謝 華（浙江省龍游縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按一定思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng).不同層次的學(xué)生，其數(shù)學(xué)思維能力有很大差異.就后進(jìn)生而言，其知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)習(xí)慣與行為方式等直接造成了他們思維的遲鈍與膚淺，他們的數(shù)學(xué)思維能力尚處于較低層次的發(fā)展水平；就中等生而言，雖能推理分析較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)材料，解決一般性數(shù)學(xué)問(wèn)題，但對(duì)于難度較高的問(wèn)題，其思維的靈活性、深刻性與獨(dú)創(chuàng)性明顯不夠，其數(shù)學(xué)思維能力處于中等發(fā)展水平；就優(yōu)等生而言，其推理、想象與解決問(wèn)題能力較強(qiáng)，能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，思維表現(xiàn)出較好的敏捷性、靈活性、深刻性等品質(zhì)，他們的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展水平較高.因而，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維時(shí)，應(yīng)基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、心理發(fā)展規(guī)律以及教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，開(kāi)展有效性教學(xué)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.下面，筆者以執(zhí)教北師大版五年級(jí)下冊(cè)《可能性大小》為例，粗淺探討在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問(wèn)題的過(guò)程中如何尋找學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、將解決問(wèn)題和數(shù)學(xué)思維有機(jī)結(jié)合，讓師生的數(shù)學(xué)思維共同發(fā)展.

一、順應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

在學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的背后，有其特有的數(shù)學(xué)思維方法，教師應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思維，確定教學(xué)起點(diǎn).

1.課堂從0/2開(kāi)始教學(xué)

在一次下鄉(xiāng)送教時(shí)，課前談話(huà)，我和學(xué)生聊了一陣家鄉(xiāng)的旅游景點(diǎn)——龍游石窟：根據(jù)你的了解，說(shuō)說(shuō)龍游石窟最初用途的可能性，用學(xué)過(guò)的可能性的知識(shí)，完整地說(shuō)句話(huà).隨后開(kāi)始進(jìn)入課堂，出示情景，在一紙盒里放入兩顆紅球.

師：在這個(gè)盒子里，你摸到白球的可能性用學(xué)過(guò)的詞說(shuō)一下.

生：不可能.

師：為什么？

生：因?yàn)楹凶永餂](méi)有白球.

師：假如用數(shù)學(xué)中的數(shù)來(lái)表示，你會(huì)用什么數(shù)表示？

生：0/2

師：（表情驚訝），你是怎么想的？隨即馬上進(jìn)行了板書(shū)0/2

生：盒子里共有兩顆球，我就把分母寫(xiě)成2，因?yàn)闆](méi)有白球，所以分子就寫(xiě)成0

師：同學(xué)們有沒(méi)有聽(tīng)明白，趁機(jī)讓其余學(xué)生復(fù)述一下.

在其他課堂教學(xué)《可能性》時(shí)，一般學(xué)生都是用原來(lái)學(xué)過(guò)的不可能這個(gè)詞來(lái)表述，用數(shù)就是用0來(lái)表述 ，學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有白球，摸到白球的可能性自然是0，大多數(shù)學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)還是有的.但這個(gè)學(xué)生在掌握這個(gè)知識(shí)時(shí)，還把自己的數(shù)學(xué)思維展現(xiàn)給了大家，這恰恰也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).課堂就從0/2開(kāi)始了，讓多個(gè)學(xué)生的復(fù)述，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生理解，分母就表示球的總數(shù)，分子就表示白球的數(shù)量，老師也適時(shí)地進(jìn)行了相應(yīng)的板書(shū)，以便于學(xué)生更好地理解.

2.從認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，改編例題

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論中指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中，其已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)的距離將極大地影響學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.他將學(xué)生的學(xué)習(xí)分為兩種發(fā)展水平：一種是已有的發(fā)展水平；另一種是學(xué)習(xí)者通過(guò)學(xué)習(xí)可以達(dá)到的水平，這兩種水平之間的距離就是“最近發(fā)展區(qū)”.最近發(fā)展區(qū)過(guò)大，學(xué)生學(xué)習(xí)會(huì)有困難；過(guò)小，不利于學(xué)生思維和發(fā)展.考慮以上的原因，教師將例題進(jìn)行了較大的改動(dòng)，將數(shù)學(xué)書(shū)上原有的多個(gè)盒子情景圖進(jìn)行了整合，去掉原來(lái)分散的、單一的教學(xué)情景圖，設(shè)計(jì)成運(yùn)動(dòng)的盒子圖，圖中原有一個(gè)白球，一個(gè)紅球，摸到白球的可能性是多少.情景中，白球的數(shù)量不變，紅球的個(gè)數(shù)不斷增加，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)用什么分?jǐn)?shù)表示，觀察后引導(dǎo)學(xué)生思維：什么變了，什么不變？如果在0和1之間的線(xiàn)段里，你想這分?jǐn)?shù)會(huì)愈來(lái)愈趨向幾；有沒(méi)有可能就是0？教師在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中讓學(xué)生經(jīng)歷了猜想——驗(yàn)證——想象，拓展了學(xué)生的思維，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型.

