江 燕 陳曉非

1) 中國北京100081中國地震局地球物理研究所 2) 中國合肥230026中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球和空間科學(xué)學(xué)院

有限頻率線性理論的波恩近似佯謬*

1) 中國北京100081中國地震局地球物理研究所 2) 中國合肥230026中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球和空間科學(xué)學(xué)院

對有限頻率層析成像線性理論的波恩近似問題進(jìn)行梳理,用數(shù)值方法統(tǒng)計(jì)分析其適用范圍,結(jié)果表明波恩近似要求最大速度擾動不超過1%； 然后對相關(guān)走時一階近似進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,結(jié)果表明它也只適用于最大速度擾動在1%以內(nèi)的情形． 然而,結(jié)合波恩近似和相關(guān)走時一階近似而得到的有限頻率線性理論,其適用的速度擾動范圍最大可達(dá)10%． 這個表面上的邏輯悖論,稱為“波恩近似佯謬”． 此佯謬是由于不恰當(dāng)?shù)厥褂貌ǘ鹘圃斐傻模?本文摒棄波恩近似,使用泛函的Fréchet微分和隱函數(shù)定理推導(dǎo)得到有限頻率線性理論,圓滿解釋了波恩近似佯謬． 由于有限頻率非線性理論早已摒棄了波恩近似,因此波恩近似概念在有限頻率層析成像理論中完全沒有必要．

有限頻率層析成像 波恩近似 相關(guān)走時 Fréchet微分 隱函數(shù)定理

引言

有限頻率層析成像理論是最近十余年來地震層析成像的新理論． 傳統(tǒng)的體波地震層析成像以射線理論為基礎(chǔ),要求地震射線的頻率為無窮大． 對于短周期地震波,射線理論近似適用； 對于中長周期地震波,射線理論不太適用． Dahlen等(2000)提出了結(jié)合射線理論和波恩近似的三維體波有限頻率走時層析成像理論. Zhao等(2000)建立了基于體波正則模型表述的有限頻率層析成像理論. 之后,Zhao等(2005)提出散射積分方法. Tromp等(2005)及Liu和Tromp (2006)提出共軛波場法. Fichtner等(2008)提出時間-頻率域的共軛波場反演方法． 有限頻率層析成像理論對于任意頻率的波都成立． 它還可以對地震波進(jìn)行分頻段濾波,提取多頻段信息進(jìn)行反演,從而充分利用寬頻帶地震資料,因此獲得了廣泛的應(yīng)用(Montellietal,2004; Hungetal,2005,2011； Yangetal,2006; Chenetal,2007; Gautieretal,2008; Tapeetal,2009,2010; Bezadaetal,2010; Fichtneretal,2010; Liangetal,2011； Liuetal,2011)．

波恩近似源于量子力學(xué)中微觀粒子彈性碰撞理論． 當(dāng)入射粒子的動能比其勢能大得多時,散射波場等于入射波場加上一個微擾波場． 這時,可以忽略散射方程中二級以上擾動項(xiàng),獲得散射波場的波恩近似解． 聲波和彈性波的擾動問題,形式上與量子力學(xué)的高速粒子碰撞問題類似,因此波恩近似被借用來求解聲波的介質(zhì)擾動問題(Rayleigh,Strutt,1945; Wolf,1945)和弱非均勻介質(zhì)的彈性波場擾動問題(Yamakawa,1956; Knopoff,1959; Miles,1960; Hudson,1977; Aki,Richards,1980; Wu,Aki,1985; Snieder,1986; Coates,Chapman,1990)． 有限頻率層析成像線性理論(Dahlenetal,2000; Zhaoetal,2000)的創(chuàng)立過程中,波恩近似扮演著重要的角色． 為了求得因介質(zhì)參數(shù)擾動而導(dǎo)致的擾動波場,必須使用波恩近似略去與高階擾動波場有關(guān)的項(xiàng)． 有限頻率非線性理論一開始也使用了波恩近似(Trompetal,2005),但很快就摒棄了它,而使用拉格朗日乘子法直接推導(dǎo)(Liu,Tromp,2006)．

