張煥鑫 李學(xué)鋒

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

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捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)分布特性研究

張煥鑫 李學(xué)鋒

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

針對(duì)捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)小樣本的特點(diǎn)，提出將隨機(jī)加權(quán)法與最大熵法結(jié)合應(yīng)用于捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的驗(yàn)前分布研究。在總體分布參數(shù)形式已知的情況下，根據(jù)已有的先驗(yàn)信息，采用隨機(jī)加權(quán)最大熵法獲得捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)總體參數(shù)的驗(yàn)前分布。結(jié)合當(dāng)前樣本信息，利用貝葉斯方法給出捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的驗(yàn)后分布，揭示捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，減少小樣本情況下的統(tǒng)計(jì)分析誤差。

捷聯(lián)慣組;隨機(jī)加權(quán)法;最大熵法;歷次測(cè)試數(shù)據(jù);驗(yàn)前分布;小樣本

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)已在航天、航空、航海、陸地運(yùn)輸工具等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但捷聯(lián)慣組的壽命有限，測(cè)試程序復(fù)雜，測(cè)試、標(biāo)定一次需要較長(zhǎng)時(shí)間，所以測(cè)試次數(shù)較少，所得到的歷次測(cè)試數(shù)據(jù)均為小樣本，使經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)分析方法無(wú)法滿足分析的要求，為后續(xù)的統(tǒng)計(jì)推斷帶來(lái)一定困難。貝葉斯方法能夠充分利用現(xiàn)有信息，解決小樣本條件下驗(yàn)前分布的確定問(wèn)題為后續(xù)的建模補(bǔ)償工作提供分析基礎(chǔ)。

在小樣本情況下，常利用一些非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，如Bootstrap方法[1]、隨機(jī)加權(quán)法[2]等確定先驗(yàn)分布。文獻(xiàn)[3-4]分別利用Bootstrap方法和隨機(jī)加權(quán)法確定捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)總體參數(shù)的驗(yàn)前分布，但Bootstrap方法、隨機(jī)加權(quán)法難以直接確定驗(yàn)前分布的參數(shù)，大多數(shù)情況下，都是直接利用某一分布擬和直方圖估計(jì)分布參數(shù)；而最大熵方法能夠較好地處理不完全驗(yàn)前信息的不足和盡量避免主觀因素的影響，可以求解連續(xù)概率密度函數(shù)以替代經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中通過(guò)直方圖確定概率分布的方法，便于估計(jì)分布參數(shù)[5]。

因此，本文將隨機(jī)加權(quán)法和最大熵方法相結(jié)合應(yīng)用于對(duì)捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性分析。首先利用隨機(jī)加權(quán)法對(duì)小樣本的慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)采樣，然后在二階矩等式約束下，利用最大熵方法確定驗(yàn)前分布的參數(shù)，再結(jié)合當(dāng)前樣本利用貝葉斯方法確定驗(yàn)后分布，最后對(duì)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果進(jìn)行基于驗(yàn)后分布的統(tǒng)計(jì)推斷，確定其合理性。

1 捷聯(lián)慣組驗(yàn)前信息的獲取

捷聯(lián)慣組測(cè)試數(shù)據(jù)主要包括3部分：1)出廠前穩(wěn)定性試驗(yàn)數(shù)據(jù)；2)交接轉(zhuǎn)運(yùn)過(guò)程的測(cè)試數(shù)據(jù)；3)使用單位的正常測(cè)試數(shù)據(jù)。也就是本文的研究對(duì)象:歷次測(cè)試數(shù)據(jù)(或者稱為當(dāng)前測(cè)試信息)。捷聯(lián)慣組性能相對(duì)比較穩(wěn)定，在一段時(shí)間內(nèi)，在沒(méi)有經(jīng)過(guò)檢修、長(zhǎng)途運(yùn)輸，而且環(huán)境因素沒(méi)有顯著變化的情況下，其歷次測(cè)試數(shù)據(jù)一般符合正態(tài)分布[3]。因此，可以設(shè)捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的總體分布形式為正態(tài)分布。

