， ， ，

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院，武漢 430074; 2.廣西地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)總站，廣西 桂林 541004)

1 研究背景

巖石是一種具有流變特性的介質(zhì)材料，主要表現(xiàn)為蠕變、應(yīng)力松弛和彈性后效。在一定的應(yīng)力和時(shí)間條件下，巖石就會(huì)表現(xiàn)出明顯的流變特性。巖土工程中，巖石的流變特性與工程的長(zhǎng)期穩(wěn)定性和安全性有著密切的聯(lián)系。因此，巖石的流變力學(xué)特征在巖土工程中得到了廣泛的研究。

近幾年，隨著新理論、新方法的采用，巖石流變模型理論得到了很大的發(fā)展并取得了豐碩的成果。黃耀英和鄭宏[1]對(duì)節(jié)理巖體等效損傷流變模型進(jìn)行了初步研究，假設(shè)巖石為各向同性體且各向同性損傷，節(jié)理面的法向和切向損傷不同，分別建立了巖石和節(jié)理面流變損傷演變函數(shù)。徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]對(duì)龍灘水電站無(wú)充填節(jié)理巖石進(jìn)行剪切流變?cè)囼?yàn)，提出了非線性黏塑性體，將其與5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)，建立了7元件非線性流變模型，并用試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所建模型的合理性和正確性。N.D.Cristescu[3-4](1993，1994年)提出了可描述鹽巖初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的彈黏塑性模型。宋勇軍等[5]將含有分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件與彈簧元件串聯(lián)，結(jié)合1個(gè)冪函數(shù)黏塑性體，得到了一種新的4元件非線性黏彈塑性流變模型，并給出了該模型的本構(gòu)方程和蠕變方程，得到了不同應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變曲線。長(zhǎng)期以來，研究者在巖石穩(wěn)態(tài)流變和定常流變方面提出了多種成熟的流變模型。由于受到試驗(yàn)條件的限制，巖石流變模型理論并不是十分完善，特別是在巖石非線性流變方面還有待進(jìn)一步地研究。因此，本文將在已有流變理論的基礎(chǔ)上，同時(shí)借鑒徐衛(wèi)亞、楊圣奇等的研究思路，對(duì)巖石非線性流變模型進(jìn)行研究。

2 巖石黏彈塑性流變模型的研究

2.1 巖石黏塑性流變模型的建立

圖1 巖石流變的3種典型曲線

巖石剪切流變會(huì)經(jīng)歷減速流變階段、穩(wěn)態(tài)流變階段和加速流變階段，如圖1所示。由圖可知，當(dāng)剪應(yīng)力τ0≤長(zhǎng)期抗剪強(qiáng)度τs時(shí)，巖石流變處于減速流變和穩(wěn)態(tài)流變階段，如圖中曲線1，2所示；當(dāng)剪應(yīng)力τ0>長(zhǎng)期抗剪強(qiáng)度τs時(shí)，巖石流變將經(jīng)歷減速流變階段和穩(wěn)態(tài)流變階段進(jìn)入到加速流變階段，如圖中曲線3所示。圖中t1為巖石從減速流變進(jìn)入穩(wěn)態(tài)流變的時(shí)刻；t2為巖石從穩(wěn)態(tài)流變進(jìn)入加速流變的時(shí)刻，可用回歸系數(shù)二階差分法確定；tc為巖石破壞的時(shí)刻。

對(duì)圖1中曲線3的BC段，其變形量的增長(zhǎng)不收斂于定值，具有明顯的黏塑性特征。由于線性元件組合模型(如Burgers模型、Kelvin模型、Maxwell模型)無(wú)法精確地描述巖石在該階段的流變特征，故需用一個(gè)非線性加速元件組合模型來描述其加速流變特征。巖石非線性流變模型有2種建立方法[6-11]:①將新的非線性元件代替原有的線性元件；②采用斷裂及損失力學(xué)理論、內(nèi)時(shí)理論等新的理論。

圖2 巖石黏塑性流變模型

根據(jù)第1種方法，本文假定巖石非線性流變變形與時(shí)間的冪函數(shù)成指數(shù)型關(guān)系，提出了一種新的非線性黏性元件，并將其與一個(gè)塑性元件并聯(lián)起來，構(gòu)成了一個(gè)新的黏塑性流變模型，如圖2所示。

在恒定剪應(yīng)力τ0作用下，該模型的變形與時(shí)間關(guān)系曲線如圖3所示，相應(yīng)的流變方程為

(1)

式中：u為變形量(以剪切位移量表示)；η3為巖石流變模型參數(shù)；n為流變指數(shù)，反映巖石加速流變速率的快慢程度；t為流變時(shí)間。

圖3 巖石黏塑性流變模型的流變趨勢(shì)曲線

圖3中曲線1，2，3，4分別表示式(1)中流變指數(shù)n取值為0.3，0.5，0.7，0.9時(shí)巖石黏塑性流變模型的流變趨勢(shì)曲線。由圖可知，曲線1并未出現(xiàn)明顯的加速現(xiàn)象，而曲線2，3，4則表現(xiàn)出了明顯的加速特征。當(dāng)n>0.3時(shí)，巖石黏塑性流變模型中巖石的變形與速率均隨著時(shí)間的增加而呈非線性增加，說明該模型可以用來描述巖石的非線性加速流變變形。

