高 娜，仇春生， 楊 冬

(1.天津科技大學 機械學院，天津 300457； 2.卓輪(天津)機械有限公司，天津 300457；3.河北工業(yè)大學 機械學院，天津 300401)

基于空間坐標系的齒輪建模方法與應(yīng)用研究*

高 娜1，仇春生2， 楊 冬3

(1.天津科技大學 機械學院，天津 300457； 2.卓輪(天津)機械有限公司，天津 300457；3.河北工業(yè)大學 機械學院，天津 300401)

給出利用空間坐標系創(chuàng)建齒輪模型的一種方法，即用坐標系方程計算出齒輪輪廓曲面和齒根過渡曲面的三維坐標值，然后利用Pro/E的曲面命令把這些坐標值上的點嚙合成輪廓曲面模型，利用曲面模型對齒坯模型進行實體化操作，即可實現(xiàn)齒輪的快速精確建模。通過實驗表明，在Pro/E設(shè)計環(huán)境下，基于空間坐標系的齒輪三維建模方法，建模精度高，速度快，是一種高效的齒輪建模方法。

空間坐標系；齒輪；三維建模；Pro/E

1 引 言

齒輪傳動是最重要的機械傳動方式之一，隨著數(shù)字化技術(shù)的發(fā)展，為滿足有限元分析、機構(gòu)運動分析、動力學分析等的需要，需精確繪制出漸開線齒輪的三維實體模型。齒輪造型精確度將直接影響有限元分析結(jié)果的準確性和齒輪產(chǎn)品的制造精度。筆者從齒輪加工原理出發(fā)，應(yīng)用三維空間坐標系法建立了齒廓漸開線及齒根過渡曲線的數(shù)學模型，精確實現(xiàn)齒輪三維模型的建立，并提高了建模的效率[1]。

2 齒輪輪廓曲面的坐標表達式

齒輪齒廓曲線是由漸開線和齒根過渡曲線連接而成，漸開線的起始點和齒根過渡曲線與齒輪的加工方法和加工刀具密切相關(guān)。以斜齒輪為例，斜齒輪的輪廓曲面是由與基圓柱相切平面上的一條斜直線通過繞基圓柱做螺旋運動而產(chǎn)生的[2-7]。設(shè)斜齒輪的齒數(shù)為z0，加工斜齒輪的刀具模數(shù)為mn，壓力角為αn，固定斜齒輪基圓軸的螺旋角為βb。

斜齒輪基圓半徑的表達式為：

rb=0.5z0mncosαn/cosβb

(1)

設(shè)斜齒輪中心軸對應(yīng)的直角坐標為Z，則斜齒輪上各點可以用直角坐標系X=(X,Y,Z)T來表示，如圖1所示。

圖1 斜齒輪嚙合面示意圖

即:

(2)

式中：ψ為通過齒面上點X=(X,Y,Z)T作基圓的切線切點相對X軸的夾角，以繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正；θ為通過齒面上點X=(X,Y,Z)T的螺旋線與基圓的交點相對X軸的夾角，以繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。

若設(shè)齒面上點X=(X,Y,Z)T的單位法線向量為N=(NX,NY,NZ)T，則:

(3)

相應(yīng)地，第j個齒面上的點Xj，及其單位法線向量Nj，通過坐標旋轉(zhuǎn)方式可表示為:

(4)

式中：φj為繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度，φj=2π(j-1)/Z0，如圖2所示，C(φj)為旋轉(zhuǎn)矩陣：

(5)

圖2 第j個齒面相對基準齒面轉(zhuǎn)角的關(guān)系

另外，在βb左旋的情況下，用-βb替換βb。同時，另一側(cè)齒面的X′和N′及相應(yīng)各齒面的Xj′和Nj′可表示為:

(6)

