張民悅，李丹丹

（蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，甘肅 蘭州730050）

0 引言

在實(shí)際問題中，有一類既不屬于串聯(lián)又不屬于并聯(lián)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，即橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如電路橋式網(wǎng)絡(luò)、通訊橋式網(wǎng)絡(luò)、交通橋式網(wǎng)絡(luò)等.在可靠度確定的情況下，提高子系統(tǒng)的冗余數(shù)將導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)造價(jià)上升，并且由于成本造價(jià)、體積、重量等條件的限制，單獨(dú)依靠提高某個(gè)模塊的可靠度來提高系統(tǒng)可靠度是困難的，所以通過提高模塊的可靠度和增設(shè)冗余模塊可以保證子系統(tǒng)具有優(yōu)化配置的可靠度指標(biāo).而最優(yōu)冗余個(gè)數(shù)和子系統(tǒng)的可靠度有關(guān)，因此，模塊的可靠度和子系統(tǒng)冗余數(shù)應(yīng)同時(shí)優(yōu)化，以便在限制條件下使整個(gè)系統(tǒng)的可靠度最優(yōu)［1-5］.文獻(xiàn)［6］中利用MATLAB的BNB20（）函數(shù)，對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)的冗余度和可靠度分配進(jìn)行整數(shù)優(yōu)化；文獻(xiàn)［7］建立了系統(tǒng)可靠性分配優(yōu)化模型，結(jié)合可靠性單元的復(fù)雜度、技術(shù)成熟度、使用環(huán)境等實(shí)現(xiàn)廣義成本的定量評(píng)估，用改進(jìn)基本遺傳算法進(jìn)行問題的求解；文獻(xiàn)［8］中提出了一種改進(jìn)的遺傳算法，并用其求解多目標(biāo)優(yōu)化方法；文獻(xiàn)［9］建立了系統(tǒng)可靠性分配冗余最優(yōu)化非線性規(guī)劃模型，研究了兩種不同的解析方法，利用LINGO軟件編程進(jìn)行了驗(yàn)證；文獻(xiàn)［10-11］分別研究了定向遺傳算法的全局優(yōu)化和基于矩陣系統(tǒng)的可靠性方法，并將這種方法應(yīng)用到橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中；文獻(xiàn)［12］中闡述了遺傳算法的一般原理和求解問題的一般過程，討論了近年來遺傳算法在遺傳算子、控制參數(shù)等方面的改進(jìn).

在前面文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出建立子系統(tǒng)可靠度指標(biāo)和冗余個(gè)數(shù)一體化并發(fā)設(shè)計(jì)問題，建立帶有可選設(shè)計(jì)的橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度和冗余度分配優(yōu)化模型，最后給出算例，通過遺傳算法求解這類非線性連續(xù)變量和離散變量混合問題.

1 復(fù)雜系統(tǒng)—橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型

在圖1所示的橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型中有5個(gè)子系統(tǒng)，我們?cè)O(shè)計(jì)帶有可選設(shè)計(jì)和冗余度系統(tǒng)的可靠度，對(duì)于每個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)有多個(gè)可選設(shè)計(jì)αi（i＝1，2，3，4，5）來滿足可靠性要求，其中αi為第i個(gè)子系統(tǒng)可選用的設(shè)計(jì)，每個(gè)子系統(tǒng)我們假定設(shè)置mi（i＝1，2，3，4，5）個(gè)冗余元件并聯(lián)組成，在造價(jià)（Ci），重量（Wi）以及體積（Vi）等條件的限制下，如何對(duì)子系統(tǒng)進(jìn)行可靠度分配以及如何對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行冗余數(shù)分配是本文中擬解決的主要問題.

圖1 橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)框圖

1.1 系統(tǒng)的可靠度 引入概率理論：

要使系統(tǒng)正常工作，需找出所有從輸入端到輸出端的可能路徑.考慮子系統(tǒng)的組合｛1，2｝，｛3，4｝，｛1，5，4｝和｛3，5，2｝，只要其中任何一個(gè)組合正常工作，則系統(tǒng)就正常工作，這時(shí)系統(tǒng)的可靠性為P（｛1，2｝∪｛3，4｝∪｛1，5，4｝∪｛3，5，2｝）.設(shè)Ri（i＝1，2，3，4，5）為第i子系統(tǒng)的可靠度，由概率理論整個(gè)系統(tǒng)的可靠度為：

1.2 建立模型 系統(tǒng)由5個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，對(duì)于每個(gè)子系統(tǒng)，有多個(gè)可選設(shè)計(jì)來滿足可靠性要求，則該模型可以描述為非線性整數(shù)規(guī)劃：

