江蘇省張家港市第一中學(xué) (郵編：215600)

“微探究”是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，圍繞某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)或某一問題，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生用自我探究或合作交流的方式學(xué)習(xí)．在10年的課改過程中，探究教學(xué)的理念雖然已經(jīng)深得人心，探究式教學(xué)的方式已經(jīng)在數(shù)學(xué)教育界形成了廣泛的共識(shí)．但真正做到在課堂教學(xué)中的常態(tài)化卻舉步為艱，教學(xué)的現(xiàn)狀令人擔(dān)憂．而微型探究教學(xué)作為探究教學(xué)的一種，為數(shù)學(xué)課堂探究教學(xué)找到了一種有效的實(shí)施途徑．筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)各環(huán)節(jié)中如何滲透微探究，淺談自身的做法與體會(huì)，供參考．

1 概念中的微探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的形成過程

教學(xué)片斷1 在蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊“2.7有理數(shù)的乘方”的教學(xué)中.

師：你還記得嗎？若正方形的邊長為a，則正方形的面積是？

生：a2.

師：若一個(gè)正方體的棱長為a，正方體體積是？

生：a3.

師：“做一做”，將一張報(bào)紙依次對折1次，2次，3次，4次，5次，…，觀察報(bào)紙發(fā)生了什么變化？

生1：報(bào)紙?jiān)絹碓叫?

生2：報(bào)紙?jiān)絹碓胶?

師：觀察對折的次數(shù)與報(bào)紙的層數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生：交流發(fā)現(xiàn)

對折次數(shù) 層數(shù)

1次 2

2次 2×2

3次 2×2×2

4次 2×2×2×2

5次 2×2×2×2×2

… …

師：對折10次呢？

生：10個(gè)2相乘.

師：對折100次呢？

生：100個(gè)2相乘.

師：很好，但這樣表示的話會(huì)不會(huì)給我們的寫法上帶來不便呢？

生：可以用省略號(hào)表示.

師：就算用省略號(hào)表示也還是有些復(fù)雜，有沒有更好的辦法呢?

生：(沉默)

師：想想a2表示2個(gè)a相乘，想想a3表示3個(gè)a相乘.

生：知道了！

學(xué)生總結(jié)乘方的記法和讀法

層數(shù) 記作 讀作

2×2 =222的平方(2的2次方)

2×2×2 =232的立方(2的3次方)

2×2×2×2 =242的4次方

2×2×2×2×2 =252的5次方

… …

乘方的定義：求相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方.乘方的結(jié)果叫做冪.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生動(dòng)手操作后觀察發(fā)生了哪些變化，學(xué)生可能從報(bào)紙的厚度、大小、報(bào)紙的層數(shù)等方面發(fā)現(xiàn)了其中的變化，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察對折的次數(shù)與報(bào)紙的層數(shù)之間所發(fā)生的變化，發(fā)現(xiàn)折次數(shù)和層數(shù)之間的關(guān)系？學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)后很容易就發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但當(dāng)相同的因數(shù)過多后，會(huì)感覺到用算式表達(dá)太復(fù)雜，迫切需要一種簡單的表示方法.這種方法就是乘方，充分體現(xiàn)了引入乘方這個(gè)概念的自覺性和必要性. 通過回憶小學(xué)里學(xué)習(xí)過平方和立方的知識(shí)進(jìn)行類比，猜想4次方、5次方等表示方法.同時(shí)由特殊的數(shù)字2引申到a，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想.另外通過讀法能夠讓學(xué)生明白乘方的意義，同時(shí)切身感受到為什么要引入乘方的表示方法，目的是書寫的方便. 通過整個(gè)引入過程中的微探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了乘方這個(gè)概念的形成過程，掌握了概念的本質(zhì).

2 知識(shí)點(diǎn)中的微探究，讓學(xué)生感受知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程

教學(xué)片斷2 在蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊“5.5直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中.

師：看圖判斷下列直線和圓的位置關(guān)系?

(1) (2)

(3) (4)

生1：(1)相交

師：理由是什么？

生1：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

生2：(2)相離，沒有公共點(diǎn).

生3：(3)相切，只有一個(gè)公共點(diǎn).

生4：(4)相切，有一個(gè)公共點(diǎn).

生5：(4)好像不是一個(gè)公共點(diǎn).

師：那到底是什么位置關(guān)系呢？如果公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不好判斷，該怎么辦？

生：(沉默)

師：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？

生：3種，在圓外，在圓上，在圓內(nèi).

生：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r的大小來比較.

d>r?在圓外;

d=r?在圓上;

d

師：“直線和圓的位置關(guān)系”能否像“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”一樣用數(shù)量關(guān)系來表示呢？

師：下面把點(diǎn)A變成一條直線，過點(diǎn)A任意作一條直線(如圖1)，能否用OA的長與半徑r來比較確定直線與圓的位置關(guān)系呢？

圖1 圖2 圖3

生：不能.

師：請看圖2，圖3，此時(shí)OA的長沒有變，但直線與圓的位置關(guān)系已經(jīng)變了，確實(shí)不行.

師：看來用OA這條線段的長和半徑r比較不能確定直線與圓的位置關(guān)系，因?yàn)榇藭r(shí)直線可以繞著點(diǎn)A變化.那有沒有其它可以的呢？

生：作垂線段.

師：怎么作垂線段？

生：過圓心作直線的垂線段.

師：此時(shí)可以嗎，為什么？

生：過直線外一點(diǎn)只能作一條垂線段，此時(shí)它不會(huì)再繞著點(diǎn)D變化了.

師：那么判斷直線與圓的位置關(guān)系需要找到哪條線段呢？

生：找圓心到直線的垂線段，用垂線段和半徑r比較.

