黃宏偉，龔文平，莊長(zhǎng)賢，張 潔

（1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092；3.克萊姆森大學(xué) 土木工程系，克萊姆森29634）

重力式擋土墻具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、就地取材以及施工方便等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)今國(guó)內(nèi)外最為常見(jiàn)的一種擋土結(jié)構(gòu)，廣泛運(yùn)用于鐵路、公路及邊坡治理等工程.傳統(tǒng)重力式擋土墻結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要采用確定性設(shè)計(jì)方法，難以有效考慮巖土力學(xué)參數(shù)不確定性對(duì)擋土結(jié)構(gòu)安全性能的影響［1－3］.20世紀(jì)70年代，結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)方法開(kāi)始出現(xiàn)并逐步運(yùn)用于重力式擋土墻結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，相對(duì)確定性設(shè)計(jì)方法，可靠度設(shè)計(jì)方法可有效評(píng)價(jià)巖土力學(xué)參數(shù)變異性對(duì)結(jié)構(gòu)安全與使用性能的影響［4－5］.

可靠度設(shè)計(jì)必須建立在巖土力學(xué)參數(shù)具有明確統(tǒng)計(jì)規(guī)律基礎(chǔ)上，基于確定性的參數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率，進(jìn)而指導(dǎo)設(shè)計(jì)方案選擇以及具體參數(shù)確定.然而，受土體沉積歷史、工程活動(dòng)以及其他因素等影響，巖土力學(xué)參數(shù)存在較強(qiáng)的變異性.根據(jù)有限的工程勘察試驗(yàn)難以得到準(zhǔn)確的巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律［6］.其中，巖土力學(xué)參數(shù)的變異性（或標(biāo)準(zhǔn)差）通常被低估或高估［7－8］.因此，基于可靠度理論的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法在重力式擋土墻設(shè)計(jì)中仍然難以真實(shí)反映結(jié)構(gòu)安全性能或失效水平.

針對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性，魯棒性（robustness）可有效評(píng)價(jià)系統(tǒng)功能對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)變異的敏感性.魯棒性設(shè)計(jì)概念由Taguchi于20世紀(jì)70年代針對(duì)質(zhì)量控制系統(tǒng)提出，其后在機(jī)械制造、生態(tài)系統(tǒng)以及航空航天 等 領(lǐng) 域 得 到 了 迅 速 推 廣 與 發(fā) 展［9－14］.Juang等［7－8］最早將其引入巖土工程，提出了巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)方法，充分考慮巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征（變異系數(shù)）不確定性對(duì)巖土工程安全與使用性能的影響.相對(duì)可靠度設(shè)計(jì)與確定性設(shè)計(jì)方法，魯棒性設(shè)計(jì)可更加合理地反映巖土工程安全水平與使用性能.

本文基于Juang等［7－8］提出的巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)方法研究了巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)的不確定性對(duì)重力式擋土墻結(jié)構(gòu)安全性能（或失效概率）的影響.基于現(xiàn)有巖土工程可靠度設(shè)計(jì)理論，提出了基于多目標(biāo)優(yōu)化方法與基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的2種魯棒性設(shè)計(jì)方法.結(jié)合某具體重力式擋土墻［15］，考慮巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)的不確定性，對(duì)可靠度設(shè)計(jì)與魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果的失效概率均值、失效概率變異性以及經(jīng)濟(jì)性等方面進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 重力式擋土墻設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)要分析

傳統(tǒng)重力式擋土墻設(shè)計(jì)方法主要為確定性設(shè)計(jì)和可靠度設(shè)計(jì).墻體傾覆與墻體滑移為重力式擋土墻結(jié)構(gòu)最主要的2種破壞模式［16－17］，雖然，整體穩(wěn)定性破壞也為重力式擋土墻設(shè)計(jì)的主要驗(yàn)算內(nèi)容，然而當(dāng)前在可靠度分析中對(duì)其驗(yàn)算尚存在一定分歧.因此，本文主要針對(duì)墻體傾覆與墻體滑移2種破壞模式.