其中

式中，θ為待優(yōu)化的參數(shù)向量；αi（i＝1，2，3，4，5）為第i個(gè)子系統(tǒng)可選用的設(shè)計(jì)；mi（i＝1，2，3，4，5）為第i個(gè)子系統(tǒng)的冗余元件數(shù)；μi為第i個(gè)子系統(tǒng)的冗余元件上界；βi為第i個(gè)子系統(tǒng)可選用設(shè)計(jì)的上界；R（m，α）為具有冗余元件m和可選設(shè)計(jì)α的系統(tǒng)可靠度；C（m，α）為系統(tǒng)滿足冗余元件m和可選設(shè)計(jì)α的造價(jià)函數(shù)；W（m，α）為系統(tǒng)滿足冗余元件m和可選設(shè)計(jì)α的重量函數(shù)；V（m，α）為系統(tǒng)滿足冗余元件m和可選設(shè)計(jì)α的體積函數(shù)；C＊為系統(tǒng)造價(jià)的總約束；W＊為系統(tǒng)重量的總約束；V＊為系統(tǒng)體積的總約束.

每個(gè)分系統(tǒng)由冗余元件并聯(lián)組成，則每個(gè)子系統(tǒng)i的可靠度函數(shù)為：

2 優(yōu)化工具——遺傳算法

遺傳算法［12-13］是模擬自然界生物進(jìn)化機(jī)制的一種算法，即遵循適者生存、優(yōu)勝劣汰的法則，也就是尋優(yōu)過程中將有用的保留，無用的則去除.GA能在許多局部較優(yōu)中找到全局最優(yōu)點(diǎn)，是一種全局最優(yōu)化方法.在科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中表現(xiàn)為，在所有可能的解決方法中找出最符合該問題所要求的條件的解決方法，即找到一個(gè)最優(yōu)解.

2.1 遺傳算法的可行性分析及運(yùn)算過程 在可靠性優(yōu)化方面前人已經(jīng)做了很多研究，尤其是在冗余元件的最優(yōu)分配方面.現(xiàn)階段根據(jù)研究可應(yīng)用于可靠性研究的帶有約束條件的數(shù)學(xué)規(guī)劃技術(shù)的方法主要有動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、直接尋查法等，但是對(duì)于大規(guī)模的、有多目標(biāo)函數(shù)、非線性的的全局性混合優(yōu)化問題，被證明有效的算法很少，而且優(yōu)越性不強(qiáng).遺傳算法作為求解最優(yōu)化問題的一種智能算法，對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求低，容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性比較好.而且還具有高度的并行性、隨機(jī)性以及自適應(yīng)搜索等技術(shù)特點(diǎn)，是一類可用于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的魯棒搜索算法，尤其對(duì)于大規(guī)模多峰多態(tài)函數(shù)全局優(yōu)化問題，在求解速度和質(zhì)量上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一般方法.

對(duì)于上述模型，遺傳算法的基本運(yùn)算過程［14］如下：

1）編碼方式.將問題的解用一種碼表示，建立數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將遺傳算法中的個(gè)體與問題的狀態(tài)空間相對(duì)應(yīng)表示出來，給出優(yōu)化參數(shù)向量θ＝［m1，α1，m2，α2…mN，αN］T的解域范圍，可選設(shè)計(jì)α＝［α1，α2，α3］，冗余數(shù)m＝［m1，m2，m3，m4，m5］所有分量為整數(shù)型.

2）設(shè)定種群規(guī)模數(shù)s＝50，交叉概率Pc＝0.9，變異概率Pm＝0.01，最高進(jìn)化代數(shù)G＝200.

3）初始化：采用整數(shù)值編碼，根據(jù)解的可行域隨機(jī)確定50個(gè)個(gè)體構(gòu)成初始群.

4）個(gè)體評(píng)價(jià)：計(jì)算群體中各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度.適應(yīng)度函數(shù)采用如下線性函數(shù)：

其中，Ni為種群大小；P是個(gè)體在種群中的位置，該例是最大化目標(biāo)函數(shù)，所以，目標(biāo)函數(shù)值最小的個(gè)體P＝1，最大的個(gè)體P＝Ni；sp是選擇壓力（1≤sp≤2），取sp＝1.75.

5）選擇運(yùn)算：把種群中的個(gè)體適應(yīng)度由大到小排序，根據(jù)各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度確定其繁殖后在交配池中所占比例

6）交叉運(yùn)算：遺傳算法中起核心作用的就是交叉算子.這里采用離散交叉操作方式產(chǎn)生后代，操作為：

7）變異運(yùn)算：對(duì)種群中的各個(gè)個(gè)體以變異概率Pm隨機(jī)改變某一分量的值.

