宣光峰

乘法分配律體現(xiàn)了整數(shù)運(yùn)算之間的重要關(guān)系，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律既是簡(jiǎn)便運(yùn)算的需要，也是獲得數(shù)量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，乘法分配律的教學(xué)是運(yùn)算定律和簡(jiǎn)便計(jì)算相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中的一大難點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法交換律、加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律，并能應(yīng)用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。按理說(shuō)，同為數(shù)量的恒等變換關(guān)系，有了先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，乘法分配律應(yīng)該是一個(gè)比較容易學(xué)習(xí)的內(nèi)容。然而，現(xiàn)實(shí)情況卻恰恰相反。在實(shí)際教學(xué)中，前面的幾種運(yùn)算定律學(xué)生一般都很容易掌握，教學(xué)效果也比較好，但學(xué)習(xí)乘法分配律后，簡(jiǎn)便運(yùn)算的錯(cuò)誤明顯增加，甚至之前已經(jīng)掌握的其他運(yùn)算定律在簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)也經(jīng)常出錯(cuò)了。

對(duì)此，筆者仔細(xì)分析了以往的教學(xué)設(shè)計(jì)，收集了學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的各種類型并逐一分析原因，對(duì)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教材編排特點(diǎn)作了深入的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算錯(cuò)誤較多的原因有多個(gè)方面：首先，乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征與其他定律相比更復(fù)雜，從一種運(yùn)算發(fā)展為兩種運(yùn)算，學(xué)生的記憶、理解和應(yīng)用更麻煩；其次，乘法分配律的語(yǔ)言表述更抽象，一些學(xué)生的死記硬背不僅不能增加對(duì)這一定律的理解，還會(huì)造成更大的記憶負(fù)擔(dān)；第三，由于涉及了兩種運(yùn)用（進(jìn)而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運(yùn)用；既要關(guān)注數(shù)據(jù)特征，又要考慮運(yùn)算變換；既可以直接應(yīng)用，還可以數(shù)據(jù)拆分后靈活使用，學(xué)生掌握起來(lái)難度更大；第四，先前其他定律的學(xué)習(xí)對(duì)乘法分配律的教學(xué)不僅沒有產(chǎn)生正遷移，甚至還有負(fù)遷移的嫌疑。如與乘法結(jié)合律易產(chǎn)生混淆，更容易產(chǎn)生亂套公式現(xiàn)象等。

以上問題只是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的表象，許多教師在教學(xué)中即使看到了這些現(xiàn)象，大多都是采用加大練習(xí)量的方法來(lái)糾正，卻不知反復(fù)的演練、講解、訂正，只會(huì)讓學(xué)生心存壓力與畏懼。其實(shí)，究其根本原因，大量錯(cuò)誤的產(chǎn)生是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對(duì)數(shù)量運(yùn)算關(guān)系的深刻理解。

那么如何讓學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用乘法分配律，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)呢？筆者對(duì)此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深?yuàn)W為形象，更易理解

如何讓學(xué)生清晰地建構(gòu)起乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，這是教學(xué)的基礎(chǔ)，也是理解的前提。要讓學(xué)生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個(gè)非常有效的策略。如人教版課本中對(duì)乘法分配律是這樣表述的：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加，這叫作乘法分配律?！边@一條由大量的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)堆積而成的抽象定義讓學(xué)生感到“深?yuàn)W”難懂，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)理解記憶有一定困難。對(duì)此，筆者采用了以下教學(xué)方法：

步驟1：讓學(xué)生獨(dú)立使用不同的方法列式，多數(shù)學(xué)生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學(xué)生互相說(shuō)說(shuō)每個(gè)算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時(shí)，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生用乘法的意義進(jìn)行比較，25×4+25×2表示4個(gè)25加上2個(gè)25，25×（4+2）表示4加2個(gè)25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個(gè)25加上2個(gè)25等于4加2個(gè)25”，或者“4加2個(gè)25等于4個(gè)25加上2個(gè)25”。這樣換了一種讀法，看似簡(jiǎn)單，實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生真正理解了算式的內(nèi)涵，加深了對(duì)乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對(duì)于用字母來(lái)表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學(xué)生用上述方法讀：“a個(gè)c加上b個(gè)c等于a+b個(gè)c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的直讀。實(shí)踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個(gè)比方，化抽象為具體，更易區(qū)別

