鄭玉華+崔曉東

摘要：在利用Logit模型對企業(yè)的財務困境或違約進行預測時，現(xiàn)有文獻往往將05作為判別財務困境或違約與否的標準，沒有考慮最優(yōu)分界點與樣本配比和誤判成本之間的聯(lián)系。最優(yōu)分界點的選擇應當滿足使整體錯誤分類率達到最小，或者使整體錯誤分類成本達到最小。分界點的設置不僅取決于兩類錯誤的成本，還取決于模型構(gòu)建者在樣本選擇時所設置的樣本配比比例。本文給出了在誤判成本最小化基礎(chǔ)上最優(yōu)分界點的理論推導過程和計算步驟，并對1:1和1:3樣本配比情況下的最優(yōu)分界點進行比較研究，發(fā)現(xiàn)無論是1:1還是1:3樣本配比，第一類錯誤相對于第二類錯誤的成本越大，最優(yōu)分界點就應該選擇較小的值；在設定的1/1、1/5、1/10這三種成本比值下，兩種樣本配比情況下的最優(yōu)分界點都小于05；在1:3的樣本配比下，適當?shù)姆纸琰c不僅能保證分類的準確性，還能更好地控制第一類錯誤，減小分類錯誤成本，而樣本配比比例進一步提高可能會出現(xiàn)分界點過小的情況。

關(guān)鍵詞：Logit模型；財務預警；樣本配比；誤判成本；最優(yōu)分界點

中圖分類號：F83文獻標識碼：A

收稿日期：2014-03-20

作者簡介：鄭玉華（1976-），男，湖北潛江人，南京信息工程大學經(jīng)濟管理學院教師，經(jīng)濟學博士，研究方向：金融計量與風險管理；崔曉東（1972-），女，河南鞏義人，南京曉莊學院經(jīng)濟與管理學院教師，管理學博士，研究方向：金融工程與投資管理。

基金項目：江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程項目,項目編號：PAPD，ysxk2010；教育部人文社會科學基金項目“內(nèi)部公司治理對銀行風險承擔行為影響研究”，項目編號：10YJC790149。公司財務預警主要基于兩類計量方法，一是基于Black-Scholes（1973）［1］和Merton（1974）［2］期權(quán)技術(shù)的結(jié)構(gòu)化模型，二是基于統(tǒng)計技術(shù)的二分模型。二分模型是比較常用的財務預警模型，基本原理是選取合適的財務指標作為解釋變量，建立二項回歸方程預測公司的財務困境或違約概率。由于二項回歸中的Logit模型并不嚴格要求財務指標服從多元正態(tài)分布，因而在實踐中得到廣泛運用［3-5］。

值得注意的是，雖然相當多的學者利用Logit模型對違約率進行研究或?qū)矩攧绽Ь尺M行預測，但文獻大多沒有深入研究如何確定適用于我國的模型最優(yōu)分界點。Logit回歸模型并不存在理論上的最優(yōu)分界點，大多數(shù)文獻往往將05作為判別財務困境或違約與否的標準，這種作法存在較大的缺陷。事實上，最優(yōu)分界點的選擇與樣本配比和誤判成本問題聯(lián)系在一起，如果把05作為財務困境或違約分界點，則意味著模型假定一家公司破產(chǎn)與不破產(chǎn)的先驗概率一樣，并且第一類錯誤和第二類錯誤這兩類錯誤的成本相等，這與現(xiàn)實情況嚴重背離。因此，在利用Logit模型對企業(yè)的財務困境或違約進行預測時，最優(yōu)分界點的選擇與樣本配比和誤判成本問題聯(lián)系在一起。結(jié)合這兩方面對模型的最優(yōu)分界點進行研究和分析，不僅能夠保證模型的分類能力，而且可以控制犯兩類錯誤的成本。

