劉潔

(延安大學 化學與化工學院，陜西 延安 716000)

0 引言

對于結(jié)合面的各種結(jié)合條件，可以通過大量的基礎實驗來獲得不同情況下(如不同的載荷大小和性質(zhì)，結(jié)合面材料，結(jié)合面的加工方法及表面完整性，潤滑油性質(zhì)等)結(jié)合面的基礎特性參數(shù)。關于如何運用基礎特性參數(shù)解析計算實際機械結(jié)合部特性參數(shù)，即如何把結(jié)合面的基本假設，數(shù)學模型的理論運用于計算結(jié)合部特性參數(shù)的研究方面，國內(nèi)外不少學者都在研究。文獻[1]的作者提出假設，組成結(jié)合部的構件在結(jié)合部處的剛度比結(jié)合面的剛度高的情況下，忽略構件本身在結(jié)合部處變形的影響。這就使結(jié)合部復雜的變形計算問題轉(zhuǎn)化成僅計算結(jié)合部的接觸表面層的變形問題，從而使結(jié)合部的變形可由構件間的相對線位移和相對角位移來表示。這是在處理結(jié)合部變形這一復雜的非線性問題上的一個突破。文獻[2]的作者，根據(jù)以上結(jié)合部的物理假設，建立了平面移動導軌結(jié)合部變形的通用數(shù)學模型，并編制了計算平面移動導軌結(jié)合部變形的通用計算軟件。并以JISGNC數(shù)控車床橫溜板為對象進行了實驗驗證，證明了上述結(jié)合部物理假設為基礎所建立的數(shù)學模型是適合的，計算程序是正確的。文獻[3]的作者，以滿足機械系統(tǒng)解析對結(jié)合部的上述要求為出發(fā)點，建立了圓柱結(jié)合部變形的通用數(shù)學模型，編制了計算圓柱結(jié)合部變形通用計算程序，并通過實驗驗證了其理論和程序是正確的。

在解析球面結(jié)合部時，也應用了文獻[5]提出的結(jié)合部物理假設。并通過借鑒圓柱面結(jié)合部的研究成果，進一步發(fā)展研究，提出了球面結(jié)合部的解析方法，編制了相應的解析程序，并通過了理論對比論證了其理論及相應的解析程序也是正確的。

1 球面結(jié)合部理論解析

1.1 球面結(jié)合部數(shù)學模型

圖1所示的球面結(jié)合部的總體坐標系xyz-O，xyz-o為球面上任一點的局部坐標系。

圖1 球面結(jié)合部計算坐標系

1.2 球面結(jié)合部位移條件及載荷結(jié)合條件的確定

1) 設球面上任意一點A處坐標(R,φ,θ)，其中x3表示在XYZ-O中z向坐標，圓球的半徑為R，其中X3=R·cosφ，r=R·sinφ。球面結(jié)合部坐標系∑J—xyz-O，球面結(jié)合面坐標系∑S—xyz-o。

從結(jié)合部坐標系∑J到結(jié)合面坐標系∑S的變換可以依次通過以下變換得到：

一次平移變換：

(rcosθ,rsinθ,X3)；

兩次旋轉(zhuǎn)變換：

則球面結(jié)合面坐標系∑S相對于球面結(jié)合部坐標系∑J的齊次變換矩陣為：

(1)

其中：

(2)

(3)

式中：SRJ是球面結(jié)合面坐標系與球面結(jié)合部坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；

JPS是球面結(jié)合部坐標系與球面結(jié)合面坐標系的平移變換矩陣。

2) 設球面結(jié)合部變形位移列陣為：

{xJ}={xJ1,xJ2,xJ3,xJ4,xJ5,xJ6}T

(4)

式中：xJ1,xJ2,xJ3——分別為球面結(jié)合部x，y，z方向的線位移；

xJ4,xJ5,xJ6——分別為球面結(jié)合部x，y，z方向的角位移。

{xJS}=[SJJ]·{XJ}

(5)

