安徽省六安中學(xué) (郵編：237161)

2013年國(guó)慶前夕，六安市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)在六安中學(xué)舉行，這是一所民辦學(xué)校，學(xué)生基礎(chǔ)一般；選手是隨機(jī)抽簽，借班上課，每節(jié)課40分鐘.筆者(范銀萍)所上的“古典概型(第一課時(shí))”新授課，受到專家和觀摩教師的較高評(píng)價(jià)，榮獲第一名.現(xiàn)將這節(jié)課的課堂教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄如下，并根據(jù)筆者的感受與思考進(jìn)行評(píng)析，與大家交流.

1 設(shè)置懸念，情境引入

(環(huán)視全體學(xué)生后)

師：請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問(wèn)題.(投影)口袋里有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)紅球和編號(hào)為4的一個(gè)白球，這四個(gè)球除顏色之外完全相同.甲、乙兩位同學(xué)做了這樣一個(gè)游戲：從袋中一次任意摸出兩個(gè)球，若取到兩個(gè)同色球則是甲贏，不同色則是乙贏.這個(gè)游戲公平嗎？

師：這個(gè)游戲的公平性，取決于什么？

生眾：看甲贏與乙贏的概率是否相等.

師：你們說(shuō)，相等嗎？

(眾生七嘴八舌，有認(rèn)為相等的，但大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得不相等.)

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了“古典概型”之后，不需要進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，就能清楚地解決剛才的問(wèn)題.(板書課題)

點(diǎn)評(píng)在游戲中，教師刻意將紅球與白球的個(gè)數(shù)設(shè)置得差別較大，使得學(xué)生難以憑直覺(jué)獲得正確結(jié)論，起到了懸念的效果，從而學(xué)生的注意力與學(xué)習(xí)積極性被充分調(diào)動(dòng)，最后一句話則揭示了學(xué)習(xí)本節(jié)課的意義和價(jià)值.

2 歸納辨析，形成概念

2.1 基本事件

師：先看兩個(gè)試驗(yàn).(投影)試驗(yàn)1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣.

師：可能出現(xiàn)哪幾個(gè)結(jié)果？

生眾：兩個(gè)結(jié)果：“正面向上”和“反面向上”.

師：每一個(gè)結(jié)果是什么事件？為什么？

生眾：都是隨機(jī)事件，因?yàn)樵谝淮卧囼?yàn)中，每個(gè)結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.

師：這兩個(gè)隨機(jī)事件在同一次試驗(yàn)中，能同時(shí)發(fā)生嗎？

生眾：不能.

師：所以它們是什么關(guān)系？

生眾：互斥.

(投影)試驗(yàn)2：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.

(師生對(duì)話與試驗(yàn)1類似，此處略)

師：我們把這樣的隨機(jī)事件叫做基本事件，它們是兩兩互斥的，通常情況下，它們是試驗(yàn)中最簡(jiǎn)單的結(jié)果，可以比作一個(gè)一個(gè)“細(xì)胞”.在試驗(yàn)2中，如果記“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”為事件A，那么，事件A還是一個(gè)“細(xì)胞”嗎？

生1：不是，它包含了三個(gè)“細(xì)胞”：“2點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“6點(diǎn)”.

師：我們不妨把它叫做一個(gè)“細(xì)胞群”.在試驗(yàn)2中，“最大的細(xì)胞群”應(yīng)該包含哪幾個(gè)“細(xì)胞”呢？

生2：“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”、“6點(diǎn)”，共六個(gè).

師：這個(gè)“細(xì)胞群”是什么事件？

生2：是必然事件.

師：由此可見(jiàn)，分析一個(gè)試驗(yàn)，首先就要分析它包含哪些基本事件.回到游戲，請(qǐng)寫出它包含的所有基本事件.

(一學(xué)生上臺(tái)板演，教師巡視，對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的規(guī)律不明顯的列舉方式進(jìn)行了糾正，并介紹了樹狀圖.)