進(jìn)一步分析可知，圖3中曲線2以較快的加速度增大，而曲線3、曲線4則先經(jīng)歷緩慢增大的過程而后再迅速增大。這里將曲線2定名為A類流變曲線，曲線3、曲線4定名為B類流變曲線。對(duì)比研究徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]提出的NVPB模型(參照文獻(xiàn)[2]中圖8)可知，NVPB模型的流變指數(shù)n取值大于1時(shí)，其變形量以較快的加速度增大，僅可出現(xiàn)A類流變曲線；而本文所提出的巖石黏塑性流變模型則可出現(xiàn)A，B兩類流變曲線。通過改變本文所提出的黏塑性流變模型的流變指數(shù)，即可得到不同類型的流變曲線，因而該模型具有更廣泛的適用性。

2.2 巖石黏彈塑性流變模型的建立

巖石流變是彈性、黏性、塑性、黏彈性和黏塑性等多種變形共存的一個(gè)復(fù)雜過程，需采用多種元件(線性和非線性元件)的組合來對(duì)其進(jìn)行模擬[6]。對(duì)于圖1中的曲線1、曲線2，可以采用徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]提出的5元件黏彈性剪切流變模型進(jìn)行了較好的擬合；而對(duì)于曲線3，則需用能夠描述巖石黏彈塑性流變特征的模型來擬合。為了全面描述巖石的流變過程，將本文提出的巖石黏塑性流變模型與文獻(xiàn)[2]中的5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)起來，建立一種新的巖石黏彈塑性流變模型，其模型如圖4所示。

圖4 巖石黏彈塑性流變模型

由模型的串聯(lián)關(guān)系可知，建立的巖石流變組合模型應(yīng)滿足以下條件：

τ0=τ1=τ2;

(2)

u=u1+u2。

(3)

式中：τ1，τ2分別為模型的第1部分和第2部分所受的剪應(yīng)力；u為模型總變形量；u1，u2分別為模型的第1部分和第2部分的變形量(如圖4)。

根據(jù)τ0與τs之間的關(guān)系，所建立的巖石黏彈塑性流變模型的流變方程可分為以下2種情況：

(1) 當(dāng)τ0≤τs時(shí)，巖石黏彈塑性流變模型的第1部分處于禁止?fàn)顟B(tài)，因此模型發(fā)揮作用的只是第2部分，由文獻(xiàn)[2]可知其相應(yīng)的流變方程為

(4)

式中：u(t)為變形量；G1為瞬時(shí)剪切模量；G2和G3均為黏彈性剪切模量；η1和η2均為黏滯系數(shù)。

(2) 當(dāng)τ0>τs時(shí)，巖石黏彈塑性流變模型的第1和第2部分均處于啟動(dòng)狀態(tài)，其相應(yīng)的流變方程為

(5)

式中η3為黏滯系數(shù)。

顯然，當(dāng)τ0≤τs時(shí)，可用式(4)來描述圖1中的曲線1和曲線2；當(dāng)τ0>τs時(shí)，可用式(5)來描述圖1中的曲線3。若將式(4)和式(5)合并成一個(gè)式子，則有

(6)

其中H(τ0-τs)為正值函數(shù)，即

(7)

2.3 一維通式與三維流變方程

根據(jù)2.2節(jié)中式(4)所示的黏彈性流變模型，可得到算子形式的通式[12]為

P(D)σ=Q(D)ε。

(8)

對(duì)于2.2節(jié)中的式(6)，當(dāng)τ0<τs時(shí)，其一維通式與式(8)相同；當(dāng)τ0≥τs時(shí)，若采用式(8)表達(dá)一維通式，應(yīng)將式中的σ用σ-σs來代替，即一維本構(gòu)方程的通式可表示為

(9)

在三維應(yīng)力狀態(tài)下，可將巖石材料內(nèi)部的應(yīng)力張量分成球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量。對(duì)于球應(yīng)力張量σm的表達(dá)式為

(10)

偏應(yīng)力張量為

(11)

從而可得

σij=Sij+δijσm。

(12)

同理，也可將應(yīng)變張量分成球應(yīng)變張量εm和偏應(yīng)變張量eij分別為

(13)

(14)

于是可得

εij=eij+δijεm。

(15)

設(shè)巖石彈性剪切模量為G、彈性體積模量為K，則二者與彈性模量E及泊松比μ之間的關(guān)系為

(16)

基于彈性理論，彈性本構(gòu)關(guān)系的一維形式可表示為

σ=E0ε。

(17)

彈性本構(gòu)關(guān)系的三維張量形式可表示為

Sij=2G0eij, σii=3Kεii。

(18)

