孫宗岐，劉宣會

（1.西安思源學院高數(shù)教研室，陜西 西安710038；2.西安工程大學理學院，陜西 西安710048）

0 引言

近幾年，對投資組合選擇問題的研究已經很豐富，但大多數(shù)研究都集中在個人投資主體領域，而對保險資金的投資組合問題相對較少.雖然兩者理論框架大致一致，但研究保險資金的投資組合問題有其不容忽視的特殊意義.我國從2005年開始對保險資金進入資本市場逐步開放，保障保險資金的良性運作由此顯得十分重要，目前國內在這方面的研究已經起步.郭文旌［1］在風險證券價格服從跳-擴散過程假設下，利用均值-方差準則通過使用最優(yōu)控制原理研究了保險公司的最優(yōu)投資問題.張言林［2］等采用動態(tài)規(guī)劃原理研究了最大化投資期間消費效用的帶實業(yè)項目的投資組合問題.陳樹敏［3］等在保險公司盈余服從擴散過程的假設下，應用混合隨機控制-最優(yōu)停時方法，研究了最小破產概率下保險資金投資于資本市場和實業(yè)項目時最優(yōu)投資組合問題.在這些文獻中，普遍假設方差為常數(shù)或確定性函數(shù)，然而研究表明，風險資產的波動率是隨機的［4-8］.作為一種雙側風險，方差常常把高收益的部分劃為風險加以限制，這顯然有悖于投資者的初衷.VaR方法作為一種下側風險近年來深受研究者的青睞，已有學者引入到保險資金的管理研究中，如郭文旌等［9］以VaR度量保險公司的整體風險，利用均值-VaR模型研究了保險公司的投資策略選擇問題；王海燕等［10］研究了保險公司再保險一投資問題在均值-方差（M-V）模型和均值-在險價值（M-VaR）模型下的最優(yōu)常數(shù)再調整策略.但是他們都只度量了終端時刻的靜態(tài)VaR風險，沒有度量整個投資過程的動態(tài)VaR風險.陳樹敏，李仲飛［11-12］考慮了動態(tài)VaR風險約束下的保險投資決策問題，但是沒有對風險資產的波動率做隨機假設，這顯然和資本價格的隨機波動性不符.到目前為止，國內在動態(tài)VaR約束下考慮具有隨機波動率風險的保險公司最優(yōu)投資組合問題較少，本文中將采用Stein-Stein模型來度量隨機波動率，同時考慮受動態(tài)VaR約束的保險公司最優(yōu)投資決策問題，在最小破產概率準則下，運用隨機最優(yōu)控制原理和庫恩-塔克條件得到最優(yōu)金融決策的顯式解.

1 建立模型

1.1 模型描述 刻畫保險公司盈余水平的經典模型是Cramer-Lundberg過程其中x0是初始盈余，p是保費率表示保險公司到t時刻為止的累積索賠，其中Yi表示第i次發(fā)生的索賠額，Yi獨立同分布，假設Yi服從參數(shù)為的指數(shù)分布，N（t）是參數(shù)為λ的泊松過程，表示到時刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù).為了安全起見，保費率需滿足p＝（1＋γ）λα，γ＞0稱為相對安全負荷.

根據(jù)Taksar［13］的研究，保險公司的盈余水平R（t）可近似地用擴散過程

其中r是無風險利率，波動率V（t）滿足Ornstein-Uhlenbeck（OU）過程，即

即

亦即

為了能對模型經行嚴格數(shù)學描述，假定上述所有隨機變量和過程都定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，且產生的σ信息流為｛Ft：t＞0｝.設P是R0＝x下的條件概率，所有平方可積且Ft適應的策略π的集合為可行集Π.定義破產時刻

根據(jù)VaR的定義，對于給定置信水平α，

其中N-1（α）是標準正態(tài)分布的分位數(shù)，x＋＝max｛0，x｝.

2 求解模型

我們的目的是在t≥0時，求解下列最優(yōu)控制問題

2.1 動態(tài)VaR控制的等價條件

命題1的證明

即

進而動態(tài) VaR約束等價于π∈［π1，π2］.

即

根據(jù) Lundberg等式［15］，不妨假設 HJB方程有形如ψ（t，x，V（t））＝e-β［a（t）x＋（v（t）-θ）］，a（t）＞0形式的解，則ψt＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］［-βxa′（t）］，ψx＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］［-βa（t）］，ψV＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］（-β），ψxx＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］［-βa（t）］2，ψVV＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］（-β）2，ψxV＝e-β［a（t）x＋（v-θ）］［-βa（t）］（-β）.顯然滿足ψx＜0，ψxx≥0，且ψ（t，x，L）∈C1，2，2（R＋×R＋×R＋）.

上式消去對x的依賴可得兩個方程a′（t）＋ra（t）＝0，a（0）＝1和

容易解第一個方程得a（t）＝e-rt.

下面解第二個方程，顯然

2.3 受動態(tài)VaR約束的最優(yōu)投資策略及最小破產概率的顯式解定理1 在動態(tài)VaR約束下，最優(yōu)化問題（2）的最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)化問題（2）的最小破產概率為

定理1的證明 當V（t）≠0時，優(yōu)化問題（2）作為不等約束的非線性規(guī)劃我們可建立如下隨機Lagrange函數(shù)［16］

由一階最優(yōu)性條件有

進而

若λ＝0，則

若其滿足不等式約束條件，即動態(tài)VaR約束條件，則其是最優(yōu)投資策略，此時說明動態(tài)VaR約束與無約束時一致.如果其不滿足VaR約束，即πt＊＜π1或者πt＊＞π2，當時，顯然因此先討論將代入（3）式，注意到ψxx＞0，有所以λ≥0，即π1是K-T（庫恩-塔克）點.又由于該問題是凸規(guī)劃問題，所

以π＊＝π1.

注意到當a（t）＝1，V（t）＝θ時，即破產概率與時間無關，并且資產價格波動率是確定常數(shù)時，就是林祥［15］研究的破產概率，因此文章也擴展了林祥的最小破產概率公式.

3 結語

在保險公司盈余服從擴散過程的假設下，考慮具有隨機波動率的保險公司最優(yōu)投資決策問題.在動態(tài)VaR約束下，使用動態(tài)規(guī)劃原理建立了最優(yōu)投資選擇模型，在最小化破產概率準則下通過求解HJB方程和運用庫恩-塔克條件得到了最優(yōu)投資決策和最小破產概率的顯示解.結果對于保險公司的管理具有一定的現(xiàn)實指導意義，同時對金融數(shù)學中的保險資金的投資消費選擇問題也具有一定的理論價值.

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