式中：x=π/Z0+4xntanαn/Z0+2invαt

sinαt=sinαn/cosβb

3 齒根過渡曲面數(shù)學模型

齒輪齒廓曲線是由漸開線和齒根過渡曲線連接而成，漸開線的起始點和齒根過渡曲線與齒輪的加工方法和加工刀具密切相關(guān)[3-4]。以常用的齒條刀具展成法加工為例，頂部為兩個圓角的齒條型刀具(如滾刀)如圖3所示。其參數(shù)間具有如下所示的關(guān)系：

(7)

圖3 齒條型刀具

展成法加工中，刀具加工節(jié)線與齒輪分度圓相切純滾動。齒根過渡曲線由刀具的圓角部分切出，刀具的圓心cρ將形成延伸漸開線，因此齒根過渡曲線是該延伸漸開線的等距曲線，建立如圖 4 所示的齒根過渡曲線直角坐標系。該過渡曲線的參數(shù)方程如下：

(8)

考慮沿Z向的螺旋軌跡Z(θ)=rbθcosβb，便可得出齒根過渡曲面的空間坐標。

刀具的圓角部分與其連接的兩段直線相切，因此刀具圓角與齒根過渡曲線開始接觸時，n-n垂直刀具的齒側(cè)直線，此時n-n和嚙合線重合，α′ 等于壓力角α，當齒條轉(zhuǎn)動到α′ 等于 π/2時，齒條形刀具頂部直線與齒根過渡曲線末端接觸，然后由該段直線切出齒根圓弧。

圖4 齒根過渡曲線

4 基于Pro/E的齒輪造型實例

根據(jù)空間坐標系法創(chuàng)建齒輪模型的理論，利用Excel VBA工具開發(fā)了齒輪曲面自動化工具，如圖5所示；DATA IMPORT按鈕可從計算單中自動讀取齒輪主要參數(shù)；FILE MAKE按鈕可根據(jù)上述理論自動計算齒廓曲面上的空間坐標值，并保存為Pro/E可識別的IBL格式文件，如圖6所示；CREAT MODEL按鈕可自動調(diào)用Pro/E中的“插入-高級-從文件混合-曲面”命令，從而在Pro/E 3D環(huán)境下生成齒廓曲面，然后返回到模型樹的第一步創(chuàng)建外徑大于齒頂圓的齒坯，如圖7所示；最后利用Pro/E的“編輯-實體化”命令去除齒坯中多余的材料，如圖8所示。

圖5 工具界面

圖6 齒廓上點的空間坐標值文件

圖7 齒坯與齒廓曲面的生成

圖8 曲面實體化與齒輪模型的生成

5 結(jié) 語

基于空間坐標系理論的齒輪建模方法是一種先進的3D建模技術(shù)，不僅提高了建模速度，而且把加工仿真學應(yīng)用到實體建模上，最大程度的提高了模型的精確度，為模型以后的有限元分析和動力學仿真等打下基礎(chǔ)，具有較好的實用價值。

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Gear Modeling Method and Application Research Based on Space Coordinates System

GAO Na1，QIU Chun-sheng2，YANG Dong3

(1．CollegeofMechanicalEngineering,TianjinUniversityofScience&Technology，Tianjin300457,China；2.Zollern(TianJin)MechanicalCompany，Tianjin300457,China；3.CollegeofMechanicalEngineering,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300457,China)

A method was given to create gear model with space coordinates system, three dimensional coordinate values of gear teeth profile and gear teeth root were calculated with coordinate system equation, then Pro/E curve surface command was used to make teeth profile curve surface model which covers these coordinate points, the curve surface model was used to do solid operation with gear raw material, then gear model was done quickly and accurately. The test result showed that, in the Pro/E design environment, the gear modeling method based on space coordinates system is high efficient method which has high modeling precision and high modeling speed.

space coordinate system; gear; 3D modeling; Pro/E

2013-11-28

高 娜(1981-)，女，河北辛集人，講師，研究方向：機械設(shè)計與制造。

TH122；TP39

A

1007-4414(2014)01-0001-03