1.1 確定性設(shè)計(jì)方法

圖1為我國(guó)建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范［18］中典型重力式擋土墻結(jié)構(gòu)示意圖.圖中，Ea為墻后主動(dòng)土壓力；Eax與Eaz分別為墻后主動(dòng)土壓力平行于墻底方向與垂直于墻底方向分力；W為擋土墻墻體自重；Wx與Wz分別為墻體自重平行于墻底方向與垂直于墻底方向分力；b為擋土墻墻底尺寸；α0為擋土墻墻底與水平方向夾角；α為擋土墻背與水平方向夾角；Zf為墻后主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)距墻趾O垂直于墻底方向距離；xf為墻后主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)距墻趾O平行于墻底方向距離；x0為擋土墻重心距墻趾O水平距離.

圖1 重力式擋土墻示意［18］Fig.1 The diagram of gravity retaining wall［18］

確定性設(shè)計(jì)方法中各設(shè)計(jì)參數(shù)均假定為確定性，不存在變異性.基于確定性設(shè)計(jì)參數(shù)建立結(jié)構(gòu)抗力與荷載效應(yīng)之間關(guān)系，通過(guò)富余安全系數(shù)考慮實(shí)際工程中存在的諸多不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)安全水平與使用性能的不利影響.

假設(shè)墻底黏聚力與墻底摩擦系數(shù)分別為ca與μ，根據(jù)圖1所示可分別建立重力式擋土墻墻體抗傾覆與墻體抗滑移2種破壞模式的安全系數(shù).

式中：Fs1為擋土墻抗傾覆穩(wěn)定安全系數(shù)；Fs2為擋土墻抗滑移穩(wěn)定安全系數(shù).

式（1）、式（2）中安全系數(shù)選擇一般根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定，顯然安全系數(shù)的選取對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)結(jié)果影響重大，且難以真實(shí)反映不同工程中參數(shù)變異性大小對(duì)結(jié)構(gòu)安全性能的影響程度，實(shí)際設(shè)計(jì)結(jié)果或偏保守或偏危險(xiǎn).據(jù)我國(guó)規(guī)范［18－19］，F(xiàn)s1≥1.6，F(xiàn)s2≥1.3.

1.2 可靠度設(shè)計(jì)方法

結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)方法產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，隨后在巖土工程中逐漸推廣.可靠度設(shè)計(jì)需要首先定義結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，即結(jié)構(gòu)某一性能超過(guò)某一狀態(tài)就不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一項(xiàng)功能要求.

式中：Z為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)；X＝（X1，X2，…，Xn）為隨機(jī)向量，服從某確定的分布規(guī)律；R（X）與S（X）分別為結(jié)構(gòu)抗力函數(shù)與荷載效應(yīng)函數(shù).圖1所示重力式擋土墻抗傾覆與抗滑移2種失效模式的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z1，Z2可分別定義為

根據(jù)式（3）功能函數(shù)可計(jì)算相應(yīng)的結(jié)構(gòu)失效概率Pf.

式中：f（x）為隨機(jī)向量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)；D為結(jié)構(gòu)失效域，D＝｛x（Z（x）＜0｝；X＝（X1，X2，…，Xn）為隨機(jī)向量.

由于Pf通常較小，可靠度設(shè)計(jì)中常根據(jù)可靠度指標(biāo)β進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，β與Pf的關(guān)系可表示為

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)功能函數(shù)復(fù)雜多樣且設(shè)計(jì)參數(shù)較多，可靠度指標(biāo)計(jì)算相對(duì)繁瑣.為了方便實(shí)際工程應(yīng)用，設(shè)計(jì)規(guī)范通常將其轉(zhuǎn)化為與多安全系數(shù)相近的分項(xiàng)系數(shù)法［20］.

式中：γk為荷載分項(xiàng)系數(shù)，k＝1，2，…，ns；Sk為第k項(xiàng)荷載效應(yīng)特征值；ns為荷載數(shù)；γR為抗力分項(xiàng)系數(shù)；R為抗力效應(yīng)特征值.根據(jù)目標(biāo)可靠度與各參數(shù)變異性確定，各國(guó)規(guī)范都給出了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)分項(xiàng)系數(shù)推薦值.

取重力式擋土墻傾覆破壞為二級(jí)延性破壞，滑移破壞為三級(jí)延性破壞.根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》［20］中目標(biāo)可靠度指標(biāo)規(guī)定，2種失效模式對(duì)應(yīng)的目標(biāo)可靠度指標(biāo)分別為3.2和2.7，相應(yīng)失效概率分別為0.000 69和0.003 50.

