馬玉峰

(甘肅民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘肅 合作 747000)

向量積性質(zhì)的應(yīng)用

馬玉峰

(甘肅民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘肅 合作 747000)

向量積是向量代數(shù)中一種重要運(yùn)算,與矩陣類似不滿足乘法交換律.在實(shí)際應(yīng)用中向量積具有雙重性(大小和方向是解決問(wèn)題的核心).利用它可以求空間中直線和平面的方程,更重要的是用它可以建立微分幾何中Frenet標(biāo)架.

向量積; 向量代數(shù); 應(yīng)用

0 引言

向量積是向量代數(shù)中的基本概念和運(yùn)算．利用向量積可以計(jì)算平面圖形的面積、確定平面的法向量;建立三維歐氏空間中的Frenet標(biāo)架．在物理學(xué)、自然科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用．

1 定義

幾何定義[5-6]:向量積的模長(zhǎng)等于平行四邊形的面積.即

2 向量積的性質(zhì)

圖1 中線三角形

命題 三角形的三條中線構(gòu)成一個(gè)三角形.(稱此三角形為中線三角形)

而三中線向量分別是:

而中線三角形的面積是:

圖2 以為三棱的平行六面體

所以

定理4 分解定理

可設(shè)

因

故有

因此得

同理可得

所以

3 應(yīng)用舉例

圖3 以A、B、C為頂點(diǎn)的空間三角形

例1 如圖3,已知空間三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)試求: 1) 三角形ABC的面積; 2) 原點(diǎn)O到平面ABC的距離; 3) 平面ABC的方程.

而

bc(x-a)+ac(y-0)+ab(z-0)=0由于abc≠0因此所求平面方程為:

而

所以

即

因此

4 結(jié)束語(yǔ)

向量積是一種重要工具,是學(xué)習(xí)微分幾何、物理學(xué)的重要方法;利用它還可推出許多幾何性質(zhì),目的是通過(guò)向量積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

[1] 丘維聲. 解析幾何[M].2版.北京：北京大學(xué)出版社,1996.

[2] 尤承業(yè).解析幾何 [M]. 北京：北京大學(xué)出版,2008.

[3] 呂林根.解析幾何 [M].5版. 北京：高等教育出版社, 2005.

[4] 李養(yǎng)成,郭瑞芝. 空間解析幾何 [M].北京：科學(xué)出版, 2004.

[5] 馬玉峰,李曉琴.空間解析幾何 [M]. 北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2013.

[6] 陳維恒. 微分幾何 [M]. 北京：北京大學(xué)出版社,2006.

[責(zé)任編輯：李春紅]

Application Properties of Vector Product

MA Yu-feng

(Department of Mathematics, Gansu Normal University for Nationalities, Hezuo Gansu 747000, China)

Vector product was an important operation in vector algebra and matrix similar, it does not meet the multiplication commutative; in the practical application of vector product is dual in nature-the magnitude and direction is to address the crux of the problem. It can find space in the linear equation of peace, it is more important to establish the Frenet frame of differential geometry.

vector product; vector algebra; application

2014-04-01

馬玉峰(1966-),男,甘肅天水人,副教授,研究方向?yàn)榫€性代數(shù)與幾何學(xué). E-mail: myf-456@163.com

O151.2

A

1671-6876(2014)04-0298-04