一、Logit模型最優(yōu)分界點選擇的理論研究

（一）Logit模型基本原理

對于公司i，用于違約預測的k個財務指標集合設為xi=(x1i,x2i,…xki)，令yi為公司i實際觀察的是否違約的指示變量。如果將事件發(fā)生的條件概率記為pi=p(yi=1｜xi)，則(1－pi)為客戶不違約的概率，而pi/(1－pi)稱為事件的發(fā)生比。因此，在logistic分布假設下， Logit回歸模型的表達式為：

logit(pi)=ln(pi1－pi)=β0+∑kk=1βkxki（1）

事件發(fā)生的概率可寫作：

p(yi=1xi)=11+e－(β0+∑kk=1βkxki)（2）

估計模型的參數(shù)后，根據(jù)式（2）計算企業(yè)陷入財務困境或違約的概率pi。判定企業(yè)是否陷入財務困境或違約的標準是確定一個分界點，并根據(jù)pi與該分界點的大小關(guān)系來判定。在分界點選定為05時，如果pi≥05，則認為企業(yè)陷入財務困境，出現(xiàn)違約；如果pi<05，則認為財務狀況正常，不會出現(xiàn)違約。一旦所有觀測被分為預測發(fā)生或不發(fā)生兩類，則模型的分類準確性可以通過預測情況和實際觀測情況的對比來體現(xiàn)。由于Logit模型在預測方面并不存在理論的最優(yōu)分界點，不同的分界點選擇也會影響模型的分類準確性，導致結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，因此將概率05作為判別標準的這種作法存在較大的缺陷。

（二）最優(yōu)分界點的確定

最優(yōu)分界點的確定應該考慮兩個因素：一是分界點與第一類錯誤、第二類錯誤的關(guān)系；二是分界點與樣本配比之間的關(guān)系。第一類錯誤是指樣本企業(yè)實際上是財務困境（或違約）企業(yè)，但模型錯誤地將其分類為財務狀況正常（或不違約）企業(yè)的概率；第二類錯誤是指樣本企業(yè)實際上財務狀況正常（或不違約），但模型錯誤地將其分類為財務困境（或違約）企業(yè)的概率。第一類錯誤的成本遠遠大于第二類錯誤的成本。對于Logit模型，違約分界點取不同的數(shù)值時，模型犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率也不相同，一類錯誤的減少就意味著另一類錯誤的增加。最優(yōu)分界點的選擇應當使整體錯誤分類率達到最小，或者使整體錯誤分類成本達到最小。

總第446期鄭玉華：公司財務預警LOGIT模型最優(yōu)分界點實證研究····商 業(yè) 研 究2014/06對于正常組（即非違約組）G0和財務困境組（違約組）G1，設母體G0和G1分別具有k維聯(lián)合分布密度f0(x)和f1(x)，其中，x為公司的財務指標矢量。令D0和D1是Rk的一個劃分，建立多元判別分析的判別規(guī)則為：

如果x落入Di，則x∈Gi， i=0,1（3）

令π0和π1分別為母體G0和G1的先驗概率；p(01)、p(10)分別為第一類錯誤和第二類錯誤，則：

p(01)=p(x∈D0G1）=∫D0f1(x)dx

p(10)=p(x∈D1G0）=∫D1f0(x)dx（4）

根據(jù)貝葉斯判別思想，整體錯誤分類率e應達到極?。?/p>

e=p(10)·π0+p(01)·π1

=π0∫D1f0(x)dx+π1(1－∫D1f1(x)dx)

=π1+∫D1(π0f0(x)－π1f1(x))dx（5）

最小化e，等價于：

D1=xπ0f0(x)－π1f1(x)≤0

D0=xπ0f0(x)－π1f1(x)>0（6）

即最優(yōu)分界點的設置為：π0f0(x)－π1f1(x)=0，且當π0f0(x)－π1f1(x)≤0時，公司被分類至財務困境組（違約組）?；蛘哒f，對于財務困境組（違約組），分界點的設置應滿足：

f1(x)f0(x)≥π0π1（7）

如果考慮決策者對兩類錯誤的態(tài)度和預期控制程度，則分界點的設置應使整體錯誤分類成本達到極小。令C為錯誤分類的總成本，C(01)、C(10)分別為第一類錯誤和第二類錯誤的成本，則：