筆者仔細(xì)分析學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)其中最常見的錯(cuò)誤是與乘法結(jié)合律等以前學(xué)的運(yùn)算定律產(chǎn)生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學(xué)生在簡(jiǎn)便計(jì)算中不會(huì)混淆用乘法分配律還是用乘法結(jié)合律，筆者首先讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)：25×（40+4）和25×（4×40），引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)題目的異同、進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的不同以及兩題各自分別用什么作計(jì)算依據(jù)。

在小結(jié)時(shí)通過(guò)打比方提醒學(xué)生注意：“乘法分配律與乘法結(jié)合律如同一對(duì)雙胞胎，像我們班級(jí)里的王林旭和王林威，平時(shí)他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會(huì)弄錯(cuò)誰(shuí)是誰(shuí)嗎？”學(xué)生都說(shuō)不會(huì)。教師又問：“他們長(zhǎng)得這么像，你們?yōu)槭裁床粫?huì)認(rèn)錯(cuò)？”幾乎每個(gè)學(xué)生都能說(shuō)出他們一些細(xì)小的區(qū)別。教師相機(jī)提出：“現(xiàn)在乘法分配律與乘法結(jié)合律這對(duì)雙胞胎也需要你們認(rèn)真觀察，仔細(xì)辨認(rèn)，你們會(huì)區(qū)分嗎？”大家大聲喊道“會(huì)”。一個(gè)小小的比方，因?yàn)槭菍W(xué)生熟悉的人物，因此更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，也在無(wú)形中加深了學(xué)生的印象。

教師隨機(jī)進(jìn)行鞏固練習(xí)：“我們來(lái)試一試125×88，可以怎樣簡(jiǎn)便計(jì)算？”學(xué)生都很有興趣、非常仔細(xì)地做了起來(lái)，匯報(bào)時(shí)都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號(hào)，用乘法分配律，分成80個(gè)125和8個(gè)125”?！?8拆成8×11，是乘號(hào)，用乘法結(jié)合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習(xí)中，學(xué)生自覺地以辨認(rèn)“雙胞胎”為鑒，計(jì)算錯(cuò)誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨(dú)有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級(jí)的授課中，筆者則用學(xué)生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導(dǎo)學(xué)生自主產(chǎn)生仔細(xì)觀察、辨認(rèn)特征的意識(shí)，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，題目形式多樣，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學(xué)之后，如何靈活使用運(yùn)算律，常常讓許多學(xué)生束手無(wú)策。為此，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)變式題和對(duì)比題，來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，將學(xué)生原先刻板地套用公式轉(zhuǎn)化為能靈活地運(yùn)用定律，從而提高計(jì)算能力?？紤]到練習(xí)題的設(shè)計(jì)要少而精，要富有思維含量，從而點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，達(dá)到知識(shí)鞏固的目的，筆者對(duì)題目的設(shè)計(jì)作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業(yè)紙有部分看不清了——簡(jiǎn)便計(jì)算：25× ?！澳隳軒托∶鲗㈩}目補(bǔ)一補(bǔ)嗎？補(bǔ)充后的題目希望能用運(yùn)算定律簡(jiǎn)便計(jì)算，看誰(shuí)補(bǔ)得多，同類的一種就可以了。”學(xué)生出現(xiàn)了各種不同的補(bǔ)法：補(bǔ)12——25×12=25×4×3；補(bǔ)42——25×42=25×（40+2）；補(bǔ)99——25×99=25×（100-1）；補(bǔ)401——25×401=25×（400+1）；補(bǔ)13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學(xué)生給這些題分一分類，并說(shuō)一說(shuō)你是根據(jù)什么分類的？這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，教師沒有對(duì)分類的數(shù)量等作出具體的要求，不同層次的學(xué)生可以量力而為，學(xué)困生也能寫出一兩題。由于題目是由學(xué)生自己設(shè)計(jì)的，這使得他們?cè)谟?jì)算時(shí)更加投入，運(yùn)算定律的應(yīng)用也更加仔細(xì)，效果明顯；而“分一分類”是對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算結(jié)構(gòu)模型的一次自主整理，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善，思維得以拓寬，簡(jiǎn)便計(jì)算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學(xué)難點(diǎn)的突破關(guān)鍵在于教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點(diǎn)撥，從而充分地調(diào)動(dòng)起學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)，抽象的內(nèi)容越是形象化、學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的生活越是貼近，越能促進(jìn)學(xué)生牢固地掌握知識(shí)。