2 魯棒性設(shè)計(jì)方法及步驟

相對(duì)確定性設(shè)計(jì)方法，可靠度設(shè)計(jì)方法可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)失效概率，從一定程度上考慮設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響.然而，其必須事先知道各設(shè)計(jì)參數(shù)的準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)規(guī)律.實(shí)際工程中巖土力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)規(guī)律往往難以得到，可靠度設(shè)計(jì)方法的使用受到一定制約.

巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)均值一般可根據(jù)有限的工程試驗(yàn)進(jìn)行較為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，而變異系數(shù)（或標(biāo)準(zhǔn)差）卻難以根據(jù)有限的工程試驗(yàn)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，只能得到一個(gè)大致分布范圍［6－7，21－22］.巖土力學(xué)參數(shù)變異性 往往被低估或高估，運(yùn)用可靠度設(shè)計(jì)方法，偏大的變異系數(shù)估計(jì)可造成設(shè)計(jì)結(jié)果偏保守，偏小的變異系數(shù)估計(jì)則造成設(shè)計(jì)結(jié)果偏危險(xiǎn).

根據(jù)有限的工程試驗(yàn)以及工程經(jīng)驗(yàn)只能確定巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)范圍，則變異系數(shù)估計(jì)往往存在一定不確定性，其標(biāo)準(zhǔn)差σcov可按照3－σ法則進(jìn)行確定［22］.

式中：HCOV為變異系數(shù)取值上限；LCOV為變異系數(shù)取值下限.

魯棒性設(shè)計(jì)主要研究系統(tǒng)功能對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)變異的響應(yīng)問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整易控設(shè)計(jì)參數(shù)達(dá)到降低系統(tǒng)功能對(duì)不可控設(shè)計(jì)參數(shù)變異的敏感性的目的［14］.考慮巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性，巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)即通過(guò)調(diào)整結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)使結(jié)構(gòu)功能對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征變異的敏感性降低［7－8］，在巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)不確定的條件下保證可靠度要求的同時(shí)具有較高的魯棒性.本文基于不同的魯棒性能評(píng)估方法提出基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)方法與基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)方法.

2.1 基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)

巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)不確定性必然引起結(jié)構(gòu)功能變異或Pf不確定性，因此，巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)需通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的調(diào)整使結(jié)構(gòu)失效概率變異性最小化.同時(shí)，考慮經(jīng)濟(jì)性要求，魯棒性設(shè)計(jì)為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型可表示為：①變量，即可控設(shè)計(jì)參數(shù)（如結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)）；②約束條件，即安全性要求；③最小化，即經(jīng)濟(jì)成本，系統(tǒng)功能對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)變異的敏感性.其中，系統(tǒng)功能對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)變異的敏感性可以通過(guò)結(jié)構(gòu)失效概率標(biāo)準(zhǔn)差Pf－std來(lái)表示，安全水平可通過(guò)結(jié)構(gòu)失效概率均值Pf－mean來(lái)表示.

經(jīng)濟(jì)成本與系統(tǒng)功能對(duì)不確定參數(shù)變異的敏感性通常為相互沖突的目標(biāo)，可以采用非主導(dǎo)優(yōu)化方法（non－dominated optimization）［23］篩選出一系列最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)組合，構(gòu)成帕雷托前沿（Pareto front），然后再?gòu)呐晾淄星把厣蠈ふ谊P(guān)節(jié)點(diǎn)（knee point）［24］作為最佳設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性與魯棒性的最佳平衡.

2.2 基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)

為了避免復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，魯棒性設(shè)計(jì)可進(jìn)行簡(jiǎn)化：考慮參數(shù)變異系數(shù)不確定性條件下將Pf控制在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)［7，14］.即以Pf滿足安全性要求的置信水平的作為魯棒性水平評(píng)價(jià)指標(biāo).

式中：Pr為條件概率；Pd為結(jié)構(gòu)失效概率限值（本文重力式擋土墻抗傾覆破壞與抗滑移破壞的失效概率限值分別取為Pd1＝0.000 69和Pd2＝0.003 50）；Pp為魯棒性置信水平.

