李 朗, 石啊蓮

(齊魯師范學院 數(shù)學學院， 山東 濟南 250000)

基于數(shù)學建模視角的高等數(shù)學教學改革探索

李 朗, 石啊蓮

(齊魯師范學院 數(shù)學學院， 山東 濟南 250000)

高等數(shù)學是理、工學科一門重要的基礎課程，它主要介紹數(shù)學基本理論與方法，訓練學生的思維，抽象性是其最基本最顯著的特征。數(shù)學建模是利用數(shù)學工具解決實際問題的重要手段。本文試圖以“數(shù)學建?！睘橥黄瓶冢槍鹘y(tǒng)數(shù)學教學模式的弱點，討論怎樣應用數(shù)學建模來進行教學改革，達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和增強知識應用能力的目標。

數(shù)學建模；高等數(shù)學；教學改革

0 引言

我國傳統(tǒng)數(shù)學教學有著優(yōu)良的傳統(tǒng)和較好的基礎，但同時存在知識陳舊、內容單調、理論脫離實際的缺陷，教學改革勢在必行。有學者提出應增加教材中應用題的數(shù)量，在教學的過程中給學生滲透數(shù)學建模的實例并給出解決的方法，讓學生親自體驗知識應用的過程，很大程度上能提高學生學習的興趣。什么是數(shù)學建模？數(shù)學建模就是要求將實際問題經(jīng)過分析、化簡，轉化成一個數(shù)學問題，然后用恰當?shù)臄?shù)學方法去解決，其中將問題轉化成數(shù)學模型是關鍵的一步。簡言之，數(shù)學模型就是用數(shù)學的方法和手段對一個實際問題作出最合理的設計和方案。下面，結合自身教學經(jīng)驗，淺談一下數(shù)學建模在高等數(shù)學教學中的作用。

1 滲透數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣

現(xiàn)今，很多教師為了完成教學進度，在教學內容上偏重理論，忽略了與實際問題的聯(lián)系，使得學生不知怎樣應用理論知識，影響了學習興趣。數(shù)學源于生活，很大程度上數(shù)學的目的是為了解決生活中實際問題，筆者就生活中常見的問題——地板的鋪設，嘗試著組織了一次教學。

人們?yōu)榱嗣阑∷?，絞盡腦汁想出了很多地板鋪設方案，而鋪設地板問題也是數(shù)學建模中的經(jīng)典案例，此問題的核心在于如何鋪設能達到最美觀及住戶花費最低。假設每塊地板只能沿平行于邊長的方向切割而且切割費用跟切割長度成正比。問題1：考慮綜合因素計算鋪設地板總成本，然后計算比較哪種尺寸的地板鋪設成本最低；問題2：就多種尺寸混用，如何能找出最優(yōu)利用率和最低費用。

1.1 模型的基本假設

1) 每塊地板只能沿平行于邊長的方向切割，且只能切割一次，長度與費用成正比；

2) 地板切割成本僅考慮地板單價、切割費用，不考慮其他因素，切割后破損的地板不能再使用；

3) 相鄰地板之間嚴格無縫對接。

數(shù)學符號的說明：

I：房間標號Aj：j種規(guī)格地板的長度

J：地板使用規(guī)格標號Bj：j種規(guī)格地板的寬度

Mij：i區(qū)域用j種完整地板的塊數(shù)Si：i區(qū)域的面積

Nij：i區(qū)域用j種不完整地板的塊數(shù)Ci：i區(qū)域的長

Vj：j種規(guī)格地板的單價Di：i區(qū)域的寬

Vij：j種規(guī)格地板切割后的單價Ni：i區(qū)域所用地板的總塊數(shù)

1.2 模型的建立及求解

問題1的解決：將房間劃分成13個小區(qū)域，利用線性規(guī)劃知識建立模型如下：

問題2的解決：采取多種規(guī)格地板鋪設時，運用攤還分析和二維下料的方法對每個區(qū)域進行鋪設。

1) 求出每種地板單位面積的價錢，性價比高的地板即為主鋪地板。

地板規(guī)格/(mm×mm)800×800600×600600×300400×400300×300性價比/(元/mm)281.25361.11444.40450.00500.00

2) 達到最優(yōu)組合

通過數(shù)學軟件求解

地板規(guī)格/(mm×mm)整塊/塊被切割數(shù)/塊800×8001700600×600210600×3004646400×40041300×300225

其中，總費用：42 193.16元；利用率：98.19%；美化程度：0.93。

這個案例就本身而言，學生不但解決了實際問題，也熟悉了利用線性規(guī)劃知識建模型，還熟悉了數(shù)學計算軟件，在專業(yè)方面收獲頗多，更重要的是提高了學生學習的熱情和主動性。