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)知識(shí)的難點(diǎn)在于找到圓心到直線的距離，通過圓心與直線的距離和半徑比較來從數(shù)量上判斷直線與圓的位置關(guān)系.首先通過復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，把點(diǎn)變?yōu)橹本€后，進(jìn)行類比探索直線與圓的位置關(guān)系.同時(shí)通過探究發(fā)現(xiàn)，直線上任意一點(diǎn)和圓心的線段和半徑比較不能反映直線與圓的位置關(guān)系，只有圓心到直線的垂線段的長和半徑比較才能確定直線與圓的位置關(guān)系.讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到：直線與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離和半徑之間的數(shù)量關(guān)系；反過來，也可以通過點(diǎn)到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系. 整個(gè)過程通過微探究讓學(xué)生由點(diǎn)變線，由普通線段到垂線段，感受知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程，弄清知識(shí)的來龍去脈，形成完整的知識(shí)體系.

3 例題中的微探究，讓學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)真正意義的自我建構(gòu)

教學(xué)片斷3 在蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊“11.2反比例函數(shù)”的教學(xué)中.

在學(xué)生進(jìn)行代入法和圖象法兩種方法解決問題后，設(shè)計(jì)以下問題：

設(shè)計(jì)意圖在例題的教學(xué)中，利用微探究可以使學(xué)生理解問題的本質(zhì)，便于學(xué)生實(shí)現(xiàn)真正意義上的自我建構(gòu).問題1是在例題的基礎(chǔ)上把反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行了變化，學(xué)生采用圖象法馬上可以解決.這時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生采用代入法進(jìn)行完成，由于系數(shù)k的不確定，有的學(xué)生可能無從下手，有的學(xué)生會(huì)想到取特殊值進(jìn)行處理，培養(yǎng)了用創(chuàng)造性思維去解決問題.

問題2是在問題1的基礎(chǔ)上把幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也變成了未知數(shù)，這時(shí)學(xué)生在問題中學(xué)會(huì)了用特殊值法解決，從而更好的鞏固了這類例題.問題3和問題4是在問題1、2的基礎(chǔ)上繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生對這兩種方法的掌握，使學(xué)生的思維更加深刻，更好的理解幾個(gè)問題之間的邏輯關(guān)系，真正提高了分析問題、解決問題的能力. 數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，一直是課堂教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵，通過微探究進(jìn)行教學(xué)，主要是讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過自身的積極探索，由表及里，由簡入難的掌握知識(shí)，從而真正實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的自我建構(gòu).

4 習(xí)題中的微探究，讓學(xué)生的思路不斷拓寬，培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新思維

教學(xué)片斷42013年濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)三模14題.

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF=________________．

分析由題意PE、PF是高，由高可以聯(lián)想到三角形的面積，連接PO，則PE、PF是△OAP和△ODP的高，通過等積法可以完成．

解法一在直角△ABD中，AB=3，AD=4，

所以O(shè)A=OD=2.5，

即△ODP的面積+△OAP的面積=3，

2.5(PE+PF)=3，

思考解法一是根據(jù)面積相等來完成的，還有其它的方法嗎？

分析由題意PE、PF是高，可以發(fā)現(xiàn)△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，這樣利用相似可以解決嗎？學(xué)生探究．

解法二設(shè)AP=x，PD=4-x．

因?yàn)椤螮AP=∠EAP，∠AEP=∠ADC，

所以△AEP∽△ADC，故

①

同理可得△DFP∽△DAB，故

②

思考解法一是根據(jù)面積相等來完成的，解法二是利用相似來完成的，還有其它的方法嗎？

分析由題意PE、PF是高，可以發(fā)現(xiàn)△PAE、△PDF都是直角三角形，由直角三角形就會(huì)想到三角函數(shù)，那么利用三角函數(shù)能解決嗎？學(xué)生探究．

解法三因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，AB=3，AD=4，

所以BD=AC=5，OD=OC，所以設(shè)∠BDC=∠DCA=α，

所以PE=PAsinα，

所以PE+PF=PAsinα+PDsinα=ADsinα，

因?yàn)樵赗t△BAD中，AB=3，AD=4，BD=AC=5，

設(shè)計(jì)意圖在習(xí)題的教學(xué)中，利用微探究可以使學(xué)生思路不斷拓寬，思維更加發(fā)散.解法一是根據(jù)PE、PF是高，由此聯(lián)想到三角形的面積，利用等積法來解決的.解法二在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)PE、PF是高可以得到兩對三角形相似，那利用相似能否解決問題呢，學(xué)生在探索后發(fā)現(xiàn)也可以解決.解法三是發(fā)現(xiàn)PE、PF是高后，存在兩個(gè)直角三角形，由直角三角形想到三角函數(shù)，學(xué)生經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn)利用三角函數(shù)的知識(shí)也可以解決.本道習(xí)題在解法一完成的基礎(chǔ)上并沒有結(jié)束，而是讓學(xué)生進(jìn)一步去探索，在探索的過程中思路不斷的拓寬，采用不同的思想都可以解決. 學(xué)生通過對這三種方法的掌握，使學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維得到了進(jìn)一步發(fā)展.

微探究可以運(yùn)用在數(shù)學(xué)課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)，運(yùn)用微探究組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，可以改變單一的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)和創(chuàng)新能力．讓學(xué)生在概念教學(xué)中感受到概念的形成過程，在知識(shí)點(diǎn)的掌握中體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，在例題的學(xué)習(xí)中理解知識(shí)的本質(zhì)，真正實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)，在習(xí)題的訓(xùn)練中不斷拓寬思路，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，使數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)煥發(fā)新的活力．