根據(jù)式（10）魯棒性置信水平可定義魯棒性指標(biāo)βp，其與Pp的關(guān)系可表示為

基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)即篩選出滿足結(jié)構(gòu)失效概率置信水平且經(jīng)濟(jì)成本最小的設(shè)計(jì).

2.3 巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)流程

結(jié)合圖2所示巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)流程，巖土工程魯棒性設(shè)計(jì)主要分為以下步驟：①針對(duì)具體巖土工程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與參數(shù)分析；②明確可控設(shè)計(jì)參數(shù)可能取值情況以及不可控參數(shù)（如巖土參數(shù)變異系數(shù)）變異范圍；③根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定n組可能設(shè)計(jì)參數(shù)組合；④分別計(jì)算各組可能設(shè)計(jì)參數(shù)組合的結(jié)構(gòu)失效概率均值，以此剔除不滿足可靠度要求的設(shè)計(jì)參數(shù)組合，得到一系列可行設(shè)計(jì)參數(shù)組合；⑤分別計(jì)算各可行設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)成本與失效概率標(biāo)準(zhǔn)差；⑥根據(jù)工程師偏好，選擇基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)方法或基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)方法完成巖土工程魯棒性設(shè)計(jì).

圖2 巖土工程魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.2 Flowchart of robust geotechnical design

綜上所述，魯棒性設(shè)計(jì)并不是對(duì)現(xiàn)有可靠度設(shè)計(jì)方法的否定，而是對(duì)現(xiàn)有可靠度設(shè)計(jì)方法的進(jìn)一步完善，考慮實(shí)際工程中各設(shè)計(jì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性，研究結(jié)構(gòu)失效概率的變異性.

3 工程案例

3.1 工程案例介紹

為了對(duì)可靠度設(shè)計(jì)方法與魯棒性設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比分析，從文獻(xiàn)［15］選取重力式擋土墻工程案例.圖3為所選重力式擋土墻示意圖，墻體為混凝土材料，墻后土體為砂土，不考慮墻底與地基之間摩擦力.圖中：H為擋土墻高度；W1與W2分別為墻體三角形部分與矩形部分重度；a與b分別為墻頂尺寸與墻底尺寸；Pa為墻后土壓力；ca與δ分別為墻底黏聚力和墻背與土體之間摩擦角；α為墻背與水平方向夾角；λ為墻后土體傾斜角度.具體幾何和物理力學(xué)參數(shù)為：H＝6.0m，λ＝10°，α＝90°，墻體重度γwall＝24 kN·m－3；墻后土體重度γs、墻后土體內(nèi)摩擦角φ′、墻背與土體之間摩擦角δ、墻底與地基之間黏聚力ca均為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布.其中，φ′和δ存在較強(qiáng)相關(guān)性［15，18］，取文獻(xiàn)［15］相關(guān)系數(shù)0.8，不考慮其他參數(shù)之間相關(guān)性.

圖3 工程案例示意［15］Fig.3 The diagram of a project example［15］

根據(jù)文獻(xiàn)［6，22，25］給出的常見(jiàn)巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)取值范圍，結(jié)合式（9）可確定墻后巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，并結(jié)合文獻(xiàn)［15］基本參數(shù)取值情況，可確定本工程案例基本巖土力學(xué)參數(shù)取值，見(jiàn)表1.

表1 擋土墻設(shè)計(jì)基本工程參數(shù)取值Tab.1_The value of basic engineering parameters

墻后土壓力引用文獻(xiàn)［15］庫(kù)倫土壓力，土壓力系數(shù)為Ka.

根據(jù)式（1）、式（2）與式（4）、式（5）可得該重力式擋土墻墻體傾覆與墻體滑移2種失效模式的安全系數(shù)與功能函數(shù).

式中：A1與A2分別為墻體自重W1與W2作用點(diǎn)距離墻趾的水平距離；Pah與Pav分別為墻后土壓力Pa在水平方向與豎直方向分力；Aav與Aah分別為墻后土壓力Pa作用點(diǎn)距離墻趾的豎直距離與水平距離.

