● (春暉中學(xué) 浙江紹興 312353)

證明(充分性)設(shè)x+y+z=1，則

故A,B,C,D共面.

整理后，得

由系數(shù)的唯一性，知

x=1-λ-μ，y=λ,z=μ，

從而

x+y+z=1．

則滿足x+y+z=1的動點P的軌跡是平面ABC．

簡記上述平面ABC為α1．沿著文獻(xiàn)[1]探究的心路，可將其中的各個結(jié)論推廣到空間如下：

則(1)滿足x+y+z=0的動點P的軌跡是過點O與平面α1平行的平面α0；(2)滿足x+y+z=-1的動點P的軌跡是α1關(guān)于點O對稱的平面α-1．

(證明過程此處從略．)

現(xiàn)稱定理1中由平面α0指向平面α1的空間區(qū)域為正向空間區(qū)域Ω+，由平面α0指向平面α-1的空間區(qū)域為負(fù)向空間區(qū)域Ω-，則

且x+y+z=k(k≠0)，則當(dāng)k>0時，動點P的軌跡是在Ω+內(nèi)與平面α0平行且與α0的距離為k的平面；當(dāng)k<0時，動點P的軌跡是在Ω-內(nèi)與平面α0平行且與α0的距離為|k|的平面(即動點P的軌跡總是一個與平面α0平行且與α0距離為|k|的一個平面，k的正、負(fù)性正好對應(yīng)它所在區(qū)域的正、負(fù)向).

記定理2中的平面為αk，于是又有該定理的一個推論．

則滿足條件a

類似地，還有滿足條件a≤x+y+z≤b,x+y+z≤a,x+y+z≥b等時的一些結(jié)論．

讓我們換個角度，從空間基底的變換入手．

記由點Am,Bn,Cl確定的平面為αm,n,l,1，于是得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則

時光荏苒，距離小飛魚孵化出來已經(jīng)快一年了。它們也已經(jīng)長到了40厘米左右，翼狀的胸鰭也快長到30厘米長了。從4月初開始，飛魚群便會紛紛順著洋流南下，尋找溫暖的海域，而有些種類的飛魚會“固執(zhí)”地前往它們的出生地，開始新一輪的繁衍。

(1)滿足x+y+z=1的動點P的軌跡是平面αm,n,l,1；

(2)滿足x+y+z=0的動點P的軌跡是過點O且與平面αm,n,l,1平行的平面αm,n,l,0；

(3)滿足x+y+z=-1的動點P的軌跡是αm,n,l,1關(guān)于點O對稱的平面αm,n,l,-1．

由引理1知結(jié)論(1)正確；由定理1知結(jié)論(2)和(3)正確.

我們?nèi)杂浻善矫姒羗,n,l,0指向平面αm,n,l,1的空間區(qū)域為Ω+，由平面αm,n,l,0指向平面αm,n,l,-1的空間區(qū)域為Ω-，則由引理2和定理2得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則滿足x+y+z=k(k≠0)的動點P的軌跡是在Ω內(nèi)與平面αm,n,l,0平行且與αm,n,l,0的距離為|k|的一個平面αm,n,l,k.當(dāng)k>0時,αm,n,l,k在Ω+內(nèi);當(dāng)k<0時,αm,n,l,k在Ω-內(nèi).

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，則滿足條件a

同樣地，仍有滿足條件a≤x+y+z≤b,x+y+z≤a,x+y+z≥b等時的各個結(jié)論.

以上結(jié)論極具應(yīng)用價值，此處僅舉一例．

x+2y+2z=-1,

所以由定理3知點P的軌跡是平行于平面AB′C′的一個平面α，且這2個平面關(guān)于點O對稱．

圖1

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 陳定昌．陳題新探[J].數(shù)學(xué)通訊,2013(3):16-17.