微觀粒子的碰撞是瞬態(tài)過程,只要粒子的勢能遠(yuǎn)小于動能,波恩近似解就足夠精確． 但地震波的傳播卻不是瞬態(tài)過程,速度擾動分布在-2%—2%,直觀上會覺得這個擾動足夠小． 但只要傳播路徑足夠長,這么小的速度擾動累積的擾動波場也不再是小量,這足以導(dǎo)致波恩近似不成立． 波恩近似的成立條件需要用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行定量的統(tǒng)計(jì)分析． 但自從波恩近似被借用到地震學(xué)的弱非均勻介質(zhì)問題以來,沒有人對其適用范圍做過定量分析． 建立在波恩近似基礎(chǔ)上的有限頻率線性理論,其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不嚴(yán)謹(jǐn)．

本文對有限頻率線性理論的波恩近似問題進(jìn)行梳理,用數(shù)值計(jì)算方法統(tǒng)計(jì)分析出其適用范圍． 實(shí)際地球介質(zhì)的反演問題,包括體波的走時、 幅度和Q值反演,以及面波的走時、 幅度、 偏振角、 群速和Q值反演． 本文選取應(yīng)用較廣的體波走時有限頻率線性理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,比較其適用范圍與波恩近似適用范圍,發(fā)現(xiàn)了波恩近似佯謬． 最后,使用泛函分析方法來解決波恩近似佯謬,使有限頻率層析成像理論建立在更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)之上．

1 波恩近似的適用范圍

1.1 弱擾動問題的波恩近似解

三維非均勻介質(zhì)的彈性動力學(xué)方程為

(1)

記初始模型的密度、 彈性系數(shù)張量和位移分別為ρ0,C0,u0,目標(biāo)模型的的密度、 彈性系數(shù)張量和位移分別為ρ=ρ0+δρ, C=C0+δC,u=u0+δu． 它們的體力均為f． 總邊界為S=Sa+Σ++Σ-,其中,Sa為自由表面邊界,Σ+和Σ-為斷層邊界的正、 負(fù)表面．

邊界S圍成閉區(qū)域⊕． 令n為閉區(qū)域表面的外法向量,v是從邊界負(fù)表面指向正表面的法向量． 在Sa和Σ-上,v=n； 在Σ+上,v=-n． 再令η為斷層滑動方向,ξ為邊界上的二維坐標(biāo),T(u,ν)為邊界上的牽引力,在極限意義下T(u,ν)=ν·(C∶u)．

在初始模型中

(2)

其邊界條件和初始條件為

(3)

(4)

(5)

在目標(biāo)模型中

(6)

其邊界條件、 初始條件同初始模型,即

(7)

(8)

(9)

式(3)和式(8)表明斷層面法向位移連續(xù),故法向牽引力連續(xù),即

(10)

(11)

由式(6)減去式(2),得

(12)

由式(9)減去式(5),得擾動波場的初始條件為

(13)

由式(7)減去式(3),以及自由表面條件,得擾動波場的邊界條件為

(14)

(15)

另外,由式(14)可推得

(16)

選取格林函數(shù)滿足零初始條件和自由表面條件,且在斷層面上格林函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù),有

(17)

(18)

(19)

式(12)等號右邊包含未知量δu,無法求解,需要先將等式右邊化為已知量． 若介質(zhì)參數(shù)符合小擾動條件

(20)

可假設(shè)波場的擾動符合波恩近似條件

(21)

則式(12)右邊與未知量有關(guān)的二階小量可略去,得

(22)

式(22)可以應(yīng)用表示定理求解． 依據(jù)式(13)—(19),得

(23)

式中,rS是震源位置矢量,rR是接收點(diǎn)位置矢量．

通過適當(dāng)?shù)牡葍r變換(見附錄),最后可得

(24)

其中

將式(24)對時間變量t求導(dǎo),可得三維非均勻介質(zhì)中波恩近似條件下的速度擾動波場,即

(25)

