趙顯富，宗 敏，趙 軒，曹 爽，張育鋒

(1. 南京信息工程大學(xué)，江蘇 南京 210044； 2. 南京南信大影像技術(shù)工程有限公司，江蘇 南京 210061)

一、引 言

大型工業(yè)鋼結(jié)構(gòu)在交付使用前的“試組裝”是鋼結(jié)構(gòu)企業(yè)面臨的重大技術(shù)難題，行業(yè)內(nèi)主要依靠人力“試組裝”來(lái)完成，周期長(zhǎng)，成本高，自動(dòng)化程度低，手段比較落后。隨著現(xiàn)代制造業(yè)的發(fā)展，傳統(tǒng)的人力“試組裝”已不能滿足需求，為了適應(yīng)制造業(yè)生產(chǎn)批量大、質(zhì)量要求嚴(yán)格、檢測(cè)任務(wù)繁重，并實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品“零廢品率”檢測(cè)目標(biāo)的要求，提出運(yùn)用三維激光掃描技術(shù)解決這一技術(shù)難題。三維激光掃描技術(shù)是近十幾年來(lái)快速發(fā)展的一種新型測(cè)量技術(shù)，是測(cè)繪領(lǐng)域繼GPS技術(shù)之后的又一次技術(shù)革命[1]。它廣泛應(yīng)用于建筑、土木工程、文化遺產(chǎn)保護(hù)、工業(yè)測(cè)量等領(lǐng)域，顯示出巨大的應(yīng)用前景，逐漸成為物體表面數(shù)字化的重要方法。將數(shù)字化的工業(yè)構(gòu)件通過(guò)建模獲得相應(yīng)的模型，在計(jì)算機(jī)中模擬組裝過(guò)程，使得連接處的螺栓孔一一對(duì)應(yīng)，最終完成組裝。可見(jiàn)構(gòu)件螺栓孔的空間位置對(duì)模擬安裝的結(jié)果有巨大的影響，因此，在模擬安裝之前需要對(duì)每個(gè)構(gòu)件螺栓孔的空間位置進(jìn)行單獨(dú)檢測(cè)。螺栓孔的空間位置檢測(cè)是指獲得特征點(diǎn)在點(diǎn)云坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到模型坐標(biāo)系中與模型坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的特征點(diǎn)計(jì)算點(diǎn)位誤差，從而實(shí)現(xiàn)螺栓孔的空間位置檢測(cè)。

二、螺栓孔的空間位置檢測(cè)

通過(guò)CAD建立工業(yè)構(gòu)件設(shè)計(jì)圖的三維標(biāo)準(zhǔn)模型[2]如圖1所示，標(biāo)準(zhǔn)模型上的特征可用一組點(diǎn)表示,直接由CAD 軟件自動(dòng)生成[3]，并且以矩陣的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中，提取螺栓孔的表面點(diǎn)，通過(guò)擬合獲得特征點(diǎn)坐標(biāo)，并作為檢測(cè)的基準(zhǔn)。設(shè)計(jì)圖經(jīng)過(guò)生產(chǎn)加工得到的工業(yè)構(gòu)件如圖2所示，本文研究在生產(chǎn)加工過(guò)程中構(gòu)件鋼板上分布的16個(gè)螺栓孔中心(如圖2所示待檢測(cè)點(diǎn))的空間位置變化。將構(gòu)件通過(guò)三維激光掃描獲得構(gòu)件表面的三維坐標(biāo)信息如圖3所示，將法蘭兩端連接處且不在同一平面的8個(gè)螺栓孔中心作為公共點(diǎn)，用于解算坐標(biāo)系間的變換矩陣，提取鋼板表面分布的16個(gè)螺栓孔的中心坐標(biāo)，并與標(biāo)準(zhǔn)模型一一進(jìn)行比對(duì)，從而達(dá)到檢測(cè)的目的。