2 融入數(shù)學建模方法，提高學生對大學數(shù)學的認同感

很多學生學習了一段時間數(shù)學之后，不知道怎么使用，在很多學生的眼里數(shù)學知識只是做題而已。其實不然，大學數(shù)學課程中包含了大量數(shù)學建模的實例，它們都源于我們的實際生活，學生比較容易理解和接受。所以作為在教學活動中起主導作用的教師，應該積極地將這些實例與相關知識聯(lián)系起來，讓學生體會到用數(shù)學知識解決實際問題的過程，提高學生對數(shù)學的認同感。

例如定積分在經(jīng)濟領域有著廣泛的應用：設同經(jīng)濟量函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)用f′(x)表示，則有

所求經(jīng)濟量的模型如下

此模型可求解如總收益、總利潤、總成本等的多種經(jīng)濟量。

在經(jīng)濟管理上，邊際收益是指增加一單位產(chǎn)品的銷售所增加的收益，它可正可負。邊際收益是廠商分析的重要依據(jù)。而邊際成本則是每一單位新增生產(chǎn)的產(chǎn)品帶來的總的成本的增加。邊際收益是反映增加產(chǎn)品的銷售量能為企業(yè)增加的收益。銷售單價除去邊際成本就是邊際利潤，加急利潤是指增加單位產(chǎn)量所增加的利潤。

設C′(Q)、R′(Q)、L′(Q)分別表示邊際成本、邊際收益、邊際利潤，其中Q代表產(chǎn)量，且有

C(0)=C0,R(0)=0,L(0)=-C0

擇優(yōu)上面的模型可得總成本、總收益、總利潤分別為

再舉例常微分方程在生活上的應用。一個有意思的小問題——餓狼追兔：現(xiàn)有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處。假設兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起跑，兔子往正北60米方向處的洞穴跑，而狼沿著兔子的路線追兔子，并假設狼和兔子的速度都是勻速的。已知狼的速度是兔子的兩倍，問狼是否能追到兔子。某些導彈對目標追擊的數(shù)學模型與它是類似的，有了這個例子學生也可以嘗試解決工程上的問題。

設狼的行走軌跡是y=f(x)，則有y′|x=100=0,y|x=100=0。

再假設在某時刻，兔子跑到(0,h)處，而狼在(x,y)處，則有

即有如下模型

解得

由邊際條件知

所以狼的行走軌跡為

通過這些具體問題的討論，學生可以親自體驗用數(shù)學的知識解決實際問題的全過程，也了解了對某些問題的建模方法，不但加深對數(shù)學知識的理解，更加提高了學生的理論知識應用能力和動手實踐能力，也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維。

3 融入建模的方法、手段，豐富教學形式

在數(shù)學建模教學的課堂上，經(jīng)常采取“案例教學法”“問題驅動法”“討論法”來激發(fā)學生的興趣引入教學內容并展開討論，并適時地利用比較直觀的教學方法來處理抽象的理論，這些教學方法更容易被學生接受，在激發(fā)學生學習興趣和培養(yǎng)自主能力上作用都是顯著的。所以在課堂上不妨嘗試減少理論教學時間，增加學生自主交流和師生共同討論的時間，學生可通過自己的探索去找出解決問題的最優(yōu)方法。在教學手段上可以充分發(fā)揮計算機的作用，在解決問題的過程中可以引導學生使用一些常見的數(shù)學軟件(Mathematical、“圖論”“統(tǒng)計”“優(yōu)化”等)，這樣不但相關的數(shù)學知識可以掌握，還能培養(yǎng)學生的計算機軟件應用能力，能更好地適應時代要求。還有一方面就是注意在教學過程中引入多媒體，可以更直接地展示抽象的圖形、有趣的動畫，再附加上板書對理論推導的詳細展示，更能引起學生的興趣，激發(fā)想象力。最后遠程教學、郵件或網(wǎng)站上師生之間的交流都是很好的促進學生學習的方法。

4 小結

按照全國大學生數(shù)學建模競賽規(guī)則，我校每年都組織、指導學生參加此競賽，并組織優(yōu)秀教師指導。隨著校隊規(guī)模的擴展，各個理科院系的學生、老師都積極參與進來，進而推動了學生參與競賽的積極性。近幾年來，我校學生在全國大學生數(shù)學建模競賽中取得了顯著的成績，分別獲得國家二等獎2項、省級二等獎3項和省級三等獎2項。總的說來，在競賽的過程中，成長的不只是學生，還有教師，在組織比賽的過程中，教師們不但拓寬了自身的知識面，還提高了利用計算機軟件和數(shù)學工具解決實際問題的能力。以數(shù)學建模競賽這個平臺為契機不斷引導學生用數(shù)學知識去解決實際問題，增強了學習興趣，提高了學生對數(shù)學的認同感；在此過程中也豐富了教學手段，教學效果是頗為明顯的。

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[責任編輯：劉海寧]

2014-08-23

李朗(1982-)，女，吉林松原人，研究方向為應用泛函分析。E-mail：langli@163.com

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