C=p(10)·π0C(10)+p(01)·π1C(01)=π1C(01)+∫D1(π0C(10)f0(x)－π1C(01)f1(x))dx（8）

最小化C，則對于財務困境組（違約組），分界點的設置應滿足：

f1(x)f0(x)≥π0C(10)π1C(01)（9）

從式（9）可以看出分界點的設置不僅取決于兩類錯誤的成本，還取決于財務困境和財務狀況正常（即違約和不違約）的先驗概率。事實上，先驗概率是無法獲得的，不過在選取財務困境樣本和正常樣本時，樣本配比比例體現(xiàn)了模型構(gòu)建者對于先驗概率的理解。如果樣本配比為1：1，則可以認為陷入財務困境（即違約）的先驗概率為05；而樣本配比為1：3，則可以認為先驗概率為025。大多數(shù)文獻實證分析中采用1：1配比，即默認陷入財務困境與財務狀況正常的發(fā)生概率是相等的，這一點可能不符合事實。雖然要準確地配比比較困難，但根據(jù)實際經(jīng)營中陷入財務困境的企業(yè)相對較少的事實，考慮其它配比，例如1：3配比的情況，有助于減小抽樣偏誤并提高模型的精度。

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（三）確定模型最優(yōu)分界點的計算步驟

實際應用中往往并不直接通過財務指標采用多元判別分析，而是通過Logit模型計算概率來預測財務狀況是否陷入困境，因此可以通過分析違約率的分布來確定Logit模型的最優(yōu)分界點，計算步驟為：

1.根據(jù)公式（2）計算各樣本公司陷入財務困境或違約的概率p。

2.對于實際陷入財務困境的公司和正常公司，通過核密度方法分別獲得違約率的概率密度f1(p)和f0(p)。

3.對于給定的先驗概率和兩類錯誤成本比值，計算下列函數(shù)式：

f(p)=f1(p)－π0C(10)π1C(01)·f0(p)（10）

4.最優(yōu)分界點c就是使上式等于0的p值。如果模型計算出的概率大于c，則樣本被預測為財務困境公司；如果計算的概率小于c，則樣本被預測為財務狀況正常的公司。

二、實證分析

（一）樣本選擇與財務指標篩選

從財務困境的角度看，被證監(jiān)會實行特別處理（ST或*ST）的公司至少在一定程度上陷入財務困境，面臨著資金短缺、資不抵債和破產(chǎn)等風險。因此，本研究選取的財務困境公司樣本是2001年1月1日至2011年12月31日期間滬深兩市A股中被ST或被*ST的200家公司（不包含由于非財務原因被ST或被*ST的公司）。確定了該樣本后，再根據(jù)研究期間一致、行業(yè)類型相同或相近、上市地點盡可能一致的原則，按1：1 的比例選擇非ST 的上市公司作為配對樣本，數(shù)量為200家；同時按1：3的比例形成配對樣本600家，以便于對比研究樣本配比與違約分界點之間的關(guān)系。樣本涉及《中國上市公司分類指引》中除金融保險行業(yè)外的12個大類，具有較強的代表性，樣本數(shù)據(jù)來源于CCER數(shù)據(jù)庫和CSMAR數(shù)據(jù)庫。

在財務指標選擇方面，先在借鑒中外眾多文獻的基礎(chǔ)上，初選影響公司財務狀況的25個備選財務指標，這些指標涵蓋公司的盈利能力（指標為凈資產(chǎn)收益率，資產(chǎn)收益率，凈利潤率）、發(fā)展?jié)摿Γㄖ笜藶閮糍Y產(chǎn)增長率，總資產(chǎn)增長率，營業(yè)收入增長率，營業(yè)利潤增長率，稅后利潤增長率）、償債能力（指標為流動比率，速動比率，存貨流動負債比率，現(xiàn)金流動負債比率，資本充足率，現(xiàn)金負債比率，債務資本比率，債務資產(chǎn)比率）、營運能力（指標為存貨周轉(zhuǎn)率，應收賬款周轉(zhuǎn)率，流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率，資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率，固定資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率）、投資價值（指標為市盈率，市凈率，每股收益，每股凈資產(chǎn)）等方面，然后基于單變量分析、相關(guān)分析、共線性分析、符號分析等一系列步驟確定最有影響力的財務指標，最終篩選出最具有解釋能力的幾項指標，具體篩選方法詳見鄭玉華、崔曉東（2013）［6］。