其中

圖1 高斯型三維隨機(jī)介質(zhì)Fig.1 3D Gaussian random medium

1.2 波恩近似的適用范圍

震源有4個,為位錯源,位于y=-100 km的平面上． 震源時間函數(shù)的優(yōu)勢周期為2 s． 震源參數(shù)隨機(jī)選取,如表1所示． 接收點(diǎn)25個,位于y=100 km的平面上,位置坐標(biāo)如表2所示． P波速度為5.7 km/s,S波速度為3.4 km/s,密度為2.8×103kg/m3．

表1 震源參數(shù)

表2 接收點(diǎn)參數(shù)

常用的震源時間函數(shù)有高斯型震源時間函數(shù)、 Ricker子波等． 這些函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是有無窮階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),缺點(diǎn)是不滿足因果律,即在斷層滑動之前和斷層滑動停止以后速度都不為0． 這個缺點(diǎn)造成理論地震圖有一定的計(jì)算誤差． 為克服該缺點(diǎn),本文提出九次多項(xiàng)式震源時間函數(shù)(其中Tm為優(yōu)勢周期),即

(26)

九次多項(xiàng)式震源時間函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

(27)

式(27)嚴(yán)格滿足因果律,從而減小了數(shù)值計(jì)算誤差． 由于多項(xiàng)式的積分可以表達(dá)為有限形式,因而計(jì)算均勻初始模型中體波相關(guān)走時有限頻率Fréchet核函數(shù)時,可將多重積分化簡為單重積分,從而大大減小了計(jì)算量． 這種震源時間函數(shù)的四階導(dǎo)函數(shù)連續(xù),適于計(jì)算各種有限頻率Fréchet核函數(shù)．

圖2給出了目標(biāo)模型的最大速度擾動分別為1%,2%,5%和10%的波恩近似相關(guān)走時誤差圖． 由圖可見,速度擾動越大,誤差越大． 最大速度擾動超過1%時,相關(guān)走時的誤差已不可忽略． 只有當(dāng)最大速度擾動小于1%時,誤差才比較?。?本節(jié)只檢驗(yàn)了走時的波恩近似條件． 若將幅度的波恩近似條件考慮進(jìn)去,模型的最大速度擾動必須遠(yuǎn)小于1%． 波恩近似的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一階線性近似． 這表明,對于實(shí)際的地震層析成像,波形反演是高度非線性的,這與地震學(xué)界一直以來的普遍認(rèn)識相一致．

2 波恩近似佯謬

實(shí)際的地震層析成像,目標(biāo)模型與初始模型的最大速度擾動一般都高于1%． 地殼上地幔的反演一般為3%—10%(Montellietal,2004; Yangetal,2006; Chenetal,2007; Gautieretal,2008; Tapeetal,2009,2010; Bezadaetal,2010; Fichtneretal,2010; Hungetal,2011; Liangetal,2011； Liuetal,2011)． 可見,對于實(shí)際地震層析成像來說,波恩近似一般是不成立的． 但是,目前的有限頻率層析成像線性理論又都以波恩近似為基礎(chǔ)． 究竟是有限頻率線性理論隱含著巨大的漏洞,還是波恩近似只是個美麗的誤會——佯謬？ 本節(jié)以體波的相關(guān)走時有限頻率方法為例,對其進(jìn)行深入分析．

圖2 隨機(jī)擾動情形下的波恩近似相關(guān)走時誤差 初始模型為均勻介質(zhì),目標(biāo)模型為高斯型三維隨機(jī)介質(zhì)． 圖(a)—(d)的最大速度擾動分別為1%,2%,5%和10%

2.1 相關(guān)走時一階近似及其適用范圍

(28)

對式(28)左邊作泰勒展開,忽略二階以上的高階項(xiàng),再令它等于0,作簡單的變換(Dahlenet al,2000),可得相關(guān)走時的一階近似公式,即

(29)

圖3 隨機(jī)擾動情形下相關(guān)走時泛函的一階近似誤差 模型和震源參數(shù)同圖2． 圖(a)—(d)的最大速度擾動為分別為1%,2%,5%和10%

圖3中,橫坐標(biāo)同圖2,為相關(guān)走時的精確值; 縱坐標(biāo)δT2為利用式(29)計(jì)算的一階近似值． 由圖3可見,當(dāng)最大速度擾動超過1%時,相關(guān)走時的一階近似帶來的誤差比較大； 當(dāng)最大速度擾動超過5%時,誤差比波恩近似誤差還要大．

