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二維盲圖像恢復(fù)算法的研究

2014-08-01 14:54莊金蓮陳佳麗
三明學(xué)院學(xué)報 2014年2期
關(guān)鍵詞:正則代價高斯

莊金蓮,陳佳麗

(龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 龍巖 364012)

二維盲圖像恢復(fù)算法的研究

莊金蓮,陳佳麗

(龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 龍巖 364012)

通過對現(xiàn)有的二維盲圖像恢復(fù)算法的探討,提出了兩種基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。一種是最小化L2-L1代價函數(shù),為了實現(xiàn)邊緣保持和噪聲抑制;另一種是通過最小化L1-L1代價函數(shù)來處理非高斯噪聲的情況。所提的算法是一種廣義的梯度算法,它通過引入絕對值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)來處理不可微的情況。實驗結(jié)果表明,與NAS-RIF算法和DR算法相比,所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計。

盲圖像恢復(fù);L1雙正則化方法;二維實現(xiàn)算法;廣義梯度算法

圖像恢復(fù)廣泛應(yīng)用于醫(yī)療圖像、天文成像、遙感成像、顯微鏡成像等當(dāng)前研究的熱點領(lǐng)域。近些年來已提出許多盲圖像復(fù)原算法,主要分為兩類。第一類是將PSF的估計與恢復(fù)原始圖像的過程分成兩個不同的過程,先估計PSF,再采用現(xiàn)有的圖像恢復(fù)方法進(jìn)行圖像的復(fù)原。這類方法的特點是計算量較少,主要采用模型參數(shù)法,典型的有先驗?zāi):孀R方法。第二類是同時估計PSF和恢復(fù)原始圖像,將PSF的估計與圖像恢復(fù)的過程相結(jié)合。這類算法比較復(fù)雜,計算量較大,主要有模型參數(shù)法和非參數(shù)式的盲迭代法。在參數(shù)法中,如ARMA參數(shù)估計法[1]。在迭代法中,有Ayers和Dainty提出的迭代盲反卷積方法(IBD)[2]和D.Kundur等人提出的非負(fù)有限支撐域約束遞歸逆濾波法(NAS-RIF)[3]及其在此方法上的拓展,包括改進(jìn)的NAS-RIF算法[4-5]等。

目前另一種研究方向是將經(jīng)典圖像恢復(fù)方法中的正則化理論[6]應(yīng)用于盲圖像恢復(fù)。典型的有You Yu-li和M.Kaveh提出的對稱雙正則化(SDR)方法[7],Chan提出的總變分(TV)盲圖像復(fù)原[8]和Chen Li提出的參數(shù)雙正則化(PDR)方法[9]。

另外,根據(jù)程序?qū)崿F(xiàn)方式,我們將現(xiàn)有盲圖像恢復(fù)算法分為兩類,一類是一維實現(xiàn)方法,如TV方法和PDR方法;另一類是二維實現(xiàn)方法,如DR方法和NAS-RIF算法。通常二維實現(xiàn)算法適用于處理大幅的圖像且運行速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于一維實現(xiàn)算法。

本文將L1范式應(yīng)用于代價函數(shù),提出了兩種基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。通過對比實驗研究表明所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計和PSF估計。

1 圖像模型與二維盲圖像恢復(fù)方法

1.1 圖像退化模型與恢復(fù)過程

通常圖像的退化是由模糊和噪聲兩方面因素造成的。一般情況下,為簡化計算,假設(shè)點拓展函數(shù)PSF為線性空間不變系統(tǒng),噪聲為加性噪聲,那么二維的圖像退化模型可用式(1)表示:

其中g(shù)(x,y)、f(x,y)、h(x,y)、n(x,y)分別表示單幅的退化圖像,單幅、靜態(tài)、單色的(簡稱為單通道)原始圖像,點拓展函數(shù)PSF和加性噪聲;?表示二維卷積算子。為了有效地采用二維實現(xiàn)方法,這里直接將一幅退化圖像作為一個二維數(shù)字信號來進(jìn)行處理。盲圖像恢復(fù)問題就是根據(jù)觀測到的退化圖像g(x,y)以及原始圖像f(x,y)和PSF的部分先驗知識,獲得原始圖像的估計(x,y),使之盡可能地接近原始圖像f(x,y)。

1.2 經(jīng)典的二維盲圖像恢復(fù)方法

經(jīng)典的二維盲圖像恢復(fù)方法有D.Kundur等人提出的非負(fù)有限支撐域約束遞歸逆濾波(NASRIF)算法[8]和You Yu-li和M.Kaveh提出的對稱雙正則化SDR方法[14]。NAS-RIF算法假設(shè)圖像是非負(fù)的,且具有已知的支撐域。該算法的優(yōu)點在于代價函數(shù)是凸的,保證算法收斂到全局最小,算法穩(wěn)定、收斂速度快,但是由于其濾波器是高通濾波器,必然存在高頻噪聲放大的問題,特別是對于信噪比較低的圖像,復(fù)原效果不好。SDR方法將盲恢復(fù)問題看作是最小化一個雙正則化的代價函數(shù),把問題分解為模糊辨識和圖像恢復(fù)兩個過程,其中最小化過程采用基于共軛梯度法的替代最小化(AM)策略來實現(xiàn)。SDR方法沒有考慮到圖像和PSF的魯棒性特點,因而存在邊界處理的問題,而且當(dāng)加性噪聲不滿足高斯分布時,SDR方法的恢復(fù)效果不佳。此外,SDR方法還要求PSF是對稱的。