最終確定的指標名稱分別為：X1-資產(chǎn)收益率；X2-凈資產(chǎn)增長率；X3-資本充足率；X4-應收賬款周轉(zhuǎn)率；X5-市盈率。各項指標對預測具有顯著的解釋能力，也符合經(jīng)濟上的認識：資產(chǎn)收益率可以反映盈利能力，盈利能力越強，企業(yè)在較長時期內(nèi)的資金來源就越有保障；凈資產(chǎn)增長率可以反映發(fā)展?jié)摿Γ碇髽I(yè)規(guī)模增長的能力，資產(chǎn)規(guī)模擴張能使企業(yè)具有更強的實力，也可能帶來更高的收益，事實上，企業(yè)在較長時期內(nèi)的盈利能力主要是由企業(yè)的發(fā)展?jié)摿λ鶝Q定的；資本充足率可以反映償債能力，它直接反映借款企業(yè)還本付息的能力；應收賬款周轉(zhuǎn)率反映企業(yè)的營運能力與企業(yè)保持資金流動性的能力；市盈率反映投資價值，也反映公司的盈利能力，業(yè)務增長能力以及未來的市場潛力。

（二）Logit模型構(gòu)建

由于行業(yè)特征、行業(yè)政策、行業(yè)前景不同，處于不同行業(yè)的公司在生產(chǎn)因素、生命周期、競爭能力、發(fā)展?jié)摿Α⑹芎暧^經(jīng)濟環(huán)境影響的程度等很多方面具有不同的特點，在上述5個變量的基礎(chǔ)上實證分析，針對行業(yè)差別引入行業(yè)指示變量I。考慮到除制造業(yè)外，其它各行業(yè)樣本數(shù)量有限，本文粗略地將樣本公司劃分為制造業(yè)和非制造業(yè)，當公司屬于制造業(yè)時，令I(lǐng)=1；當公司屬于非制造業(yè)時，令I(lǐng)=0。利用1：1配比的樣本集合數(shù)據(jù)構(gòu)建財務困境預測模型，模型表達式為：

ln(p/(1－p))=－1432X1－286X2－092X3－001X5－1231IX1－010IX4+001IX5（11）

利用1：3配比情況下的樣本集合數(shù)據(jù)構(gòu)建的財務困境預測模型表達式為：

ln(p/(1－p))=－1034X1－379X2－145X3－001X5－543IX1－009IX4+001IX5 （12）

模型（11）、（12）的系數(shù)顯著性通過Wald檢驗，擬合優(yōu)度值R2分別達到074和076，表明模型擬合樣本數(shù)據(jù)的效果較好。通過模型（11）、（12）以及兩者的對比還可以看出：（1）資產(chǎn)收益率X1表現(xiàn)為顯著的行業(yè)特性，對于制造業(yè)和非制造業(yè)，指標對預測的影響程度并不相同；（2）凈資產(chǎn)增長率X2和資本充足率X3對財務困境或違約的影響程度與行業(yè)無關(guān)；（3）應收賬款周轉(zhuǎn)率X4和市盈率X5具有極強的行業(yè)特性，應收賬款周轉(zhuǎn)率X4只表現(xiàn)在制造業(yè)，對于非制造業(yè)并無顯著的解釋能力，市盈率X5只表現(xiàn)在非制造業(yè)，對于制造業(yè)并無顯著的解釋能力；（4）分行業(yè)模型不僅反映了不同行業(yè)財務指標對預測影響程度的差異性，而且對于兩個行業(yè)都具有較高的預測準確性。圖11:1樣本配比下違約率的概率密度

（三） 1：1樣本配比下的最優(yōu)分界點

按最優(yōu)分界點的計算步驟，對于1：1配比情況下的樣本集合，實際財務困境公司和正常公司違約率的概率密度見圖1。在先驗概率比π0/π1=05/05=1時，圖2給出了函數(shù)f(p)在三種錯誤成本比值假設下的圖形。從圖2可以看出當?shù)诙愬e誤與第一類錯誤的成本比值設定為1：1，即認為兩類錯誤的成本相同時，違約分界點應選擇在04左右；當成本比值設定為1：5時，分界點應選擇在03-04之間；當成本比值設定為1：10時，分界點應選擇在025-04之間。這說明第一類錯誤相對于第二類錯誤碼的成本越大，最優(yōu)分界點就應該選擇較小的值，使得犯第一類錯誤的概率變小，從而減小總成本，這與預期結(jié)論是一致的。另外，在三種成本比值設定下，分界點都應小于04，不同于通常將分界點選擇為05的做法。