圖1

圖2

圖3

三、檢測(cè)的數(shù)學(xué)方法

1. 點(diǎn)云擬合圓柱

對(duì)于螺栓孔的空間位置檢測(cè)，困難在于如何在激光點(diǎn)云中找到特征點(diǎn)，螺栓孔的點(diǎn)云近似圓柱，本文利用圓柱螺栓孔中心作為特征點(diǎn)，因此通過(guò)圓柱擬合的方法獲得螺栓孔中心坐標(biāo)。圓柱擬合的過(guò)程就是確定圓柱位置、方向和大小等幾何參數(shù)，文獻(xiàn)[4—6]分別介紹了利用高斯、遺傳算法、特征值來(lái)確定圓柱幾何參數(shù)的方法。但是這3種方法理論都比較復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程也比較麻煩,本文采用非線性的最小二乘法來(lái)擬合圓柱面。圓柱面可描述為

(1)

式中，x0、y0、z0、m、n、l、R為圓柱參數(shù)；o(x0,y0,z0)表示圓柱面軸線上任意一點(diǎn)；a=(mnl)表示圓柱面軸線方向的單位向量；R表示圓柱面半徑。

首先對(duì)圓柱面重新進(jìn)行參數(shù)化，如圖4所示，坐標(biāo)原點(diǎn)到圓柱面的最近距離為ρ|n|，其中n為圓柱面的法向量，圓柱軸線的方向向量為a，a和n均為單位向量，則a·n=0，圓柱的半徑為1/k，n用球面坐標(biāo)表示為

n=(cosφsinθsinφsinθcosθ)

(2)

圖4

式中，θ是向量n和Z軸的夾角(0°≤θ≤180°)；φ是向量n在平面Z=0上的投影向量和X軸的夾角(0°≤φ≤360°)。n對(duì)φ、θ的偏導(dǎo)數(shù)為

nφ=(-sinφsinθcosφsinθ0)

(3)

nθ=(cosφcosθsinφcosθ-sinθ)

(4)

式中，nθ為單位向量。將nφ單位化，得

(5)

(6)

這樣，圓柱面就可參數(shù)化為S=(ρ,φ,θ,k,α)，可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)重新參數(shù)化后，圓柱面的參數(shù)由相互關(guān)聯(lián)的7個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗷オ?dú)立的5個(gè)參數(shù)。然后得到數(shù)據(jù)點(diǎn)pi到圓柱面的距離函數(shù)

(7)

(8)

確定滿足最小值的解S時(shí)非常復(fù)雜和困難，因此需要對(duì)距離函數(shù)d(S,pi)進(jìn)行近似修改。文獻(xiàn)[7]中，Gabor Lukács 等提出了這樣一種形式的近似函數(shù)

(9)

用近似距離函數(shù)來(lái)表示真實(shí)距離

ρ-pi·n

(10)

最小二乘目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(11)

(12)

各數(shù)據(jù)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸上的投影參數(shù)為

ti=a·(pi-O′)=a·pi

(13)

然后將得到的參數(shù)ti(i=1，2,…,n)排序，最大的與最小的分別為兩端點(diǎn)，即圓柱面兩端圓心C1、C2對(duì)應(yīng)的投影參數(shù)，還原可得到C1、C2兩點(diǎn)

(14)

這樣就可以得到圓柱的中心

(15)

2. 坐標(biāo)系變換

{(xi,yi,zi,1),i=1,2,…,n}

(16)

(17)

設(shè)點(diǎn)云坐標(biāo)系中的點(diǎn)集X和模型坐標(biāo)系中的點(diǎn)集Y轉(zhuǎn)換為齊次坐標(biāo)后表示為

對(duì)于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，就是解算出點(diǎn)云坐標(biāo)系相對(duì)于模型坐標(biāo)系的平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣，如果本文求出這兩個(gè)矩陣的積R，就可以將點(diǎn)云坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到模型坐標(biāo)系下。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的過(guò)程實(shí)際上是點(diǎn)云坐標(biāo)系與模型坐標(biāo)系完全重合的過(guò)程，首先將點(diǎn)云坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到模型坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，然后通過(guò)基本旋轉(zhuǎn)變換將點(diǎn)云坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸與模型坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，則矩陣變換過(guò)程如下

(18)

R=(XTX)-1XTY

(19)

四、試驗(yàn)與精度分析

1. 試 驗(yàn)