點(diǎn)評(píng)“基本事件”是概率中的一個(gè)重要概念，解決概率問(wèn)題通常都要從分析基本事件入手，人教A版教材還給出了基本事件的兩個(gè)特點(diǎn)：(1)每?jī)蓚€(gè)基本事件都是互斥的；(2)每個(gè)事件(除不可能事件)都可表示為基本事件的和.在教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)試驗(yàn)1和試驗(yàn)2自主總結(jié)出這兩個(gè)特點(diǎn)是很困難的，尤其是特點(diǎn)(2).教師此處的設(shè)問(wèn)非常具體，思維指向明確，符合學(xué)情，避免了因設(shè)問(wèn)籠統(tǒng)、模糊而導(dǎo)致不必要的思維發(fā)散，教學(xué)定位準(zhǔn)確.用“細(xì)胞”、“細(xì)胞群”打比方，恰如其分，令人印象深刻.

2.2 古典概型

師：現(xiàn)在，讓我們換個(gè)角度.在試驗(yàn)1、2中，每個(gè)試驗(yàn)所包含基本事件的個(gè)數(shù)是有限的還是無(wú)限的？每個(gè)試驗(yàn)中基本事件發(fā)生的可能性大小是否相等？

(學(xué)生思考片刻)

生3：每個(gè)試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)都是有限的，基本事件發(fā)生的可能性都是相等的.

師：如果一個(gè)試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，并且，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，那么我們就把具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.(板書概念)

師：剛才的“游戲公平性問(wèn)題”， 它是古典概型嗎？為什么？

生3：是，因?yàn)榛臼录?個(gè)，是有限的；每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的(師追問(wèn)：為什么是等可能的？生3：因?yàn)槭恰叭稳　?，符合古典概型的兩個(gè)條件.

師：再看兩個(gè)問(wèn)題.

(投影)投點(diǎn)問(wèn)題：如圖1，向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

打靶問(wèn)題：如圖2，某軍訓(xùn)學(xué)員向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：“命中10環(huán)”、“命中9認(rèn)環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”.你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

(學(xué)生思考、互相小聲議論)

生4：都不是.第一個(gè)不滿足有限性(師追問(wèn)：基本事件是什么？為什么不滿足有限性？生4：基本事件是圓內(nèi)任一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè))；第二個(gè)不滿足等可能性(師追問(wèn)：基本事件是什么？為什么不滿足等可能性？生4：最起碼，“命中10環(huán)”與“不中環(huán)”肯定不是等可能的，“命中10環(huán)”難，“不中環(huán)”很容易).(眾生笑)

師：不錯(cuò)！從剛才三個(gè)例子可以看出，判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵看它的基本事件是否滿足有限性和等可能性，二者缺一不可.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生歸納特點(diǎn)、形成概念并及時(shí)辨析鞏固，為后續(xù)的概念應(yīng)用與深化理解打下了基礎(chǔ).教師適時(shí)到位的“追問(wèn)”，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生立足基本事件的分析，抓住概念的核心要素.

3 引導(dǎo)探究，獲得公式

師：對(duì)于一個(gè)古典概型，如何求其中某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率呢？仍然以試驗(yàn)2為例.首先，這6個(gè)互斥的基本事件合在一起，就構(gòu)成了——

生眾：必然事件.

師：而必然事件的概率是——

生眾：是1.

師：因?yàn)槊總€(gè)基本事件發(fā)生的概率是相等的，所以，一個(gè)基本事件發(fā)生的概率是——

師：記“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)5”為事件A，它含有多少個(gè)基本事件？概率是多少？

師：這里的6、5分別表示什么？

生5：6表示基本事件的總數(shù)，5表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù).

師：從特殊到一般，對(duì)于古典概型，若基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率是——

師：很好！這就是古典概型中隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式.(板書公式)

師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下，游戲中甲贏與乙贏的概率分別是多少？

(學(xué)生獨(dú)立思考)

師：非常好！可見(jiàn)，游戲是公平的.這個(gè)結(jié)果與你們當(dāng)初的感覺(jué)吻合嗎？(很多學(xué)生不好意思地微笑)

師：學(xué)好數(shù)學(xué)，可以使我們的思維變得理性，避免判斷的盲目性.當(dāng)然，用這個(gè)公式計(jì)算概率是有前提的：所用概率模型必須是古典概型.