捷聯(lián)慣組驗(yàn)前信息的獲取主要依靠前2部分測(cè)試數(shù)據(jù)，通稱為驗(yàn)前測(cè)試數(shù)據(jù)(或驗(yàn)前信息)。本文根據(jù)實(shí)際狀況采用第一部分的測(cè)試數(shù)據(jù)作為驗(yàn)前信息。捷聯(lián)慣組測(cè)試次數(shù)較少，因此驗(yàn)前信息的使用非常重要。由于捷聯(lián)慣組已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，積累了大量的驗(yàn)前測(cè)試數(shù)據(jù)和歷次測(cè)試數(shù)據(jù)，這都為捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布的研究和確定提供了充足可靠的依據(jù)。

2 驗(yàn)前分布確定

設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個(gè)樣本觀察值，其中均值θ未知，σ2已知，Bayes方法認(rèn)為總體均值θ為隨機(jī)變量。如果可以提供關(guān)于θ的歷史數(shù)據(jù)，那么θ的分布可以確定。

2.1 最大熵驗(yàn)前密度

熵是衡量一個(gè)隨機(jī)變量取值的不確定性程度。隨機(jī)變量θ的概率密度π(θ)的信息熵可以定義為:

(1)

式中,R為隨機(jī)變量θ的變化空間。

概率密度π(θ)滿足以下約束條件：

(2)

(3)

其中，式(3)中g(shù)i(θ)為已知函數(shù)，mi為參數(shù)θ的i階樣本矩。在此約束下，令熵取最大值，此時(shí)的π(θ)作為θ的驗(yàn)前密度。這就是所謂最大熵驗(yàn)前密度的確定方法。θ的驗(yàn)前密度(最大熵驗(yàn)前分布)可表示為：

(4)

其中，待定系數(shù)λi可由方程(2)和(3)確定。特別地，當(dāng)i=2時(shí)，驗(yàn)前函數(shù)可表示為一元正態(tài)分布，即在二階矩等式約束下只要確定參數(shù)θ的期望和方差就可以確定驗(yàn)前的具體形式[6]。

2.2 隨機(jī)加權(quán)最大熵驗(yàn)前分布的確定

在二階矩等式約束下，利用隨機(jī)加權(quán)最大熵法確定驗(yàn)前分布，可采用下列步驟：

1) 考慮總體均值θ的估計(jì)偏差：

(5)

2) 分別構(gòu)造并產(chǎn)生N組Tn的隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計(jì)量：

(6)

其中v(i)=(v1(i),v2(i),…,vn(i))是取自Dirichlet分布的隨機(jī)變量。

3) 以Dn(i)，i=1,…,N作為Tn的估計(jì)，由此得到參數(shù)θ的一組隨機(jī)加權(quán)估計(jì)：

(7)

3 驗(yàn)后分布確定

在沒(méi)有樣本信息時(shí)，只能根據(jù)驗(yàn)前分布對(duì)θ作出推斷。在有了樣本(歷次測(cè)試數(shù)據(jù))之后，就要將樣本與驗(yàn)前分布π(θ)進(jìn)一步綜合，設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個(gè)樣本觀察值。其中σ2已知。此樣本的似然函數(shù)為：

(8)

由于已知θ的先驗(yàn)分布為正態(tài)分布N(μ,τ2)：

-∞<θ<+∞

(9)

其中μ與τ2為已知，由此可以寫(xiě)出樣本x與參數(shù)θ的聯(lián)合密度函數(shù)：

(10)

則有

(11)

(12)

上面兩式相除，即得θ的后驗(yàn)分布

(13)

這說(shuō)明了正態(tài)均值(方差已知)的共軛先驗(yàn)分布是正態(tài)分布。

4 貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

未知參數(shù)θ的后驗(yàn)分布π(θ|x)是集3種信息(總體，樣本和先驗(yàn))于一身，它包含了θ的所有可供利用的信息，所以有關(guān)θ的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷都按一定方式從后驗(yàn)分布π(θ|x)中提取信息。

4.1 貝葉斯估計(jì)

參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)有3種：最大后驗(yàn)估計(jì)、θ的后驗(yàn)中位數(shù)估計(jì)和θ的后驗(yàn)期望估計(jì)[6]。在一般場(chǎng)合下，這3種貝葉斯估計(jì)是不同的，當(dāng)后驗(yàn)密度函數(shù)為對(duì)稱時(shí)，這3種貝葉斯估計(jì)重合，是相同的。

(14)

4.2 假設(shè)檢驗(yàn)