（浙江省紹興市上虞區(qū)梁湖鎮(zhèn)中心小學(xué) 312300）endprint

乘法分配律體現(xiàn)了整數(shù)運(yùn)算之間的重要關(guān)系，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律既是簡(jiǎn)便運(yùn)算的需要，也是獲得數(shù)量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，乘法分配律的教學(xué)是運(yùn)算定律和簡(jiǎn)便計(jì)算相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中的一大難點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法交換律、加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律，并能應(yīng)用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。按理說(shuō)，同為數(shù)量的恒等變換關(guān)系，有了先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，乘法分配律應(yīng)該是一個(gè)比較容易學(xué)習(xí)的內(nèi)容。然而，現(xiàn)實(shí)情況卻恰恰相反。在實(shí)際教學(xué)中，前面的幾種運(yùn)算定律學(xué)生一般都很容易掌握，教學(xué)效果也比較好，但學(xué)習(xí)乘法分配律后，簡(jiǎn)便運(yùn)算的錯(cuò)誤明顯增加，甚至之前已經(jīng)掌握的其他運(yùn)算定律在簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)也經(jīng)常出錯(cuò)了。

對(duì)此，筆者仔細(xì)分析了以往的教學(xué)設(shè)計(jì)，收集了學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的各種類型并逐一分析原因，對(duì)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教材編排特點(diǎn)作了深入的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算錯(cuò)誤較多的原因有多個(gè)方面：首先，乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征與其他定律相比更復(fù)雜，從一種運(yùn)算發(fā)展為兩種運(yùn)算，學(xué)生的記憶、理解和應(yīng)用更麻煩；其次，乘法分配律的語(yǔ)言表述更抽象，一些學(xué)生的死記硬背不僅不能增加對(duì)這一定律的理解，還會(huì)造成更大的記憶負(fù)擔(dān)；第三，由于涉及了兩種運(yùn)用（進(jìn)而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運(yùn)用；既要關(guān)注數(shù)據(jù)特征，又要考慮運(yùn)算變換；既可以直接應(yīng)用，還可以數(shù)據(jù)拆分后靈活使用，學(xué)生掌握起來(lái)難度更大；第四，先前其他定律的學(xué)習(xí)對(duì)乘法分配律的教學(xué)不僅沒有產(chǎn)生正遷移，甚至還有負(fù)遷移的嫌疑。如與乘法結(jié)合律易產(chǎn)生混淆，更容易產(chǎn)生亂套公式現(xiàn)象等。

以上問題只是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的表象，許多教師在教學(xué)中即使看到了這些現(xiàn)象，大多都是采用加大練習(xí)量的方法來(lái)糾正，卻不知反復(fù)的演練、講解、訂正，只會(huì)讓學(xué)生心存壓力與畏懼。其實(shí)，究其根本原因，大量錯(cuò)誤的產(chǎn)生是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對(duì)數(shù)量運(yùn)算關(guān)系的深刻理解。

那么如何讓學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用乘法分配律，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)呢？筆者對(duì)此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深?yuàn)W為形象，更易理解

如何讓學(xué)生清晰地建構(gòu)起乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，這是教學(xué)的基礎(chǔ)，也是理解的前提。要讓學(xué)生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個(gè)非常有效的策略。如人教版課本中對(duì)乘法分配律是這樣表述的：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加，這叫作乘法分配律?！边@一條由大量的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)堆積而成的抽象定義讓學(xué)生感到“深?yuàn)W”難懂，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)理解記憶有一定困難。對(duì)此，筆者采用了以下教學(xué)方法：

步驟1：讓學(xué)生獨(dú)立使用不同的方法列式，多數(shù)學(xué)生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學(xué)生互相說(shuō)說(shuō)每個(gè)算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時(shí)，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生用乘法的意義進(jìn)行比較，25×4+25×2表示4個(gè)25加上2個(gè)25，25×（4+2）表示4加2個(gè)25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個(gè)25加上2個(gè)25等于4加2個(gè)25”，或者“4加2個(gè)25等于4個(gè)25加上2個(gè)25”。這樣換了一種讀法，看似簡(jiǎn)單，實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生真正理解了算式的內(nèi)涵，加深了對(duì)乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對(duì)于用字母來(lái)表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學(xué)生用上述方法讀：“a個(gè)c加上b個(gè)c等于a+b個(gè)c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的直讀。實(shí)踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個(gè)比方，化抽象為具體，更易區(qū)別