點(diǎn)評(píng)教師從實(shí)例出發(fā)，結(jié)合概率的有關(guān)性質(zhì)，以問(wèn)題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生歸納、類比，通過(guò)合情推理得出古典概型的概率計(jì)算公式，進(jìn)而解決了上課伊始提出的“游戲公平性問(wèn)題”.設(shè)置的問(wèn)題串條理清晰、梯度合理，有利于學(xué)生保持思維的連貫性.值得商榷的是，只用一個(gè)特殊事例就歸納出計(jì)算公式，是否顯得單薄了些？另外，這個(gè)公式完全可以通過(guò)演繹進(jìn)行推導(dǎo)，若考慮到學(xué)生的接受能力而不在本節(jié)課上處理，是否也應(yīng)考慮讓學(xué)生課下思考，以完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

4 遷移應(yīng)用，深化理解

(投影)例：先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，求兩次都出現(xiàn)“正面朝上”的概率.

(學(xué)生略作思考后)

師：這個(gè)試驗(yàn)中的基本事件有哪些呢？

生7：兩正，兩反，一正一反，一反一正，共四個(gè).(師追問(wèn)：你為什么認(rèn)為“一正一反”與“一反一正”是不同的結(jié)果呢？生7：因?yàn)橛小跋群蟆敝?)

師：大家同意嗎？(生眾：同意)這四個(gè)基本事件是不是等可能的？

生眾：是的.

師：所求的概率是多少？

(投影)變式：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的相同硬幣，求兩枚都正面朝上的概率.

師：這個(gè)試驗(yàn)中的基本事件有哪些呢？請(qǐng)同學(xué)們相互交流討論，具體列出來(lái).

(教師巡視，待學(xué)生討論聲漸小后，請(qǐng)一位同學(xué)發(fā)言)

生8：基本事件有三個(gè)：兩正，兩反，一正一反.

師：他認(rèn)為“一正一反”與“一反一正”是同一個(gè)結(jié)果，有不同意見(jiàn)嗎？(見(jiàn)無(wú)人表示異議)你們這樣認(rèn)為的依據(jù)是什么？

生眾：因?yàn)轭}目說(shuō)的是“同時(shí)”.(同學(xué)們表現(xiàn)得都很一致，且充滿自信)

師：假如，有一對(duì)雙胞胎男孩，外表長(zhǎng)得非常像，你們說(shuō)，是一個(gè)人，還是兩個(gè)人？

生眾：兩個(gè)人.

師：對(duì)！還是可以用哥哥、弟弟把他們區(qū)分開.那么，“哥哥笑、弟弟哭”與“哥哥哭、弟弟笑”是同一種情況嗎？(課件顯示相應(yīng)的畫面進(jìn)行對(duì)比，如圖3)

生眾：不是.

師：類似地，兩枚硬幣，即使外觀、質(zhì)地等完全相同，也還是兩枚硬幣，而不是一枚，還是有區(qū)別的，可不可以用A、B把它們區(qū)分開？

生眾：可以.

師：正如一位哲人所說(shuō)：世界上沒(méi)有兩片完全相同的樹葉.因此，“A正B反”與“A反B正”是相同的結(jié)果還是不同的結(jié)果？

生眾：是不同的結(jié)果.(課件顯示相應(yīng)的畫面進(jìn)行對(duì)比，如圖4)

師：那么，這個(gè)試驗(yàn)到底包含多少個(gè)等可能的基本事件？所求的概率是多少？

師：若將“A正B反”與“A反B正”合并成“一正一反”，則只有三個(gè)基本事件，

生10：我明白了，這時(shí)候，基本事件不是等可能的，不是古典概型，不能用這個(gè)公式計(jì)算概率.

師：很好！能夠弄清錯(cuò)誤的根源，比給出正確解答更可貴.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生應(yīng)用古典概型知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，往往著眼于如何“計(jì)數(shù)”，而忽視了概念判斷，特別是等可能性的判斷，導(dǎo)致公式誤用，這也是本節(jié)課的難點(diǎn).教師設(shè)置了兩個(gè)對(duì)比鮮明的“擲硬幣”問(wèn)題，例題的解決看似“順風(fēng)順?biāo)保瑓s為變式的“誤解”做足了鋪墊.為了克服學(xué)生在變式中理解上的困難，教師充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，“雙胞胎”的比喻較為形象貼切，并引用了微積分創(chuàng)始人萊布尼茨的名言，從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，效果良好.當(dāng)然，若能在課后組織學(xué)生親歷隨機(jī)模擬試驗(yàn)，則更有利于加深學(xué)生對(duì)等可能性的體會(huì).

(投影)練習(xí)1：口袋里有未編號(hào)的三個(gè)紅球和兩個(gè)藍(lán)球，這五個(gè)球除顏色外完全相同，現(xiàn)從中一次任意摸出兩個(gè)球.求摸出兩個(gè)紅球的概率.

