗

對p階自回歸模型有

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+at

對p-s階自回歸模型有

檢驗Yt-p+s+1，Yt-p+s+2…Yt-p是否對回歸模型有顯著性影響，若有顯著性影響，則選擇第一個模型，否則選擇第二個模型。

H0:φp-s+1=φp-s+2=…=φp=0

H1:φp-s+1≠0，φp-s+2≠0，…，φp≠0

若H0成立

若H1成立

采用準則函數(shù)確定具體階數(shù)時要求使AIC最小，當數(shù)據(jù)樣本N較大時，ARMA(p，q)擬合的最小階數(shù)應使得

(4)模型預報

時間序列建模的主要目的是監(jiān)測預報，在經(jīng)過上述模型識別、參數(shù)估計、模型檢驗三個關鍵步驟后，完成了建模過程。下一步使用建立好的模型對露天礦滑坡監(jiān)測點高程變化進行預測。平穩(wěn)時間序列模型(5)式以t+l代替下標t并兩邊取期望

E(Yt+l)=φ1E(Yt+l-1)+φ2E(Yt+l-2)+…+

φpE(Yi+l-p)+E(at+l)-θ1E(at+l-1)-

E(at+j)=0，j=1，2，3…

2 實例分析

某滑坡位于內(nèi)蒙古錫林郭勒盟西烏珠穆沁旗境內(nèi)，所在區(qū)域為丘陵山區(qū)，剝蝕堆積地形，地質構造復雜，在不斷開挖過程中邊坡受爆破、大型機械作業(yè)震動影響強烈，前期開采排土場建在開挖工程周邊，不斷堆積擴大的排土場對滑坡體壓力不斷增大，穩(wěn)定性逐漸變差，加之該礦潛水區(qū)含水層屬于中等富水性也導致邊坡巖土抗剪強度降低，最終產(chǎn)生滑坡。

本工程在進行滑坡變形監(jiān)測之前需進行方案設計。方案設計就是選用常規(guī)或先進的測量手段獲取所需變形量及其隨時間的變化情況，對測量方法選擇、網(wǎng)形布設、監(jiān)測頻率、精度要求作出具體安排。測量方法的選取按精度較高的水準測量或電磁波測距三角高程法進行，監(jiān)測網(wǎng)布設包括基準點和待監(jiān)測點組成，基準點應布設在離滑坡體較遠的穩(wěn)定點上，其高程視為不發(fā)生變化。待監(jiān)測點即目標點，布設在滑坡體上，目標點的運動描述了變形體的變形過程，根據(jù)目的要求和變形體形狀，變形監(jiān)測網(wǎng)可以布設成一維、二維或三維網(wǎng)，監(jiān)測頻率應根據(jù)滑坡體的規(guī)模大小、滑坡變形速度、監(jiān)測點的布設位置及數(shù)目綜合確定?；聹y量精度要求使變形值不超過閾值，中誤差限定在變形量的0.05至0.1倍內(nèi)，一般在數(shù)毫米至5 cm之間。

以某監(jiān)測點滑坡前45期變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析為例(如表1所示)，說明時間序列模型在該滑坡變形監(jiān)測預報中的應用。

表1 各期觀測值高程 m

2.1 平穩(wěn)化處理

隨機序列平穩(wěn)性是建立時間序列模型的前提基礎，對于非平穩(wěn)過程可以采用多次差分的方法平穩(wěn)化，滑坡監(jiān)測點的高程變化隨時間總體趨勢是下降的，其中還包含一些無規(guī)律的隨機因素起作用，是由測量誤差引起的。該序列是一個非平穩(wěn)過程，但前后各期相關性較強，應用模型之前經(jīng)過一階差分即可以去除趨勢性成為一個平穩(wěn)過程。利用Matlab系統(tǒng)辨識工具箱提供的有關時間序列預測的函數(shù)進行計算[5]，將原始序列經(jīng)差分去掉趨勢性，成為一個平穩(wěn)過程的圖像(如圖1所示)。

圖1 差分后圖像

2.2 階數(shù)的確定

通過計算自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)可以初步確定階數(shù)，自相關系數(shù)如圖2所示，偏相關系數(shù)如圖3所示?？梢钥闯?，自相關系數(shù)變化緩慢具有拖尾性，偏相關系數(shù)迅速下降具有截尾性?？梢源_定這是一個一階差分自回歸模型，初步確定模型階數(shù)為1，即采用ARIMA(1，1，0)。