2 基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法

由于L1范式[10-11]在統(tǒng)計估計問題上所獲得的解更具魯棒性。因此將L1范式應(yīng)用于代價函數(shù)中,提出了2種基于L2-L1和L1-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。在最小化過程中引進(jìn)了一種基于廣義共軛梯度法的替代最小化(AM)算法。

2.1 改進(jìn)的代價函數(shù)

由于SDR方法的兩項正則化項都采用L2范式的形式,存在邊界問題,考慮用L1范式替代兩項正則化項中的L2范式,提出了一個新的混合的L2-L1代價函數(shù)用于盲圖像恢復(fù)。因此,本文所提出的基于L2-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法就是對下列的混合的L2-L1代價函數(shù)進(jìn)行最小化:其中Ω?R2和D?R2分別表示原始圖像和PSF的支持域,我們限定圖像的支持域遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于PSF的支持域,這樣會使效果更明顯。(x,y)和(x,y)分別表示原始圖像和PSF的估計。代價函數(shù)中的c(x,y)和a(x,y)稱為正則化算子,是一個高通濾波器,通常取Laplacaian濾波器;λ和γ是正則化參數(shù)。

L1估計方法對于非高斯分布非常有效。而且它不會過分?jǐn)U大誤差,因此當(dāng)信號數(shù)據(jù)包含非高斯噪聲顆粒的時候,L1估計方法相對于最小二乘(L2)方法更具魯棒性??紤]將L1范式用于圖像的逼真度這一項和兩項正則化項中,提出了一個新的L1-L1代價函數(shù)用于盲圖像恢復(fù)中。因此,本文所提出的基于L1-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法就是對下列的L1-L1代價函數(shù)進(jìn)行最小化:

本文所提出的兩個代價函數(shù)(2)和(4)由于使用L1范式的形式,因此都是非凸的(非光滑的)。

2.2 改進(jìn)的最小化算法

所提出的代價函數(shù)使用L1范式,是非凸的,為了處理不可微的情況,引入弱導(dǎo)數(shù)的概念。絕對值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)定義如下:

其中sign(·)的定義為

其中sign(·)的定義同式(8)。

為了以簡潔的形式來描述所提出的算法,首先引入兩個變形的符號函數(shù):

對于代價函數(shù)(4),再引入一個變形的符號函數(shù):

那么式(6)、(11)和式(7)、(12)可分別改寫成

現(xiàn)在來描述所提出的盲圖像恢復(fù)算法。

第2步,求解第k次迭代的圖像估計。

更新廣義共軛梯度向量

其中步長大小β0=1,當(dāng)k≥1時

尋找αk滿足下列條件

更新圖像估計

其中Pf表示的是式(3)的第一個約束條件的投影。

第3步,求解第k次迭代的PSF估計。

更新廣義共軛梯度向量

尋找滿足下列條件

更新PSF估計

其中Ph表示的是式(3)的后兩個約束條件的投影。

3 實驗仿真

3.1 算法評價標(biāo)準(zhǔn)

本節(jié)中主要是結(jié)合主觀評價方法和ISNR客觀評價方法對我們的實驗結(jié)果進(jìn)行分析對比。ISNR是用以比較恢復(fù)圖像與原始圖像質(zhì)量的參數(shù),計算所得的值越大,說明圖像質(zhì)量越好。ISNR的計算公式如式(27):

此外,針對雙正則化方法,除了得到原始圖像的估計之外,我們同時獲得了PSF估計。為了評價PSF估計的精度誤差,采用MSE客觀評價方法來進(jìn)行比較。MSE反映了所獲得的PSF估計與原始PSF之間的誤差,計算所得的值越小,說明PSF估計越精確。MSE的計算公式如式(28):

對于所提出的算法中,參數(shù)ρ取值為0.01。

圖1 原始utk圖像

3.2 實驗?zāi)M結(jié)果

例1:考慮如圖1所示的256×256的原始utk圖像,首先用21×21的高斯模糊PSF對原始圖像進(jìn)行退化,然后再在模糊后的圖像上附加混合隨機(jī)噪聲,最終生成退化圖像,如圖2(a)所示。