筆者仔細(xì)分析學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)其中最常見的錯(cuò)誤是與乘法結(jié)合律等以前學(xué)的運(yùn)算定律產(chǎn)生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學(xué)生在簡(jiǎn)便計(jì)算中不會(huì)混淆用乘法分配律還是用乘法結(jié)合律，筆者首先讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)：25×（40+4）和25×（4×40），引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)題目的異同、進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的不同以及兩題各自分別用什么作計(jì)算依據(jù)。

在小結(jié)時(shí)通過(guò)打比方提醒學(xué)生注意：“乘法分配律與乘法結(jié)合律如同一對(duì)雙胞胎，像我們班級(jí)里的王林旭和王林威，平時(shí)他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會(huì)弄錯(cuò)誰(shuí)是誰(shuí)嗎？”學(xué)生都說(shuō)不會(huì)。教師又問：“他們長(zhǎng)得這么像，你們?yōu)槭裁床粫?huì)認(rèn)錯(cuò)？”幾乎每個(gè)學(xué)生都能說(shuō)出他們一些細(xì)小的區(qū)別。教師相機(jī)提出：“現(xiàn)在乘法分配律與乘法結(jié)合律這對(duì)雙胞胎也需要你們認(rèn)真觀察，仔細(xì)辨認(rèn)，你們會(huì)區(qū)分嗎？”大家大聲喊道“會(huì)”。一個(gè)小小的比方，因?yàn)槭菍W(xué)生熟悉的人物，因此更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，也在無(wú)形中加深了學(xué)生的印象。

教師隨機(jī)進(jìn)行鞏固練習(xí)：“我們來(lái)試一試125×88，可以怎樣簡(jiǎn)便計(jì)算？”學(xué)生都很有興趣、非常仔細(xì)地做了起來(lái)，匯報(bào)時(shí)都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號(hào)，用乘法分配律，分成80個(gè)125和8個(gè)125”。“88拆成8×11，是乘號(hào)，用乘法結(jié)合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習(xí)中，學(xué)生自覺地以辨認(rèn)“雙胞胎”為鑒，計(jì)算錯(cuò)誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨(dú)有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級(jí)的授課中，筆者則用學(xué)生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導(dǎo)學(xué)生自主產(chǎn)生仔細(xì)觀察、辨認(rèn)特征的意識(shí)，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，題目形式多樣，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學(xué)之后，如何靈活使用運(yùn)算律，常常讓許多學(xué)生束手無(wú)策。為此，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)變式題和對(duì)比題，來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，將學(xué)生原先刻板地套用公式轉(zhuǎn)化為能靈活地運(yùn)用定律，從而提高計(jì)算能力?？紤]到練習(xí)題的設(shè)計(jì)要少而精，要富有思維含量，從而點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，達(dá)到知識(shí)鞏固的目的，筆者對(duì)題目的設(shè)計(jì)作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業(yè)紙有部分看不清了——簡(jiǎn)便計(jì)算：25× 。“你能幫小明將題目補(bǔ)一補(bǔ)嗎？補(bǔ)充后的題目希望能用運(yùn)算定律簡(jiǎn)便計(jì)算，看誰(shuí)補(bǔ)得多，同類的一種就可以了?！睂W(xué)生出現(xiàn)了各種不同的補(bǔ)法：補(bǔ)12——25×12=25×4×3；補(bǔ)42——25×42=25×（40+2）；補(bǔ)99——25×99=25×（100-1）；補(bǔ)401——25×401=25×（400+1）；補(bǔ)13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學(xué)生給這些題分一分類，并說(shuō)一說(shuō)你是根據(jù)什么分類的？這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，教師沒有對(duì)分類的數(shù)量等作出具體的要求，不同層次的學(xué)生可以量力而為，學(xué)困生也能寫出一兩題。由于題目是由學(xué)生自己設(shè)計(jì)的，這使得他們?cè)谟?jì)算時(shí)更加投入，運(yùn)算定律的應(yīng)用也更加仔細(xì)，效果明顯；而“分一分類”是對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算結(jié)構(gòu)模型的一次自主整理，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善，思維得以拓寬，簡(jiǎn)便計(jì)算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學(xué)難點(diǎn)的突破關(guān)鍵在于教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點(diǎn)撥，從而充分地調(diào)動(dòng)起學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)，抽象的內(nèi)容越是形象化、學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的生活越是貼近，越能促進(jìn)學(xué)生牢固地掌握知識(shí)。