為了更好地說明上述結(jié)論，表1進一步列出了分界點分別設置為02、03、04、05、06時，模型的第一類錯誤、第二類錯誤，以及在兩類錯誤成本比值假設下的總成本。從表1可以得出以下結(jié)論：（1）隨著分界點從低到高，模型的第一類錯誤逐漸增加，而第二類錯誤逐漸降低；（2）對于同一分界點，如果第一類錯誤的成本相對越大，即錯誤成本比值越小，則總成本越大，要控制總成本，必須降低分界點，減小犯第一類錯誤的概率；（3）在不同的成本比值下，分界點的選擇與根據(jù)式（10）計算得到的結(jié)果基本一致。圖21:1樣本配比時函數(shù)f(p) 在三種錯誤成本比值假設下的圖形圖31:3樣本配比下違約率的概率密度

表11：1樣本配比下不同分界點取值對應的兩類錯誤及總成本違約

分界點兩類錯誤兩類錯誤成本比值下

的分類錯誤總成本第一類錯誤第二類錯誤1/11/51/10備注0.23.00%8.25%11.2523.2538.25（1）兩類錯誤成本比值指第二類錯誤的成本除以第0.33.50%4.75%8.2522.2539.75一類錯誤的成本；（2）兩類錯誤成本比值為1：1時，0.43.50%4.50%8.0022.0039.50則兩類錯誤的成本分別取100個單位計算總成本，0.54.50%4.50%9.0027.0049.50對于其它比值采用類似處理。0.66.25%4.25%10.5035.5066.75

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（四） 1：3樣本配比下的最優(yōu)分界點

進一步考慮1：3配比情況下的樣本集合，實際財務困境公司和正常公司違約率的概率密度見圖3。在先驗概率比π0/π1=075/025=3時，圖4給出了函數(shù)f(p)在三種錯誤成本比值假設下的圖形；表2進一步列出了分界點分別取01、02、03、04、05時模型的第一類錯誤、第二類錯誤以及在兩類錯誤成本比值假設下的總成本。結(jié)合圖4和表2可以看出：當?shù)诙愬e誤與第一類錯誤的成本比值設定為1：1時，分界點應選擇在02-04之間；而當成本比值設定為1：5或1：10時，分界點的設置應低于02，具體可取017或018。在不同的成本比值下，從圖4以及從表2中得到的結(jié)果基本一致。從表2也可以看出在1：3樣本配比下，隨著分界點從低到高，模型的第一類錯誤逐漸增加，而第二類錯誤逐漸降低；對于同一分界點，如果第一類錯誤的成本相對越大，即錯誤成本比值越小，則總成本越大，要控制總成本，必須降低分界點，減小犯第一類錯誤的概率，這與預期結(jié)論一致，也與1：1樣本配比下的結(jié)論相同。圖41:3樣本配比時函數(shù)f(p) 在三種錯誤成本比假設下的圖形

表21：3樣本配比下不同分界點取值對應的兩類錯誤及總成本違約

分界點兩類錯誤兩類錯誤成本比值下

的分類錯誤總成本第一類錯誤第二類錯誤1/11/51/10備注0.11.50%12.78%14.2820.3027.82（1）兩類錯誤成本比值指第二類錯誤的成本除以第0.21.75%7.14%8.8915.8924.64一類錯誤的成本；（2）兩類錯誤成本比值為1：1時，0.32.26%7.02%9.2818.3229.62則兩類錯誤的成本分別取100個單位計算總成本，0.43.88%5.76%9.6425.1644.56對于其它比值采用類似處理。0.55.64%5.01%10.6533.2161.41