2.2 有限頻率線性走時理論及其適用范圍

(30)

其中

同樣利用1.2節(jié)給出的震源和模型參數(shù),可以檢驗(yàn)式(30)的適用條件． 計(jì)算結(jié)果見圖4．

圖4 隨機(jī)擾動情形下有限頻率方法的相關(guān)走時誤差 模型和震源參數(shù)同圖2． 圖(a)—(d)的最大速度擾動為分別為1%,2%,5%和10%Fig.4 The errors of the cross-correlation traveltime of finite-frequency theory with random perturbationsThe parameters of the model and seismic sources are the same as those in Fig.2. The maximumvelocity perturbations in Figs.(a)—(d) are separately 1%,2%,5% and 10%

由圖4可見,當(dāng)最大速度擾動在5%以內(nèi)時,式(30)的誤差可以忽略不計(jì)； 當(dāng)最大速度擾動達(dá)到10%時,則有一定的誤差． 但在圖4d中,散點(diǎn)偏離斜率為1的直線的狀態(tài)表現(xiàn)出整體平移的特征． 實(shí)際反演中,一般使用差異相關(guān)走時,整體平移的系統(tǒng)誤差會被消除． 因此,圖4d的誤差仍然是可以忽略不計(jì)的．

Baig和Dahlen(2004)曾對聲波的有限頻率線性理論進(jìn)行相關(guān)走時的誤差統(tǒng)計(jì)． 結(jié)果表明,對于高斯型三維非均勻目標(biāo)模型,只要最大速度擾動在10%以內(nèi),有限頻率相關(guān)走時誤差都比較小,這與本節(jié)的檢驗(yàn)結(jié)果基本一致．

2.3 波恩近似佯謬

式(30)是由式(25)和式(29)推導(dǎo)來的． 一般情況下,推導(dǎo)結(jié)果的適用條件比推導(dǎo)過程的適用條件苛刻． 式(25)和式(29)的適用范圍都是最大速度擾動不超過1%,但式(30)的適用范圍卻是最大速度擾動不超過10%,比前兩者大得多． 這種表面上的邏輯矛盾,是由波恩近似造成的,本文稱之為“波恩近似佯謬”． 造成波恩近似佯謬的原因,只有一種可能,那就是在任意一點(diǎn)上,式(25)引起的誤差都被式(29)的誤差基本抵消了． 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看,隨機(jī)誤差逐點(diǎn)抵消是不可能的,只可能是系統(tǒng)誤差的抵消． 因此,造成這種情況的原因,必定是推導(dǎo)過程存在理論錯誤． 若能繞過波恩近似,用另一種更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)出式(30),那么波恩近似佯謬就能獲得圓滿解釋．

3 波恩近似佯謬的解決

3.1 泛函的Fréchet導(dǎo)算子

積分形式的多元泛函是多元非線性算子的一種形式,形如

(31)

其Fréchet導(dǎo)算子是如下線性積分算子：

(32)

式中,i=1, 2, …,n；h1(r),h2(r), …,hn(r)是給定的任意有界函數(shù)序列． 省略hi(r),可寫為

(33)

式中,i=1, 2, …,n. 式(31)是具有解析表達(dá)式的顯泛函,故可以直接求導(dǎo)． 對于沒有解析表達(dá)式的隱泛函,無法直接求導(dǎo),需要使用隱函數(shù)定理．

多元算子隱函數(shù)定理的推論(郭大鈞,2001)如下：

考察多元算子方程

(34)

(35)

式中,i=1, 2, …,n. 若P的秩為1,則上式變?yōu)?/p>

(36)

3.2 波形Fréchet導(dǎo)算子

將式(12)等號右邊關(guān)于δu的項(xiàng)移到左邊,得

(37)

初始條件仍為式(13)． 依據(jù)式(14)和自由表面邊條件,有

(38)

(39)

式(37)等號右邊都是已知量,應(yīng)用表示定理,得

(40)

式中G(rR,τ; r)是目標(biāo)模型中點(diǎn)源的格林函數(shù)．

參照附錄式(A1)—(A18)的推導(dǎo)過程,最后可得

(41)

其中, G=G(rR, τ;r),u0=u0(r,t-τ;rS).