如同其他工程，重力式擋土墻設(shè)計(jì)需要進(jìn)行優(yōu)化求解.《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》［18］規(guī)定混凝土墻頂寬度不宜小于0.2m，且考慮施工方便，優(yōu)化設(shè)計(jì)中擋土墻基本可控設(shè)計(jì)參數(shù)（a與b）取值離散，見(jiàn)表2.

表2 重力式擋土墻基本設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍Tab.2 Possible values of design parameters gravity retaining wall

重力式擋土墻設(shè)計(jì)中以擋土墻混凝土體積最小為經(jīng)濟(jì)目標(biāo)，即以每延米混凝土體積表示擋土墻設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)成本C.

3.2 可靠度設(shè)計(jì)

可靠度設(shè)計(jì)默認(rèn)巖土力學(xué)參數(shù)是服從明確統(tǒng)計(jì)規(guī)律的隨機(jī)變量，擋土墻設(shè)計(jì)中僅需對(duì)結(jié)構(gòu)失效概率進(jìn)行計(jì)算.針對(duì)本案例，假設(shè)巖土力學(xué)參數(shù)的變異系數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確，即擋土墻可靠度計(jì)算中對(duì)土體參數(shù)均值與變異系數(shù)分別取表1中各物理量均值與變異系數(shù)均值，與文獻(xiàn)［15］一致.

針對(duì)圖3中重力式擋土墻確定性設(shè)計(jì)結(jié)果（a＝0.2m，b＝2.0m），分別運(yùn)用泰勒展開(kāi)法、一次二階矩法［26］以及蒙特卡羅法［1］等方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)失效概率計(jì)算，見(jiàn)表3.由表3可見(jiàn)，一次二階矩法具有相對(duì)較高的計(jì)算精度（與蒙特卡羅法100萬(wàn)次抽樣對(duì)比）且計(jì)算工作量較小，因此可靠度設(shè)計(jì)采用一次二階矩法進(jìn)行可靠度計(jì)算.

表3 確定性設(shè)計(jì)結(jié)果失效概率Tab.3 Failure probabilities of the deterministic design by different methods

根據(jù)式（14）中兩功能函數(shù)，運(yùn)用一次二階矩法對(duì)表2中不同可能設(shè)計(jì)參數(shù)組合進(jìn)行結(jié)構(gòu)失效概率計(jì)算，得擋土墻失效概率Pf1與Pf2，如圖4所示.

圖4 重力式擋土墻失效概率Fig.4 Failure probabilities of gravity retaining wall

圖4 a表明，增加b可顯著降低Pf1；圖4b表明，由于不考慮墻底與地基摩擦力作用，Pf2僅與b有關(guān)；隨著b的增加Pf2逐漸減小.

根據(jù)圖4擋土墻失效概率計(jì)算結(jié)果，結(jié)合擋土墻設(shè)計(jì)失效概率約束條件，即Pd1＝0.000 69與Pd2＝0.003 50，以及經(jīng)濟(jì)成本優(yōu)化原則，可確定基本設(shè)計(jì)參數(shù)：a＝0.2m，b＝2.1m；對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)失效概率為：Pf1＝1.31×10－4＜6.9×10－4，Pf2＝2.05×10－4＜3.5×10－3，滿足可靠度要求；對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)成本為：C＝6.9m3·m－1.其中，重力式擋土墻可靠度設(shè)計(jì)控制失效模式為抗傾覆破壞.

在實(shí)際工程中，巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征往往難以準(zhǔn)確確定.假設(shè)巖土力學(xué)參數(shù)φ的變異系數(shù)估計(jì)偏小或偏大（如5.0%或20.0%），而其他參數(shù)變異系數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確，對(duì)應(yīng)的可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4.由表4可見(jiàn)，若對(duì)土體參數(shù)變異性估計(jì)過(guò)小，即5.0%，可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果偏危險(xiǎn)，經(jīng)濟(jì)成本偏低；若對(duì)土體參數(shù)變異性估計(jì)過(guò)大，即20.0%，可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果偏保守，經(jīng)濟(jì)成本偏高.即在巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律難以準(zhǔn)確確定的條件下，可靠度設(shè)計(jì)往往不能真實(shí)反映結(jié)構(gòu)失效概率，設(shè)計(jì)結(jié)果或偏于危險(xiǎn)或偏于保守.基于不準(zhǔn)確的巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征的可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果往往不能真實(shí)反映巖土工程安全性能.