8）終止條件判斷：看是否達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)，若未達(dá)到返回步驟4）；若達(dá)到，則以進(jìn)化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度個(gè)體所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值作為最優(yōu)解輸出，即全局最優(yōu)解，終止計(jì)算.

2.2 遺傳算法的流程圖 基本的GA流程圖如圖2：

3 算例分析及其仿真

這里以一交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：公路浮箱帶式橋結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為例，目前我國國內(nèi)現(xiàn)有浮箱［15］種類很多，如中-60浮箱，東方紅浮箱，裝配式公路浮箱，TF-82浮箱，松花江浮箱等等，各種浮箱重量，體積，價(jià)格不等.系統(tǒng)受造價(jià)（Ci），重量（Wi）以及體積（Vi）的限制，C＊＝5.8萬元，W＊＝40t，V＊＝225m3.系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以描述為：尋求最優(yōu)的可選設(shè)計(jì)子系統(tǒng)α1，α2，…，α5，和子系統(tǒng)冗余數(shù)m1，m2，…，m5，以使系統(tǒng)在滿足總費(fèi)用，總重量及總體積限制條件下可靠度R最高.

該系統(tǒng)是具有冗余單元和可選設(shè)計(jì)的橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，適用于以下模型：

圖2 GA流程圖

其中μi＝2，βi＝3，mi（i＝1，2，3，4，5）取整數(shù).

上面優(yōu)化問題實(shí)際上是連續(xù)變量和離散變量并存的混合非線性規(guī)劃問題.

系統(tǒng)其余各參數(shù)值如表1所示：

表1 冗余元件與可選設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)表

根據(jù)上述步驟編寫求解問題的Matlab部分代碼如下：

經(jīng)過運(yùn)行可以得到進(jìn)化過程中200代每一代的最優(yōu)個(gè)體和相應(yīng)的系統(tǒng)適應(yīng)度函數(shù)f.運(yùn)行結(jié)果為：

經(jīng)過多次運(yùn)行，發(fā)現(xiàn)尋優(yōu)比較穩(wěn)定，基本上每次都能得到如下最優(yōu)解：

上述解對(duì)應(yīng)表2所列內(nèi)容.

表2 θ＊對(duì)應(yīng)的可選設(shè)計(jì)和冗余度分配表

將各子系統(tǒng)的可靠度代入（3）式，則得到整個(gè)系統(tǒng)的可靠度5.5萬元≤5.8萬元.

經(jīng)過Matlab運(yùn)算可得到

均滿足限制條件.

同時(shí)，與表2數(shù)據(jù)一致的遺傳算法進(jìn)程中的迭代次數(shù)同系統(tǒng)可靠度之間的變化曲線如圖3所示.

由圖3可以看出，進(jìn)化過程中200代，系統(tǒng)可靠度逐漸增大，直到達(dá)到最優(yōu)解R（θ＊）＝0.998 9時(shí)趨于穩(wěn)定.由于遺傳算法的隨機(jī)性，每次運(yùn)行曲線不會(huì)完全一樣，但是絕大多數(shù)都會(huì)最終達(dá)到最優(yōu)解.

圖3 迭代次數(shù)同系統(tǒng)可靠度曲線

4 結(jié)語

在造價(jià)、體積和重量約束條件下，橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化問題是一個(gè)具有對(duì)于大規(guī)模的、多峰多態(tài)函數(shù)、非線性的的全局性混合優(yōu)化問題.相比較文獻(xiàn)［2，5］中的算法，Matlab的BNB20（）函數(shù)和LINGO軟件只能解決一些相對(duì)簡單的系統(tǒng)優(yōu)化，而遺傳算法提供了一種求解大型復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的通用框架，它不依賴于問題的具體領(lǐng)域，有很強(qiáng)的魯棒性.本文中提出建立子系統(tǒng)可靠度指標(biāo)和冗余個(gè)數(shù)一體化并發(fā)設(shè)計(jì)問題，建立帶有可選設(shè)計(jì)α的橋式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠度和冗余度分配優(yōu)化模型，此模型更貼近實(shí)際生產(chǎn)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).最后給出算例，通過遺傳算法進(jìn)對(duì)系統(tǒng)的可靠度和冗余度進(jìn)行分配優(yōu)化，為實(shí)際問題中的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)提供設(shè)計(jì)方法，對(duì)提高各種網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠度、降低成本有重要的意義.

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