對于確定的rS,rR,t,α0(r), β0(r)和ρ0(r),從式(41)可知擾動波形δu是δα(r), δβ(r)和δρ(r)的多元泛函,也就是α(r), β(r)和ρ(r)的多元泛函． 經(jīng)化簡,可將式(41)寫為

其中

(42)

由式(42)可見,式(41)是具有式(31)形式的顯泛函．

利用式(33)和式(42),可求出δu(α,β,ρ)的Fréchet導(dǎo)算子,即

(43)

(44)

(45)

在點(diǎn)(α0,β0,ρ0)處,有

由式(42)—(45)可求出δu(α,β,ρ)在點(diǎn)(α0,β0,ρ0)處的Fréchet導(dǎo)算子,即

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

3.3 相關(guān)走時Fréchet導(dǎo)算子

波形泛函δu(α,β,ρ)具有解析表達(dá)式,可直接求導(dǎo)． 而由式(28)確定的相關(guān)走時泛函δT(α,β,ρ)卻沒有解析表達(dá)式,只能用隱函數(shù)定理求導(dǎo)． 將式(28)視為多元算子方程

(52)

式中

對算子P求一階偏導(dǎo)算子,得

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

將式(49)代入上式,交換積分次序,得

(58)

其中

類似地,由式(36)、 式(55)和式(57)可得

(59)

其中

類似地,由式(36)、 式(56)和式(57)可得

(60)

其中

3.4 有限頻率線性走時理論

由Fréchet微分的定義知

注意到δT(α0,β0,ρ0)=0,對上式作一階近似,再將式(58)—(60)代入,并應(yīng)用式(32)得

(61)

式(61)與式(30)完全一致． 從彈性動力學(xué)方程式(1)和相關(guān)走時的定義式(28),用泛函的Fréchet微分法則得到式(61)的過程,沒有用到波恩近似和相關(guān)走時一階近似． 因此,圖2和圖3對于式(61)不構(gòu)成約束． 式(61)是泛函δT(α,β,ρ)的一階近似,與波恩近似和相關(guān)走時一階近似無關(guān)． 其適用條件,亦即圖4所示結(jié)果,與圖2和圖3無關(guān)．

至此,波恩近似佯謬獲得圓滿解決．

4 討論與結(jié)論

從波恩近似的源頭上分析,與地震波的擾動問題相對應(yīng)的微觀粒子碰撞,應(yīng)該是入射粒子在路徑上發(fā)生一系列連續(xù)碰撞的波恩近似問題． 這種情形的波恩近似條件比單次碰撞要苛刻得多． 不加分析的概念借用,造成了波恩近似佯謬．

經(jīng)過數(shù)值統(tǒng)計(jì)分析,可見波恩近似的適用范圍和相關(guān)走時的一階近似適用范圍都很窄． 以P波走時為例,目標(biāo)模型相對于初始模型的最大速度擾動不能超過1%,但有限頻率線性理論的適用范圍,卻允許最大擾動達(dá)10%． 從邏輯上來說,推導(dǎo)過程的適用范圍反而比推導(dǎo)結(jié)果的適用范圍窄,這是一個悖論． 經(jīng)過深入的分析,發(fā)現(xiàn)應(yīng)用泛函的Fréchet微分,可以繞過波恩近似,直接導(dǎo)出有限頻率線性走時理論． 因此,這個悖論是由于不恰當(dāng)?shù)厥褂昧瞬ǘ鹘圃斐傻?是一個佯謬． 波恩近似佯謬表明,近十余年來,在有限頻率層析成像線性走時理論中,普遍使用的波恩近似概念是不必要的誤用． 對于最大速度擾動不超過10%的實(shí)際反演,波恩近似不成立,但有限頻率層析成像線性理論是成立的． 由于有限頻率非線性理論早已摒棄了波恩近似,因此波恩近似概念在有限頻率層析成像理論中完全沒有必要．