H0:θ=θ0，H1:θ≠θ0

其中ε是很小的數(shù)，使得[θ0-ε,θ0+ε]與θ=θ0難以辨別。

對(duì)簡(jiǎn)單假設(shè)H0:θ=θ0作貝葉斯檢驗(yàn)時(shí)不能采用連續(xù)密度函數(shù)作為先驗(yàn)分布，因?yàn)槿魏芜@種先驗(yàn)將使θ=θ0的先驗(yàn)概率為0，從而后驗(yàn)概率也為0，所以一個(gè)有效的方法是對(duì)θ=θ0給一驗(yàn)前概率π0，而對(duì)θ≠θ0給一個(gè)加權(quán)的密度π1g1(θ)，g1(θ)～N(μg,v2)，θ的先驗(yàn)密度為

π(θ)=π0Iθ0(θ)+π1g1(θ)

(15)

其中Iθ0(θ)為θ=θ0的示性函數(shù)，π0為近似的實(shí)際假設(shè)H0:θ∈[θ0-ε,θ0+ε]上的先驗(yàn)概率。

(16)

其中

則有

(17)

其中

利用正態(tài)分布的正則性，可得

(18)

從而簡(jiǎn)單原假設(shè)與復(fù)雜備選假設(shè)(記為Θ1={θ≠θ0})的后驗(yàn)概率分別為

后驗(yàn)機(jī)會(huì)比為

從而貝葉斯因子為

(19)

對(duì)于H1:θ≠θ0上的先驗(yàn)密度g1(θ)，一般地，參數(shù)θ接近于θ0比遠(yuǎn)離θ0更為可能，所以一般取μg=θ0，v2一般可以取2σ2，則有

(20)

5 實(shí)例分析

表1 驗(yàn)前歷次測(cè)試數(shù)據(jù)

表2 驗(yàn)前分布參數(shù)

已知該此4套捷聯(lián)慣組同一誤差系數(shù)的驗(yàn)后測(cè)試樣本如表3所示。

表3 驗(yàn)后歷次測(cè)試數(shù)據(jù)

表4 驗(yàn)后分布參數(shù)

由這4套慣組得到的用于假設(shè)檢驗(yàn)的當(dāng)前測(cè)試樣本如表5所示。

表5 當(dāng)前歷次測(cè)試數(shù)據(jù)

表6 貝葉斯因子

由于貝葉斯因子均大于1，所以接受原假設(shè)：H0:θ=θi0，i=1,2,3,4，這表明此誤差系數(shù)總體分布的參數(shù)符合正態(tài)分布，不同慣組其分布參數(shù)不同，同時(shí)分析結(jié)果也表明此誤差系數(shù)總體分布設(shè)為正態(tài)分布的合理性。

6 結(jié)論

將隨機(jī)加權(quán)最大熵法應(yīng)用于對(duì)捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性分析，既能利用隨機(jī)加權(quán)法有效擴(kuò)充測(cè)試次數(shù)的樣本信息，也能采用最大熵法充分利用樣本信息，盡量避免主觀因素的影響，有效減小驗(yàn)前信息不確定性的影響，在驗(yàn)后分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，可為進(jìn)一步的捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)間序列建模與預(yù)報(bào)提供分析基礎(chǔ)。

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The Analysis of SIMU Successive Test Data Based on Combined Model

ZHANG Huanxin LI Xuefeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Aimingatthesmallsamplefeaturesofstrapdowninertialmeasurementunit(SIMU)successivetestdata,therandomweightingmethodandmaximumentropymethodareusedtogetthepriordistributionofpopulationparameterofsuccessivetestdataofSIMUwithpriorinformation,whenthedistributionformofpopulationparameterisknown.TheBayesianmethodisadoptedtodeterminetheposteriordistributionwiththepriorinformationandcurrentinformation,andthestatisticalcharacteristicofSIMUsuccessivetestdataarerevealedandtheerrorsofstatisticalanalysisinthecaseofsmallsamplesarereduced.

SIMU;Randomweightingmethod;Maximumentropymethod;Successivetestdata;Priordistribution;Smallsample

2013-02-04

張煥鑫(1984-),男，山東昌邑人，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)綜合與小樣本建模；李學(xué)鋒(1966-)，男，陜西漢中人，研究員，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

TJ765.1

A

1006-3242(2014)01-0040-04