式中： [SJJ]——球面結(jié)合面S與球面結(jié)合部J的坐標變換雅克比矩陣；

{XJS}——球面結(jié)合面的位移列陣。

則可由式(4)、式(5)可以求出球面結(jié)合面位移。

3) 由第一章和式(5)可以求出球面結(jié)合面上任一點處的接觸變形：

λτ=(xJ1+Rcosφ·xJ5)sinθ+(Rcosφ·xJ4-xJ2)cosθ-Rsinφ·xJ6

λn=cosθsinφ·xJ1+sinθsinφ·xJ2+cosφ·xJ3λ3=cosθcosφ·

xJ1+sinθcosφ·xJ2-sinφ·xJ3-Rsinθ·xJ4+Rcosθ·xJ5

(6)

4) 球面結(jié)合部反力及反力矩：

FRK=JJS·FRS

(7)

式中：FRK—作用在球面結(jié)合部上的反作用力及反力矩(K=1,2…6)；

JJS—球面結(jié)合部∑J與球面結(jié)合面∑S的力雅克比坐標變換矩陣；

FRS—球面結(jié)合面上的反作用力。

當結(jié)合部受力位移后，作用于球面上的反載荷可由求出：

(8)

1.3 球面結(jié)合部剛度矩陣的確定

當結(jié)合部受外力作用發(fā)生變形位移{XJ}后，結(jié)合部所受的力{FJ}={F1,F2,F3,F4,F5,F6}T

可表示如下：

F1=-FR1=

F2=-FR2=

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)sinθ-ατλnβτλτcosθ]X3}ds

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)cosθ-ατλnβτλτsinθ]X3}ds

(9)

其中：式(9)的λn，λτ，λ3與式(6)相同。

根據(jù)剛度的定義，可以用Fi(i=1,2,…6)分別對XJj(j=1,2,…6)求偏導數(shù)而求出剛度矩陣中的每個元素kij。即：

(10)

若以λn，λτ，λ3為中間變量，則kij可表示如下：

(11)

現(xiàn)以k21為例推導出如下：

cosθcosα+αnβnλnβn-1cos2αsinθcosθ-ατβτλnβτ-1λτcosθcosθcosα+ατλnβτsin2αsinθcosθ)φ(λn)rds

(12)

由第一章可知：

(13)

ατλnβτ=kτ

(14)

所以：

(15)

根據(jù)上面的方法可以求出圓錐面結(jié)合部剛度矩陣[KJ]中的每個元素kij。因篇幅所限，這里省略其他剛度值的推導過程?？傊鶕?jù)式(10)可以推導出球面結(jié)合部的剛度矩陣。

2 球面結(jié)合部解析程序及理論驗證

對前面提出的關于球面結(jié)合部的數(shù)學模型中，含有六個待求的未知量XJi(i=1,2…6),但是由于這六個未知量都是隱含的，無法從方程組中分離出來。對于隱含的非線性方程組的求解問題，目前一直沒有一種通用的計算方法來加以解決，在借鑒了文獻[5]中的計算程序所用的計算方法的基礎上，采用了求解變量輪換弦截法，對球面結(jié)合部的數(shù)學模型，編制FORTRAN語言程序來求解。所謂坐標輪換弦截法的基本思想就是在給出欲求量賦初值后，通過弦截法來改進欲求量的值，對求解的數(shù)學模型中的每個方程輪換地進行驗算，一直到每個方程都滿足給定的精度后，輸出欲求量。

2.1 球面結(jié)合部解析程序編制說明

a) 程序的基本功能

1) 確定球面結(jié)合部的位移結(jié)合條件；

2) 確定球面結(jié)合部的載荷結(jié)合條件；

3) 確定球面結(jié)合部的靜剛度及動剛度；

4) 確定球面結(jié)合部的阻尼特性。

b) 程序結(jié)構流程圖(圖2)

圖2 程序流程圖

c) 程序各模塊功能

1) 主程序模塊：主要用來輸入控制參數(shù)、基礎特性參數(shù)、結(jié)構參數(shù)、載荷參數(shù)等。

2) 位移解析模塊DISPLACE：用于確定結(jié)合部位移結(jié)合條件。

3) 反力計算模塊REACTF：用于計算結(jié)合部反力及確定結(jié)合部載荷結(jié)合條件。

4) 面壓計算模塊PRESSURE：用于確定各結(jié)合面的載荷結(jié)合條件。

5) 剛度計算模塊STIFF：用于確定各結(jié)合面的剛度及結(jié)合部總剛度。

6) 阻尼計算模塊DAMP：用于確定結(jié)合面的阻尼特性。

2.2 球面結(jié)合部實例驗證

a) 實例驗證(圖3)