（浙江省紹興市上虞區(qū)梁湖鎮(zhèn)中心小學(xué) 312300）endprint

乘法分配律體現(xiàn)了整數(shù)運(yùn)算之間的重要關(guān)系，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律既是簡(jiǎn)便運(yùn)算的需要，也是獲得數(shù)量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，乘法分配律的教學(xué)是運(yùn)算定律和簡(jiǎn)便計(jì)算相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中的一大難點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法交換律、加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律，并能應(yīng)用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。按理說(shuō)，同為數(shù)量的恒等變換關(guān)系，有了先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，乘法分配律應(yīng)該是一個(gè)比較容易學(xué)習(xí)的內(nèi)容。然而，現(xiàn)實(shí)情況卻恰恰相反。在實(shí)際教學(xué)中，前面的幾種運(yùn)算定律學(xué)生一般都很容易掌握，教學(xué)效果也比較好，但學(xué)習(xí)乘法分配律后，簡(jiǎn)便運(yùn)算的錯(cuò)誤明顯增加，甚至之前已經(jīng)掌握的其他運(yùn)算定律在簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)也經(jīng)常出錯(cuò)了。

對(duì)此，筆者仔細(xì)分析了以往的教學(xué)設(shè)計(jì)，收集了學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的各種類型并逐一分析原因，對(duì)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教材編排特點(diǎn)作了深入的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算錯(cuò)誤較多的原因有多個(gè)方面：首先，乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征與其他定律相比更復(fù)雜，從一種運(yùn)算發(fā)展為兩種運(yùn)算，學(xué)生的記憶、理解和應(yīng)用更麻煩；其次，乘法分配律的語(yǔ)言表述更抽象，一些學(xué)生的死記硬背不僅不能增加對(duì)這一定律的理解，還會(huì)造成更大的記憶負(fù)擔(dān)；第三，由于涉及了兩種運(yùn)用（進(jìn)而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運(yùn)用；既要關(guān)注數(shù)據(jù)特征，又要考慮運(yùn)算變換；既可以直接應(yīng)用，還可以數(shù)據(jù)拆分后靈活使用，學(xué)生掌握起來(lái)難度更大；第四，先前其他定律的學(xué)習(xí)對(duì)乘法分配律的教學(xué)不僅沒有產(chǎn)生正遷移，甚至還有負(fù)遷移的嫌疑。如與乘法結(jié)合律易產(chǎn)生混淆，更容易產(chǎn)生亂套公式現(xiàn)象等。

以上問題只是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的表象，許多教師在教學(xué)中即使看到了這些現(xiàn)象，大多都是采用加大練習(xí)量的方法來(lái)糾正，卻不知反復(fù)的演練、講解、訂正，只會(huì)讓學(xué)生心存壓力與畏懼。其實(shí)，究其根本原因，大量錯(cuò)誤的產(chǎn)生是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對(duì)數(shù)量運(yùn)算關(guān)系的深刻理解。

那么如何讓學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用乘法分配律，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)呢？筆者對(duì)此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深?yuàn)W為形象，更易理解

如何讓學(xué)生清晰地建構(gòu)起乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，這是教學(xué)的基礎(chǔ)，也是理解的前提。要讓學(xué)生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個(gè)非常有效的策略。如人教版課本中對(duì)乘法分配律是這樣表述的：“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加，這叫作乘法分配律?！边@一條由大量的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)堆積而成的抽象定義讓學(xué)生感到“深?yuàn)W”難懂，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)理解記憶有一定困難。對(duì)此，筆者采用了以下教學(xué)方法：

步驟1：讓學(xué)生獨(dú)立使用不同的方法列式，多數(shù)學(xué)生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學(xué)生互相說(shuō)說(shuō)每個(gè)算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時(shí)，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生用乘法的意義進(jìn)行比較，25×4+25×2表示4個(gè)25加上2個(gè)25，25×（4+2）表示4加2個(gè)25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個(gè)25加上2個(gè)25等于4加2個(gè)25”，或者“4加2個(gè)25等于4個(gè)25加上2個(gè)25”。這樣換了一種讀法，看似簡(jiǎn)單，實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生真正理解了算式的內(nèi)涵，加深了對(duì)乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對(duì)于用字母來(lái)表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學(xué)生用上述方法讀：“a個(gè)c加上b個(gè)c等于a+b個(gè)c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的直讀。實(shí)踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個(gè)比方，化抽象為具體，更易區(qū)別