表4 參數(shù)估計(jì)不當(dāng)條件下可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.4 Reliability design under the mistaken estimationof soil para meters

3.3 魯棒性設(shè)計(jì)

為充分評(píng)價(jià)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性對(duì)巖土工程性能的影響，需在可靠度設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行結(jié)構(gòu)魯棒性設(shè)計(jì)，考慮巖參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性后使結(jié)構(gòu)失效概率變異性最小化.

魯棒性設(shè)計(jì)中需考慮巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性涉及到十分繁瑣的可靠度計(jì)算.該重力式擋土墻魯棒性設(shè)計(jì)中采用較為簡(jiǎn)單的點(diǎn)估計(jì)法中的7點(diǎn)二階矩法［27］.即，首先運(yùn)用7點(diǎn)二階矩法計(jì)算出Pf，再考慮巖土參數(shù)變異系數(shù)不確定性嵌套調(diào)用7點(diǎn)二階矩法計(jì)算Pf－mean與Pf－std.

充分考慮表1中巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)的不確定性，運(yùn)用點(diǎn)估計(jì)法可求得擋土墻結(jié)構(gòu)2種失效模式在不同墻體幾何尺寸組合下的失效概率均值與失效概率標(biāo)準(zhǔn)差，如圖5、圖6所示.其中，圖6僅反映了可行設(shè)計(jì)參數(shù)組合的失效概率標(biāo)準(zhǔn)差.

圖5 重力式擋土墻失效概率均值Fig.5 Mean value of failure probabilities of gravity retaining wall

對(duì)比圖5與圖4發(fā)現(xiàn)：考慮巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)不確定性后，抗傾覆結(jié)構(gòu)失效概率均值相對(duì)可靠度設(shè)計(jì)中Pf1無(wú)明顯改變；同樣，可發(fā)現(xiàn)擋土墻結(jié)構(gòu)抗滑移失效概率無(wú)明顯改變.

圖6a表明，增加擋土墻底寬b可顯著降低擋土墻抗傾覆失效概率標(biāo)準(zhǔn)差，提高結(jié)構(gòu)魯棒性水平.圖6b表明，由于不考慮墻底與地基摩擦力作用，擋土墻抗滑移失效概率標(biāo)準(zhǔn)差僅與b有關(guān)，隨著b增加而逐漸減小.

3.3.1 基于多目標(biāo)優(yōu)方法的魯棒性設(shè)計(jì)

針對(duì)圖3所示重力式擋土墻基于多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行魯棒性設(shè)計(jì)：以Pf－std作為魯棒性指標(biāo)，以C作為經(jīng)濟(jì)指標(biāo).對(duì)經(jīng)過(guò)安全性篩選之后的所有可行設(shè)計(jì)分別運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化方法NGSA－II［23］建立針對(duì)墻體2種失效模式的帕雷托前沿，然后根據(jù)建立的帕雷托前沿進(jìn)一步找到其中的關(guān)節(jié)點(diǎn)［24］，如圖7所示.

圖6 重力式擋土墻失效概率標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 Standard deviation of failure probabilities of gravity retaining wall

圖7 表明：2種破壞模式的Pf－std均隨C增加顯著降低；且相對(duì)墻體抗傾覆失效模式，擋土墻抗滑移模式的失效概率標(biāo)準(zhǔn)差更大.由圖7可得，魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果為：a＝0.2m，b＝2.5m；對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)失效概率均 值 為：Pf1－mean＝1.29×10－9＜6.9×10－4，Pf2－mean＝1.99×10－4＜3.5×10－3，滿足可靠度要求；對(duì)應(yīng)的Pf1－std＝5.23×10－8，Pf2－std＝5.93×10－4；對(duì)應(yīng)的C＝8.1m3·m－1.其中，重力式擋土墻魯棒性設(shè)計(jì)控制失效模式為抗滑移破壞.

3.3.2 基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)

根據(jù)圖5、圖6中計(jì)算得到擋土墻2種失效模式對(duì)應(yīng)的Pf－mean與Pf－std，假設(shè)其Pf服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，相應(yīng)的魯棒性指標(biāo)βp1與βp2可表示為

綜合各可行設(shè)計(jì)（即滿足安全性要求）的魯棒性指標(biāo)與經(jīng)濟(jì)成本可得圖8.