圖3 球面結(jié)合部坐標系

設作用于球面及圓柱面結(jié)合部的作用力均為：Fx=1400N，其余方向的作用力及力矩全為零。通過編制的程序分別比較這兩種情況的計算結(jié)果：

1) 設球面的半徑R=0.82m，其中取φa=89°,φb=91°，則通過編制的球面結(jié)合部程序計算輸出結(jié)果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12451E+06 -0.68760E-02 -0.10690E-03 0.0000 -0.11573E-02 0.63331E-01

-0.68760E-02 0.12451E+06 0.16288E-05 0.11573E-02 0.0000 492.06

-0.10690E-03 0.16288E-05 25403.-0.63331E-01 -492.06 0.0000

0.0000 0.11573E-02 -0.63331E-01 8533.5 0.41546E-03 0.22257E-04

-0.11573E-02 0.0000 -492.06 0.41546E-03 8536.0-0.13031E-05

0.63331E-01 492.06 0.0000 0.22257E-04 -0.13031E-05 17066.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.29

CJ5[N·m·s/rad]=6.29

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

2) 設圓柱面的半徑為R'，則球臺面等效為圓柱面的半徑近似為：

R'=R·sinφa=0.819875m , 而且Za=R·cosφa=0.014311m，

Zb=R·cosφb=-0.014311m。通過圓柱結(jié)合部程序計算輸出結(jié)果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12449E+06 -0.12315E-02 0.00000.25746E-07

-0.41531E-05 0.61525E-01

-0.12315E-02 0.12449E+06 0.0000-0.19629E-05 -0.25746E-07 491.78

0.0000 0.0000 25378.-0.61525E-01 -491.78 0.0000

0.25746E-07 -0.19629E-05 -0.61525E-01 8534.5 0.53026E-03 0.37521E-06

-0.41531E-05 -0.25746E-07 -491.78 0.53026E-03

8537.0 -0.36427E-06

0.61525E-01 491.78 0.0000 0.37521E-06 -0.36427E-06 17059.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.30

CJ5[N·m·s/rad]=6.30

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

b) 實例驗證結(jié)論

由此可以看出，當球面半徑為R時，其中φ=89°-91°，可以把球臺面近似為半徑R'=R·sinφ的圓柱面求解，通過對圓柱面結(jié)合部計算的對比就可以論證本文中球面結(jié)合部理論解析及解析程序是正確的。

3 總結(jié)

通過建立球面結(jié)合部數(shù)學模型，然后推導出球面結(jié)合部位移及載荷結(jié)合條件，并給出了球面結(jié)合部剛度矩陣的求法，為以后機械系統(tǒng)性能分析提供通用性參數(shù)打下基礎。最后介紹了編制基于FORTRAN語言的球面結(jié)合部解析程序說明，并通過實例對比驗證了球面結(jié)合部解析方法及解析程序是正確的。

[1] 黃玉美,張廣鵬,高峰.虛擬樣機整機結(jié)構特性邊界元仿真[M].北京：機械工業(yè)出版社,2004:152-173.

[2] 董獻國.導結(jié)合部的變形解析、加工誤差綜合及其結(jié)構優(yōu)化設計[D].西安：陜西機械學院碩士論文.1989.

[3] 王曉春,孔祥安.接觸力學及其計算方法[J].西南交通大學報,1996,31(3):230-233.

[4] 溫衛(wèi)東,高德平.接觸問題數(shù)值分析方法的研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J].南京航空航天大學學報, 1994，26(5):664-667.

[5] Parson B,Wilson E A.A method for determning the surface contact stresses resulting from interference fits[J].ASME J Engng for Industry,1970;208-218.

[6] Ohtakake K,Oden J T,Kikuchi N.Analysis of certain unilateral problem in von karman plate theory by a Penalty method-Part I:a variational pririple with penalty[J].ComPut & Meth Appl Mech and Engng,1980;24:187-213.