UTK圖像是一幅均勻黑色背景的文本二值圖像。當(dāng)運行NASRIF算法時,參數(shù)假設(shè)δ=0.0138,(Nxu,Nyu)=(5,5)。圖2(b)顯示的是NAS-RIF算法運行30次迭代后的恢復(fù)圖像。在原始圖像支持域未知的情況下,我們采用一種尋找支持域的算法。對于UTK圖像,這一過程運行了約11289.14 s。對于所提出的兩種算法,參數(shù)假設(shè)λ=0.03,γ=108,且令最大迭代次數(shù)M=30,容差ε=0.01。圖2(c)和圖2(d)中顯示了所提出的兩種算法的恢復(fù)圖像。

從主觀評價角度來看,3幅恢復(fù)圖像的視覺效果都比退化圖像好。而我們所提出的兩種算法獲得的恢復(fù)圖像在去模糊和去噪方面均明顯優(yōu)于NAS-RIF算法恢復(fù)的圖像,UTK字母邊緣輪廓和細(xì)節(jié)更加清晰,黑色背景噪聲顆粒明顯減少。

圖2 例1中退化圖像與3種算法的恢復(fù)圖像

再者,我們還對受到其他類型噪聲(高斯噪聲和椒鹽噪聲)污染的UTK退化圖像進(jìn)行了盲恢復(fù)并進(jìn)行比較。表1中列出了3種算法獲得的圖像估計的ISNR,PSF估計的MSE以及3種盲圖像恢復(fù)算法的計算時間。

從表1中可以看出,與NAS-RIF算法相比,所提出的算法在高斯噪聲和非高斯噪聲(混合隨機(jī)噪聲和椒鹽噪聲)的環(huán)境下均能夠以更快的速度獲得更好的恢復(fù)圖像和PSF估計。

例2:考慮如圖3所示的256×256衛(wèi)星圖像,首先用5×5的高斯模糊PSF對原始圖像進(jìn)行退化,然后再在模糊后的圖像上附加噪聲強(qiáng)度為0.5的椒鹽噪聲,最終生成退化圖像,如圖4(a)所示。

圖3 實時衛(wèi)星圖像

采用所提出的兩種算法和傳統(tǒng)的DR方法進(jìn)行盲恢復(fù)。令最大迭代次數(shù)M=30,容差ε=0.01,參數(shù)λ=0.08,γ=108。這3種方法在同樣的初始條件下運行,所得的恢復(fù)圖像如圖4(b)~圖4(d)所示。

圖4 例2中退化圖像與3種算法的恢復(fù)圖像

從主觀評價角度來看,3幅恢復(fù)圖像的視覺效果都比退化圖像好。而我們所提出的兩種算法獲得的恢復(fù)圖像在去模糊和去噪方面均明顯優(yōu)于DR算法恢復(fù)的圖像,衛(wèi)星圖像邊緣輪廓和細(xì)節(jié)更加清晰,尤其圖4(d)中衛(wèi)星圖像上的線條被明顯地恢復(fù)出來,且背景的噪聲顆粒明顯減少。

表2中列出了3種算法獲得的圖像估計的ISNR,PSF估計的MSE以及3種盲圖像恢復(fù)算法的計算時間。

表2 3種算法恢復(fù)圖像的客觀評價結(jié)果

從表2中可以看出,與DR算法相比,所提出的算法在非高斯噪聲(椒鹽噪聲)的環(huán)境下能夠以更快的速度獲得更好的恢復(fù)圖像和PSF估計。

4 結(jié)論

基于L1雙正則化方法,提出了兩種改進(jìn)的二維盲圖像恢復(fù)算法。與DR方法不同的是,這兩種算法分別采用L2-L1和L1-L1代價函數(shù),而所提出的算法是一種廣義的梯度算法,它通過引入絕對值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)來處理不可微的情況。其中第2種算法更適合于處理非高斯噪聲的情況。與NASRIF方法相比,這兩種方法均不需要圖像擁有已知的支撐域,且能同時獲得PSF的估計。實驗結(jié)果表明,與經(jīng)典算法相比,所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計。

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(責(zé)任編輯:朱聯(lián)九)

Study of Two-Dimensional Algorithms for Blind Image Restoration

ZHUANG Jin-lian,CHEN Jia-li
(College of Mathematics and Computer Science,Longyan University,Longyan 364012,China)

By exploring the existing two-dimensional(2-D)algorithms for blind image restoration,this paper proposes two new two-dimensional algorithms for blind image restoration based on an L1 double regularization approach.One is formulated as the m inim ization of a L2-L1 cost function to achieve edge preservation and noise suppression.The other is viewed as theminimization of a L1-L1 cost function for blind image restoration under non-guassian noise environments.Thus a generalized gradientalgorithm is introduced by using aweak derivative of the absolute value function to dealw ith the non-differentiable case.Experimental results show that the proposed two-dimensional algorithms can obtain a better restored image and the estimated PSFw ith a faster speed than both the NAS-RIFalgorithm and the DR algorithm.

blind image restoration;L1 double regularization approach;2-D implementation algorithm;generalized gradientalgorithm

TP391.41

A

1673-4343(2014)02-0006-08

2014-02-28

龍巖學(xué)院服務(wù)海西面上項目(LYXY2011071)

莊金蓮,女,福建晉江人,助教。研究方向:計算智能。

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