古羅馬教育家普魯塔克曾說(shuō)：兒童的心靈是一顆需要點(diǎn)燃的火種.通過(guò)這樣改編后的動(dòng)感的情景，打破了學(xué)生的思維定勢(shì)，逐漸提升了學(xué)生的思維層次，拓展了同學(xué)們的思維空間，更有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性.

二、同步學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，完成教學(xué)新知

學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展中的個(gè)性差異，又稱(chēng)為數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的重要指標(biāo).教師應(yīng)設(shè)計(jì)條件開(kāi)放的練習(xí)，由學(xué)生確定解題策略并組合成各種有效的解題方法，以同步學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

1.合作分工，要求由學(xué)生制定，發(fā)展學(xué)生思維

按教學(xué)慣律，合作活動(dòng)時(shí)學(xué)生的活動(dòng)分工都是由教師提前制定的，學(xué)生只能按要求去執(zhí)行，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)處于被動(dòng)狀態(tài).在課堂上，我嘗試讓學(xué)生來(lái)進(jìn)行合作分工，并制定合作要求.開(kāi)始，教師讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的活動(dòng)器材和統(tǒng)計(jì)表格.然后，就把問(wèn)題直接拋給了學(xué)生，你們覺(jué)得該怎么分工，怎么活動(dòng)？看著學(xué)生們躍躍欲試的表情，教師心里清楚，現(xiàn)在全班學(xué)生開(kāi)始合作學(xué)習(xí)，許多學(xué)生是無(wú)法快速有效完成合作活動(dòng)的.教師讓最踴躍的合作小組上來(lái)，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)是怎么分工的，小組里每位同學(xué)都做哪些事情，每位同學(xué)活動(dòng)時(shí)又要注意些什么.并當(dāng)場(chǎng)讓他們進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)嘗試.其余學(xué)生做了些小小的補(bǔ)充.學(xué)生得出了活動(dòng)的要求：

①組長(zhǎng)拿袋子并安排好摸球并記錄，全組摸10次，記錄時(shí)可用“正”字法；

②摸球前搖一搖袋子，摸球時(shí)不要看袋子里的球，摸完后把球放回袋子；

③記錄員把你組里摸的總次數(shù)和摸到紅球的次數(shù)記錄在活動(dòng)記錄表中.

學(xué)生的合作活動(dòng)就開(kāi)始了.教師適時(shí)地參與了部分困難組的活動(dòng).教師發(fā)現(xiàn)，這樣的活動(dòng)方式使學(xué)生興趣更加濃厚，參與的積極性自然很高.從反饋情況看，學(xué)生的參與度高，每組的分工方式有些不同，有的是一個(gè)人摸球，有的是輪著摸球，搖袋、記錄、監(jiān)督也是如此.學(xué)生的記錄統(tǒng)計(jì)方式也不同，有些組是用數(shù)記錄的，鉛筆在不斷添寫(xiě)；有些組是用打橫線(xiàn)記錄的；有些組是打鉤記錄的；有些組是用“正”字法記錄的.

這樣的合作活動(dòng)既能有效地讓學(xué)生理解用分?jǐn)?shù)表示可能性的意義，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維習(xí)慣，知識(shí)得到有機(jī)銜接、融會(huì)貫通，豐富了學(xué)生的知識(shí)，提升了學(xué)生的思維能力.