練習(xí)2：同時(shí)擲兩個(gè)骰子，求點(diǎn)數(shù)之和為7的概率.

(兩道練習(xí)依次呈現(xiàn)，對(duì)于每一道練習(xí)，教師都是首先引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路，然后讓學(xué)生獨(dú)立作答，教師巡視，有意讓出現(xiàn)不同解答的學(xué)生上臺(tái)板演，最后教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析評(píng)價(jià).限于篇幅，具體過(guò)程從略)

師：經(jīng)過(guò)剛才的練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，利用古典概型求解概率的一般步驟有哪些？

(學(xué)生討論，教師補(bǔ)充完善后，投影)

根據(jù)具體試驗(yàn)列舉所有的基本事件→判斷試驗(yàn)是否為古典概型→確定基本事件總數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)→代公式.

點(diǎn)評(píng)從素材背景上看，兩個(gè)練習(xí)都是古典概型的經(jīng)典問(wèn)題，練習(xí)1中未編號(hào)的球與“游戲公平性問(wèn)題”中已編號(hào)的球形成對(duì)比，和練習(xí)2的意圖相同，都是用來(lái)幫助學(xué)生深化理解概念的；從教學(xué)方式上看，教師能夠組織學(xué)生獨(dú)立思考，敢于暴露學(xué)生的思維錯(cuò)誤，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，顯示出較強(qiáng)的“以生為本”意識(shí)，及時(shí)總結(jié)解題步驟也有利于學(xué)生形成科學(xué)的解題方法和思路.

5 課堂小結(jié)，布置作業(yè)(略)

總評(píng)本節(jié)課，教師圍繞“古典概型”這個(gè)核心概念，精心設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中得到了應(yīng)有的提升，主要特色有三點(diǎn)：

第一，科學(xué)把握了教學(xué)的重心.“教什么比怎么教更重要”，以古典概型為例，不少教師將主要精力放在如何計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)上，而對(duì)概念中的“等可能性”判斷則輕描淡寫，往往因?yàn)橛X(jué)得“不好講”，所以敷衍了事、一帶而過(guò)，嚴(yán)重偏離了教學(xué)的重心.本節(jié)課，教師沒(méi)有因?yàn)樯礌顩r不太好就回避難點(diǎn)，而是利用質(zhì)疑、設(shè)“陷阱”、辨析等方式，引起思維沖突，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解不斷得以深入.

第二，充分關(guān)注了學(xué)生的發(fā)展.學(xué)生的基礎(chǔ)再差，也有自己的認(rèn)知需求，也有思維上的“相異構(gòu)想”，關(guān)鍵是能否真正地尊重學(xué)生的主體地位，而不是僅僅停留在口頭上.本節(jié)課，教師注重以層層遞進(jìn)、坡度合理的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生，由于符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生才能“有東西可想”，從而“愿意想”、“想有所獲”，思維始終處于積極的狀態(tài)；注重利用“追問(wèn)”來(lái)擴(kuò)大戰(zhàn)果；注重及時(shí)的表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)，增加學(xué)生的成就感；注重學(xué)生的獨(dú)立思考、交流互動(dòng)、上臺(tái)展示，在平等對(duì)話中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

第三，精心設(shè)計(jì)了自然的過(guò)程.教學(xué)過(guò)程，貴在自然.本節(jié)課，在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中，以“游戲公平性問(wèn)題”為主線，自然建構(gòu)了基本事件、古典概型的概念，獲得了古典概型的概率計(jì)算公式；在概念深化的過(guò)程中，以“相同結(jié)果”還是“不同結(jié)果”的辨析為主線，通過(guò)變換問(wèn)題情境，讓學(xué)生不斷面對(duì)新的挑戰(zhàn)，自然引發(fā)學(xué)生思維上的矛盾沖突；在解決難點(diǎn)的過(guò)程中，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)中的生活問(wèn)題巧妙地聯(lián)系在一起，自然引導(dǎo)學(xué)生消除認(rèn)知障礙，走出認(rèn)知誤區(qū).

1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教A版必修3)[M].人民教育出版社，2008,11

2 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論(第二版)[M].北京師范大學(xué)出版社，2008，4

3 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)(第二版)[M].北京師范大學(xué)出版社，2007，8