筆者仔細(xì)分析學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)其中最常見的錯(cuò)誤是與乘法結(jié)合律等以前學(xué)的運(yùn)算定律產(chǎn)生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學(xué)生在簡(jiǎn)便計(jì)算中不會(huì)混淆用乘法分配律還是用乘法結(jié)合律，筆者首先讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)：25×（40+4）和25×（4×40），引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)題目的異同、進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的不同以及兩題各自分別用什么作計(jì)算依據(jù)。

在小結(jié)時(shí)通過(guò)打比方提醒學(xué)生注意：“乘法分配律與乘法結(jié)合律如同一對(duì)雙胞胎，像我們班級(jí)里的王林旭和王林威，平時(shí)他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會(huì)弄錯(cuò)誰(shuí)是誰(shuí)嗎？”學(xué)生都說(shuō)不會(huì)。教師又問：“他們長(zhǎng)得這么像，你們?yōu)槭裁床粫?huì)認(rèn)錯(cuò)？”幾乎每個(gè)學(xué)生都能說(shuō)出他們一些細(xì)小的區(qū)別。教師相機(jī)提出：“現(xiàn)在乘法分配律與乘法結(jié)合律這對(duì)雙胞胎也需要你們認(rèn)真觀察，仔細(xì)辨認(rèn)，你們會(huì)區(qū)分嗎？”大家大聲喊道“會(huì)”。一個(gè)小小的比方，因?yàn)槭菍W(xué)生熟悉的人物，因此更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，也在無(wú)形中加深了學(xué)生的印象。

教師隨機(jī)進(jìn)行鞏固練習(xí)：“我們來(lái)試一試125×88，可以怎樣簡(jiǎn)便計(jì)算？”學(xué)生都很有興趣、非常仔細(xì)地做了起來(lái)，匯報(bào)時(shí)都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號(hào)，用乘法分配律，分成80個(gè)125和8個(gè)125”。“88拆成8×11，是乘號(hào)，用乘法結(jié)合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習(xí)中，學(xué)生自覺地以辨認(rèn)“雙胞胎”為鑒，計(jì)算錯(cuò)誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨(dú)有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級(jí)的授課中，筆者則用學(xué)生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導(dǎo)學(xué)生自主產(chǎn)生仔細(xì)觀察、辨認(rèn)特征的意識(shí)，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，題目形式多樣，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學(xué)之后，如何靈活使用運(yùn)算律，常常讓許多學(xué)生束手無(wú)策。為此，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)變式題和對(duì)比題，來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，將學(xué)生原先刻板地套用公式轉(zhuǎn)化為能靈活地運(yùn)用定律，從而提高計(jì)算能力?？紤]到練習(xí)題的設(shè)計(jì)要少而精，要富有思維含量，從而點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，達(dá)到知識(shí)鞏固的目的，筆者對(duì)題目的設(shè)計(jì)作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業(yè)紙有部分看不清了——簡(jiǎn)便計(jì)算：25× 。“你能幫小明將題目補(bǔ)一補(bǔ)嗎？補(bǔ)充后的題目希望能用運(yùn)算定律簡(jiǎn)便計(jì)算，看誰(shuí)補(bǔ)得多，同類的一種就可以了?！睂W(xué)生出現(xiàn)了各種不同的補(bǔ)法：補(bǔ)12——25×12=25×4×3；補(bǔ)42——25×42=25×（40+2）；補(bǔ)99——25×99=25×（100-1）；補(bǔ)401——25×401=25×（400+1）；補(bǔ)13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學(xué)生給這些題分一分類，并說(shuō)一說(shuō)你是根據(jù)什么分類的？這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，教師沒有對(duì)分類的數(shù)量等作出具體的要求，不同層次的學(xué)生可以量力而為，學(xué)困生也能寫出一兩題。由于題目是由學(xué)生自己設(shè)計(jì)的，這使得他們?cè)谟?jì)算時(shí)更加投入，運(yùn)算定律的應(yīng)用也更加仔細(xì)，效果明顯；而“分一分類”是對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算結(jié)構(gòu)模型的一次自主整理，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善，思維得以拓寬，簡(jiǎn)便計(jì)算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學(xué)難點(diǎn)的突破關(guān)鍵在于教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點(diǎn)撥，從而充分地調(diào)動(dòng)起學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)，抽象的內(nèi)容越是形象化、學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的生活越是貼近，越能促進(jìn)學(xué)生牢固地掌握知識(shí)。

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