2.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，方式選用學(xué)生的，同步師生數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分，由于其本身的復(fù)雜性、抽象性，我們?cè)诶斫夂驼莆諘r(shí)可將其分解為多個(gè)層次，先一層一層地認(rèn)識(shí)，理解每一層次表達(dá)的意思，然后再分析和綜合各層次間的內(nèi)在聯(lián)系，使形成完整的易于掌握的知識(shí)成為學(xué)生思維的必然.許多課堂里，教師的思維和學(xué)生的思維都是不盡相同的.在統(tǒng)計(jì)全班活動(dòng)數(shù)據(jù)時(shí)，許多教師會(huì)機(jī)械重復(fù)地做些簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)，花費(fèi)了較多的時(shí)間，又難以計(jì)算.在發(fā)現(xiàn)學(xué)生多種統(tǒng)計(jì)的方法后，我引導(dǎo)學(xué)生比較：哪種統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)潔，快速，是你喜歡的方式？在學(xué)生匯報(bào)各組活動(dòng)數(shù)據(jù)時(shí)，我也采用了學(xué)生的思維方式，用“正”字法進(jìn)行統(tǒng)計(jì).這時(shí)，師生的數(shù)學(xué)思維是同步的，學(xué)生在理解和統(tǒng)計(jì)時(shí)，會(huì)覺(jué)得容易、自然，縮短了教師板書(shū)的時(shí)間，也減少了學(xué)生統(tǒng)計(jì)的時(shí)間，學(xué)生很快就算出全班摸球的總次數(shù)以及摸到白球的次數(shù)，得出全班的摸到白球的可能性，用分?jǐn)?shù)表示是多少，然后再想象，摸的次數(shù)越來(lái)越多的情況下，摸到的白球的可能性震蕩幅度會(huì)越來(lái)越小，越來(lái)越趨向于準(zhǔn)確值.

三、互補(bǔ)師生數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維功能僵化現(xiàn)象在學(xué)生中是大量存在的.教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維中善于抓住問(wèn)題本質(zhì)的能力，正確、合理、巧妙地運(yùn)用概念、法則、性質(zhì)、公式等基本知識(shí)，強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用，共同發(fā)展師生數(shù)學(xué)思維.

在課堂的實(shí)際應(yīng)用環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了以下的題目：

1.任意擲一下骰子，數(shù)字5朝上的可能性是（ ）

奇數(shù)朝上的可能性為（ ），合數(shù)朝上的可能性為（ ）

這個(gè)練習(xí)，綜合了數(shù)的有關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步理解可能性的大小用分?jǐn)?shù)表示的方法.

2.十字路口的交通信號(hào)燈在一分鐘內(nèi)紅燈亮30秒

綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號(hào)燈時(shí)，看到的是紅燈的可能性是（ ），看到的是黃燈的可能性是（ ）.

遇到生活中常見(jiàn)的情況，將學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用.

3.現(xiàn)有紅、白、藍(lán)、黃4種球各10個(gè).摸到白球的可能性是（ ）.

學(xué)生在應(yīng)用時(shí)，舉例證明擺放的方法.大多數(shù)學(xué)生都能說(shuō)出兩到三種方法，但很少有學(xué)生比較系統(tǒng)地全部說(shuō)出各種可能.在發(fā)現(xiàn)學(xué)生這種情況后，我及時(shí)提高了應(yīng)用目標(biāo).提出新的問(wèn)題：你覺(jué)得這種情況下，白球最多能放幾個(gè)，非白球能放多少個(gè)？學(xué)生的思維得到激發(fā)，他們?cè)诜e極思考，探求各種途徑，有的還在一一舉例；有的從分?jǐn)?shù)意義出發(fā)，考慮分?jǐn)?shù)的特征；有的用份數(shù)在思考，白球占其中的幾份；還有部分學(xué)生從最多10個(gè)白球出發(fā)，倒推回來(lái).學(xué)生的思維各有其特點(diǎn)，教師在學(xué)生匯報(bào)的過(guò)程中，更多地了解了學(xué)生的思維特點(diǎn)，讓自己的思維得到進(jìn)一步的發(fā)展.

結(jié)束語(yǔ)：

心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口.數(shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的思維潛在水平開(kāi)始，通過(guò)教學(xué)把潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平，在新的現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發(fā)展區(qū)，于是教學(xué)又從新的思維潛在水平開(kāi)始……這樣循環(huán)往復(fù)不斷轉(zhuǎn)化，推動(dòng)數(shù)學(xué)思維向前發(fā)展.

美國(guó)教育家杜威說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)，一大部分在于使新問(wèn)題的困難程度，大到足以激發(fā)思想，小到加上新奇因素自然地帶來(lái)的疑難，足以使學(xué)生得到一些富于啟發(fā)性的立足點(diǎn)，從而產(chǎn)生有助于解決問(wèn)題的建議.”因此，教學(xué)中我們不單要傳授知識(shí)，而且要特別重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思維，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，同時(shí)，在設(shè)計(jì)練習(xí)和解決應(yīng)用時(shí)，也提高教師的數(shù)學(xué)思維.在課堂里，共同發(fā)展師生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)課堂的效益.

［1］郅庭瑾《為思維而教》，教育科學(xué)出版社，2007年12月

［2］徐曉蘭《經(jīng)歷有效探究過(guò)程，提升數(shù)學(xué)思維水平》，《網(wǎng)絡(luò)科技時(shí)代》，2008（6）