三、結(jié)論

在利用Logit模型對企業(yè)的財務困境或違約進行預測時，最優(yōu)分界點的選擇與樣本配比和誤判成本這兩大問題聯(lián)系在一起，結(jié)合這兩方面對模型的最優(yōu)分界點進行研究和分析，不僅能夠保證模型的分類能力，而且可以控制犯兩類錯誤的成本。最優(yōu)分界點的選擇應當滿足的基本原則是使整體錯誤分類率達到最小，或者使整體錯誤分類成本達到最小，這一原則包括的含義是分界點的設置不僅取決于兩類錯誤的成本，還取決于財務困境和財務狀況正常（或違約和不違約）的先驗概率，而樣本配比比例體現(xiàn)了模型構(gòu)建者對于先驗概率的理解。本文給出了確定最優(yōu)分界點的理論推導和計算步驟，并通過兩種配比情況下的比較，得出關(guān)于最優(yōu)分界點的一些有益結(jié)論：（1）樣本配比采用1：1配比，即默認陷入財務困境與財務狀況正常的發(fā)生概率相等的做法可能不符合事實。雖然要準確地配比比較困難，但根據(jù)實際經(jīng)營中陷入財務困境的企業(yè)相對較少的事實，考慮其它配比，例如1：3配比的情況，有助于減小抽樣偏誤并提高模型的精度。（2）無論是1：1還是1：3樣本配比，隨著分界點從低到高，模型的第一類錯誤逐漸增加，而第二類錯誤逐漸降低；第一類錯誤相對于第二類錯誤碼的成本越大，最優(yōu)分界點就應該選擇較小的值，使得犯第一類錯誤的概率變小，從而減小總成本，這與預期結(jié)論一致。（3）在1：1樣本配比下，本文的三種成本比值設定的分界點都應小于04；而在1：3樣本配比下的分界點更小，這不同于通常將分界點選擇為05的做法。（4）對于1：3樣本配比，如果選擇適當?shù)姆纸琰c，則模型不僅能保證分類的準確性，還能更好地控制第一類錯誤，減小分類錯誤成本。（5）1：3配比模型的分界點大致界于02-04之間，如果配比比例再提高，即正常公司的數(shù)目超出困境公司數(shù)目的3倍以上，可能會出現(xiàn)分界點過小的情況。過度抽樣正常公司必然要求對模型算法進一步研究或?qū)δＰ徒Y(jié)構(gòu)進行分析，因此在不考慮模型修正的前提下，本文認為1：3的樣本配比比較合適。

參考文獻：

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［6］鄭玉華，崔曉東. 公司財務預警Logit模型指標選擇與實證分析［J］．財會月刊，2013（24）：15-18.

An Empirical Study on the Optimal Critical Value of Logit Model for Company

Financial Early WarningZHENG Yu-hua1, CUI Xiao-dong2

(1. School of Economics and Management, Nanjing University of Information Science & Technology,

Nanjing 210044, China; 2. School of Economics and Management, Nanjing Xiaozhuang

University, Nanjing 211171, China)

Abstract：When Logit model is applied to predict company financial early warning or default probability, most literatures use 0.5 as critical value to forecast financial distress, however, this practice overlooks the relationship between the optimal critical value and sample pairing proportion or misclassification cost. The choice of the optimal critical value of Logit model shall meet the requirements to minimize the overall misclassification rate or integral misclassification cost, that is, the optimal critical value not only depends on the cost of two types of misclassification, but also depends on the sample pairing proportion that reflects the prior probability. Based on minimizing the integral misclassification cost, the theoretical analysis, formula deduction and practical calculation procedures of the optimal critical value are given and the comparative study in different setting of sample pairing proportion (1:1 and 1:3) are also presented in this paper. The results show that, either 1:1 or 1:3 sample pairing proportion, the larger the cost of the first type of error is, the smaller optimal critical value should be chosen; when cost ratio is set to 1/1, 1/5 and 1/10, the optimal critical value is less than 0.5 on either 1:1 or 1:3 sample pairing proportion; when sample pairing proportion is 1:3, a proper optimal critical value not only can ensure the accuracy of the classification, but also can control the first type of error and reduce the misclassification cost; further increases on sample pairing proportion may cause a much smaller optimal critical value.

Key words：Logit model; financial early warning; sample pairing; misclassification cost; optimal critical value

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