為了簡化計(jì)算,本文初始模型選取均勻介質(zhì),只計(jì)算了P波的情形,選取有限頻率相關(guān)走時方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析． 對于其它類型的波,如S波、 面波,只需將P波格林函數(shù)換成相應(yīng)類型波的格林函數(shù)即可． 對于體波幅度、 面波走時等有限頻率方法,泛函的Fréchet微分法則一樣適用． 因此,波恩近似佯謬在有限頻率層析成像線性理論中具有普遍意義．

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)張偉為本文提供了有限差分程序,北京大學(xué)蓋增喜和南京大學(xué)石亞龍與作者進(jìn)行了有益的交流討論,北京大學(xué)張獻(xiàn)兵在并行計(jì)算程序方面提供了很多幫助,在此一并表示感謝．

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附錄 弱擾動問題波恩近似解的詳細(xì)推導(dǎo)

下面給出本文1.1節(jié)中從式(23)到式(24)的詳細(xì)推導(dǎo)過程．

(A1)

(A2)

(A3)

根據(jù)式(15)、 式(16)和式(A3),在式(23)等號右邊加上零項(xiàng),則有

(A4)

由式(11)減去式(10),應(yīng)用波恩近似條件,得

即

(A5)

類似地,由式(8)減去式(4),式(A2)減去式(A1),作波恩近似,可得

(A6)

(A7)

將式(A5)—(A7)代入式(A4),并注意到在負(fù)界面上ν=n,在正界面上ν=-n,得

(A8)

上式中Sg是由斷層邊界、 間斷面和自由表面構(gòu)成的總邊界． 不妨將⊕視為被Sg分割成的若干個閉區(qū)域的總和,則由高斯定理可證明

(A9)

證明如下：

不妨記A=G0(rR,τ; r),B=δC∶u0(r, t-τ; rS), 則式(A9)等價于

(A10)

由高斯定理知

(A11)

將式(A11)代入(A10),則式(A9)等價于

(A12)

易證式(A12)恒成立,故式(A9)得證．

將式(A9)代入式(A8),得

(A13)

根據(jù)

得

(A14)

(A15)

各向同性介質(zhì)中

(A16)

將式(A14)和式(A15)代入式(A16),化簡后得

(A17)

因此

(A18)

故

(A19)

因格林函數(shù)G0(rR,τ; r)在邊界上滿足齊次邊界條件,由互易定理知

(A20)

將式(A20)代入式(A19),得

(A21)

將式(A21)代入式(A13),交換時間和空間變量的積分次序,忽略關(guān)于δα,δβ和δρ的二階以上高階項(xiàng),即得式(24)．

Born approximation paradox of linear finite-frequency theory

1)InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China2)SchoolofEarthandSpaceSciences,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China

After reviewing the Born approximation problem of linear finite-frequency tomography theory, its scope of application is statistically analyzed by numerical method. The result indicates that the maximum velocity perturbation should not exceed 1% for Born approximation. Then the statistical analyses on the first-order approximation of cross-correlation travel-time also show that it only meets the case of the maximum velocity perturbation less than 1%. However, the maximum velocity perturbation can be 10% for linear finite-frequency theory, which combines Born approximation with the first-order approximation of cross-correlation travel-time. This apparent logic paradox is called “Born approximation paradox”, which is caused by misusage of Born approximation. Thus, Born approximation is discarded in this study; Fréchet derivative and implicit functional theorem are used to deduce linear finite-frequency theory. As a result, Born approximation paradox is explained thoroughly. Since Born approximation has been discarded early in nonlinear finite-frequency theory, this concept is unnecessary in finite-frequency tomography theory.

finite-frequency tomography; Born approximation; cross-correlation traveltime; Fréchet derivative; implicit function theorem

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004.

國家自然科學(xué)基金(41090292)和中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)(DQJB13B15)共同資助.

2013-05-27收到初稿,2013-12-15決定采用修改稿.

e-mail: jiang_yan4216@263.net

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004

P315.3+1

A

江燕,陳曉非. 2014. 有限頻率線性理論的波恩近似佯謬. 地震學(xué)報, 36(3): 372--389.

Jiang Y, Chen X F. 2014. Born approximation paradox of linear finite-frequency theory.ActaSeismologicaSinica, 36(3): 372--389. doi:10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004.