通過(guò)Matlab編程實(shí)現(xiàn)了相關(guān)檢測(cè)方法，首先擬合24個(gè)螺栓孔中心，包括8個(gè)用于坐標(biāo)系變換的公共點(diǎn)和16個(gè)待檢測(cè)點(diǎn)。單個(gè)螺栓孔的擬合結(jié)果如圖5所示，擬合誤差如圖6所示。然后利用8個(gè)公共點(diǎn)計(jì)算點(diǎn)云坐標(biāo)系向模型坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的變換矩陣R。

圖5

圖6

解算后得到變換矩陣R為

對(duì)鋼板表面分布的16個(gè)螺栓孔的空間位置進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果見(jiàn)表1。首先擬合得到16個(gè)螺栓孔中心在點(diǎn)云坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(見(jiàn)表中數(shù)據(jù)列2)；將坐標(biāo)乘以變換矩陣R，得到坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)(見(jiàn)表中數(shù)據(jù)列3)；數(shù)據(jù)列4表示螺栓孔中心在模型坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；最后一列數(shù)據(jù)表示待檢測(cè)構(gòu)件與標(biāo)準(zhǔn)模型的點(diǎn)位誤差， 即判斷螺栓孔的空間位置是否精確的主要依據(jù)。從表1中可以看出，點(diǎn)位的最大誤差小于2 mm，且分布均勻、波動(dòng)不大，在誤差允許的范圍內(nèi)，因此待檢測(cè)構(gòu)件螺栓孔的空間位置符合設(shè)計(jì)要求。

2. 精度分析

在實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)，通常利用n個(gè)公共點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)求出坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)R的最小二乘解。為討論不同數(shù)量的公共點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)求解的影響，進(jìn)行了多次試驗(yàn)，得到的結(jié)果如圖7所示，在公共點(diǎn)從5個(gè)增加到8個(gè)的過(guò)程中，平均誤差從1.9 mm逐漸減小到1.4 mm(見(jiàn)表2)，點(diǎn)位誤差的波動(dòng)減小，趨向平緩。誤差來(lái)源于多個(gè)方面：在加工鑄造過(guò)程中有一定的誤差，那么檢測(cè)結(jié)果中也帶有這部分誤差；同時(shí)數(shù)據(jù)采集所使用的手持式三維激光掃描儀點(diǎn)位精度最高可達(dá)0.05 mm左右，會(huì)帶來(lái)一定的數(shù)據(jù)采集誤差；此外用于計(jì)算坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的公共點(diǎn)本身也存在一定的誤差，因此檢測(cè)結(jié)果中會(huì)帶有一定的誤差。隨著公共點(diǎn)數(shù)目的增加，坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解趨向優(yōu)化，點(diǎn)位誤差的標(biāo)準(zhǔn)差從0.8 mm左右降到0.3 mm左右，誤差波動(dòng)減小，有助于判斷螺栓孔的空間位置跳動(dòng)情況，因此采用8個(gè)公共點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解。

表1 螺栓孔空間位置檢測(cè)結(jié)果 mm

表2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的點(diǎn)位誤差 mm

五、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)試驗(yàn)可知，工業(yè)構(gòu)件螺栓孔的空間位置檢測(cè)方法是可行的，但是在檢測(cè)過(guò)程中影響檢測(cè)結(jié)果的因素比較多，其中包括激光掃描儀本身的測(cè)量誤差、數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的擬合誤差、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換誤差等。因此，數(shù)據(jù)采集時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)精度的儀器，采集足夠的數(shù)據(jù)，從而使得檢測(cè)結(jié)果能夠更好地反映出構(gòu)件加工制造過(guò)程中產(chǎn)生的誤差。與傳統(tǒng)方法相比，本文所提出的方法具有通用性強(qiáng)、效率高、檢測(cè)精度高、成本低等優(yōu)勢(shì)，這些因素使得利用三維激光掃描技術(shù)檢測(cè)工業(yè)構(gòu)件螺栓孔的空間位置具有較強(qiáng)的可行性，可在工業(yè)構(gòu)件低成本連續(xù)檢測(cè)方面發(fā)揮較大作用。

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