耿青松

（武漢城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，湖北 武漢430064）

1 定理及證明

在一定范圍內(nèi)，用D′Alembert判別法進行正項級數(shù)的收斂性判別，方法比較簡單，計算也容易，但對于如下的正項級數(shù)

用D′Alembert判別法是不可行的.若采用應(yīng)用范圍更廣的拉貝判別法，雖然有效，但是計算過程比較繁瑣.本文中針對這類正項級數(shù)，引入兩個簡便而有效的判別方法.

定理1的證明 1）取n＝2k（k＝1，2，3…），則

當(dāng)l＜1時由D′Alembert比值判別知收斂，即收斂.

由un＞0可知：數(shù)列｝均為單調(diào)遞增數(shù)列，

考慮到數(shù)列｛un｝的單調(diào)遞減性，有

2）當(dāng)l＞1時根據(jù)D′Alembert判別法有必發(fā)散，否則若收斂，不妨設(shè)發(fā)散，則因數(shù)列｛un｝單調(diào)遞減，有

則收斂，矛盾.證畢.

進一步有：

故當(dāng)l＜1時由D′Alembert比值判別知收斂，故級數(shù)收斂.當(dāng)l＞1時則級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.證畢.

2 幾個實例

因

應(yīng)用定理1知，原級數(shù)收斂.

例2 討論p-級數(shù)的收斂性.

解 當(dāng)p＞0時單調(diào)遞減，

因

應(yīng)用定理2知：，當(dāng)p＞1時，p-級數(shù)收斂；當(dāng)0＜p≤1時，p-級數(shù)發(fā)散.

可見，由定理1不能確定原級數(shù)的斂散性.考慮：

根據(jù)定理2，原數(shù)列收斂.可見定理2比定理1精細(xì)，應(yīng)用范圍更廣.

［1］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義［M］.5版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009.

［3］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.5版.北京：高等教育出版社，2002.