式中：Sij為應(yīng)力偏量；eij為應(yīng)變偏量；σii為應(yīng)力;εii為應(yīng)變。

結(jié)合式(18)，對(duì)于三維狀態(tài)下的黏彈性體，其流變方程可參照一維應(yīng)力狀態(tài)下的流變方程求得，但方程中的偏應(yīng)變須用試驗(yàn)時(shí)的恒定偏應(yīng)力Sij來代替，即

(19)

對(duì)于黏塑性模型的三維流變方程有

(20)

由式(19)、式(20)可得三維應(yīng)力狀態(tài)下的巖石流變方程為：

當(dāng)Sij≤τs時(shí)，與式(19)相同;

當(dāng)Sij>τs時(shí)，

(21)

3 模型參數(shù)的確定及應(yīng)用

筆者曾利用精度為0.001 mm的JQ200型巖石剪切流變儀對(duì)西藏邦鋪礦區(qū)花崗巖進(jìn)行了巖石剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)采用分級(jí)連續(xù)加載的方式，并保證試驗(yàn)過程中環(huán)境溫度恒定?，F(xiàn)以天然狀態(tài)的花崗巖流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，給出本文的巖石黏彈塑性流變模型的參數(shù)確定方法。

(1) 當(dāng)τ0≤τs時(shí)，H(τ0-τs)=0，此時(shí)巖石黏彈塑性流變模型退化為5元件黏彈性剪切流變模型，即由式(6)轉(zhuǎn)化為式(4)。對(duì)于5元件黏彈性剪切流變模型的參數(shù)求解方法可參照文獻(xiàn)[2]。具體的求解方法是：首先根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定瞬時(shí)剪切模量G1。由式(4)可知，當(dāng)t=0時(shí)，G1=τ0/u(0)，u(0)為泥巖的瞬時(shí)彈性變形量，可從花崗巖流變?cè)囼?yàn)曲線上直接得到，而τ0為已知量，因此可求得G1。然后再確定花崗巖黏彈性剪切模量G2，G3及黏滯系數(shù)η1，η2。這里借助Origin軟件中自帶的功能函數(shù)Exp-Assoc對(duì)花崗巖的剪切流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，最終可獲得花崗巖黏彈性剪切模量G2，G3及黏滯系數(shù)η1，η2。

(2) 當(dāng)τ0>τs時(shí)，則有H(τ0-τs)=τ0-τs。此時(shí)巖石將出現(xiàn)圖1中曲線3的流變狀態(tài)，求解模型參數(shù)的具體步驟如下：

①利用花崗巖在(0，t2)時(shí)段內(nèi)的流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)，并根據(jù)求解5元件黏彈性剪切流變模型參數(shù)的具體方法確定G1，G2，G3與η1，η25個(gè)參數(shù)。

②在(t2，tc)時(shí)段內(nèi)，利用得到的5元件黏彈性剪切流變模型求出該段時(shí)間內(nèi)巖石的黏彈性理論解。然后用花崗巖剪切流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)相應(yīng)黏彈性理論解作差，將得到n組(Δu，t)的數(shù)據(jù)。

圖5 巖石黏彈塑性流變模型與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

③在Origin中輸入得到的n組數(shù)據(jù)并繪制散點(diǎn)圖。由于Origin中沒有能夠表達(dá)公式(1)的內(nèi)置函數(shù)，故需自定義函數(shù)進(jìn)行非線性擬合。在Origin中自定義函數(shù)并初始化系數(shù)后對(duì)n組數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析，即可得到巖石黏塑性流變模型的剪切流變參數(shù)η3和n。至此，7個(gè)剪切流變參數(shù)便可全部求得。

圖5給出了天然狀態(tài)下花崗巖出現(xiàn)加速流變的全過程試驗(yàn)結(jié)果與巖石黏彈塑性流變模型的對(duì)比曲線，求得的模型參數(shù)如表1所示。從圖中可以看出，所建立的巖石黏彈塑性流變模型與花崗巖剪切流變?cè)囼?yàn)結(jié)果吻合得比較理想，這表明了該模型的具有一定的正確性和合理性，因此可以用它來描述巖石的加速流變階段。

表1 巖石黏彈塑性流變模型參數(shù)值

4 結(jié) 語(yǔ)

(1) 假定巖石非線性流變變形與時(shí)間的冪函數(shù)成指數(shù)型關(guān)系，提出了一種新的非線性黏性元件，將其與一個(gè)塑性元件并聯(lián)起來，構(gòu)成了一個(gè)新的黏塑性流變模型，并給出了模型的流變方程。

(2) 將新的巖石黏塑性流變模型與5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)起來，建立了一種新的巖石黏彈塑性流變模型。同時(shí)，基于花崗巖剪切流變?cè)囼?yàn)，給出了模型參數(shù)的求解方法。

(3) 利用建立的巖石黏彈塑性流變模型對(duì)天然狀態(tài)下的花崗巖流變?nèi)糖€進(jìn)行擬合，得到了模型的流變參數(shù)。流變模型曲線與試驗(yàn)結(jié)果的比較顯示：本文所建立的巖石黏彈塑性流變模型具有一定的正確性和合理性。

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