圖7 重力式擋土墻失效概率標(biāo)準(zhǔn)差與經(jīng)濟(jì)成本關(guān)系Fig.7 Standard deviation of failure probabilities of gravity retaining wall versus cost

相對(duì)圖7，圖8得到相似結(jié)論：重力式擋土墻魯棒性水平隨經(jīng)濟(jì)成本增加可顯著提高；擋土墻抗滑移破壞模式的魯棒性水平相對(duì)更低，即魯棒性設(shè)計(jì)中控制破壞模式為重力式擋土墻滑移破壞；同時(shí)，在相同的經(jīng)濟(jì)成本下，a越小，擋土墻魯棒性水平越高.據(jù)圖8可得到該重力式擋土墻在不同魯棒性水平下對(duì)應(yīng)的魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果，見(jiàn)表5.

圖8 重力式擋土墻魯棒性指標(biāo)與經(jīng)濟(jì)成本關(guān)系Fig.8 Robustness index of gravity retaining wall versus cost

表5 擋土墻魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.5 Results of robust design of gravity retaining wall for different robust levels

表5表明：隨魯棒性水平提高，魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果經(jīng)濟(jì)成本顯著增加；所有魯棒性設(shè)計(jì)中擋土墻控制破壞模式均為抗滑移模式；當(dāng)βp＝1.5時(shí)，可以得到與可靠度設(shè)計(jì)（土體參數(shù)變異系數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確）相同的結(jié)果，此時(shí)Pp＝93.32%；當(dāng)βp＝2.5時(shí)，可以得到與多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)相同的結(jié)果，此時(shí)Pp＝99.38%.

對(duì)比可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果與魯棒性設(shè)計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)被準(zhǔn)確預(yù)測(cè)時(shí)，僅僅可靠度設(shè)計(jì)即可滿足結(jié)構(gòu)安全性能要求；當(dāng)巖土力學(xué)參數(shù)變異系數(shù)不能準(zhǔn)確估計(jì)時(shí)，魯棒性設(shè)計(jì)具有明顯的優(yōu)越性，可有效避免設(shè)計(jì)結(jié)果偏于保守或偏于危險(xiǎn)等問(wèn)題，取得較好的安全性能與經(jīng)濟(jì)效益.

4 結(jié)論

針對(duì)巖土工程設(shè)計(jì)分析中巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征不確定性，在現(xiàn)有可靠度基礎(chǔ)上提出了重力式擋土墻設(shè)計(jì)方法：基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)與基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì).結(jié)合具體工程案例比較分析了可靠度設(shè)計(jì)方法與魯棒性設(shè)計(jì)方法，主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng)巖土參數(shù)變異性可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)時(shí)，可靠度設(shè)計(jì)具有一定合理性，然而，現(xiàn)有可靠度設(shè)計(jì)中巖土參數(shù)變異性不易確定，巖土參數(shù)變異性的低估或高估使設(shè)計(jì)結(jié)果偏于危險(xiǎn)或偏于保守，魯棒性設(shè)計(jì)可考慮巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性不確定性對(duì)巖土工程安全性能的影響，并得到巖土結(jié)構(gòu)安全性能的變異水平，是對(duì)現(xiàn)有可靠度設(shè)計(jì)方法的進(jìn)一步優(yōu)化.

（2）提出了2種魯棒性優(yōu)化方法：基于結(jié)構(gòu)失效概率置信水平的魯棒性設(shè)計(jì)可明確反映結(jié)構(gòu)的魯棒性水平，即結(jié)構(gòu)失效概率的置信水平，易于操作；基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的魯棒性設(shè)計(jì)方法可在巖土結(jié)構(gòu)功能魯棒性與經(jīng)濟(jì)成本之間取得最佳平衡，且不需要預(yù)先定義魯棒性指標(biāo).

（3）在可靠度設(shè)計(jì)中，重力式擋土墻控制失效模式為抗傾覆破壞，而魯棒性設(shè)計(jì)中控制失效模式為抗滑移破壞，即墻體抗滑移穩(wěn)定性相對(duì)抗傾覆穩(wěn)定性對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征的變化更加敏感.

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