程建玲

(鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)部, 河南 鄭州 451150)

0 引言

國(guó)內(nèi)外多種高等數(shù)學(xué)教材在證明微分中值定理時(shí)，大都引進(jìn)滿足定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，然后應(yīng)用羅爾定理證明.有利用面積構(gòu)造輔助函數(shù)[1]，有利用距離構(gòu)造輔助函數(shù)[2]，有利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造輔助函數(shù)[3]，還有利用微分方程構(gòu)造輔助函數(shù)[4].然而，輔助函數(shù)是如何找到的？它們之間有沒(méi)有聯(lián)系？輔助函數(shù)有沒(méi)有一般形式？這些問(wèn)題教材談的比較簡(jiǎn)單，不是很深入透徹，初學(xué)者不容易理解.筆者經(jīng)過(guò)反復(fù)思考，對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行探討，最終得出構(gòu)造輔助函數(shù)的一般形式.

1 拉格朗日中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造

1.1 拉格朗日中值定理

1.2 拉格朗日中值定理的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造

圖1 拉格朗日中值定理圖

(1)

此時(shí)L就是過(guò)原點(diǎn)(0,0)且平行于AB的直線.

(2)

此時(shí)L就是直線AB.

(3)

此時(shí)L就是過(guò)點(diǎn)(a,0)且平行于AB的直線.

(4)

此時(shí)L就是過(guò)點(diǎn)(m,n)且平行于AB的直線.

以上(1)(2)(3)(4)任一個(gè)輔助函數(shù)都可以用來(lái)證明拉格朗日定理.以上這些輔函數(shù)都有一個(gè)共同特點(diǎn)：直線L都平行于弦AB,這樣作差后構(gòu)造的輔助函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值才能相等.

2 柯西中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造

2.1 柯西中值定理

2.2 柯西中值定理的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造

受拉格朗日定理證明中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，一般地可設(shè)輔助函數(shù)為：

其中c,d為任意常數(shù)且c≠0，容易驗(yàn)證ψ(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件.

(5)

(6)

(7)

當(dāng)c=g(b)-g(a),d=g(a)f(b)-g(b)f(a)時(shí)，得到

ψ(x)=[g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)+g(a)f(b)-g(b)f(a)

(8)

以上(5)(6)(7)(8)任一個(gè)輔助函數(shù)都可以用來(lái)證明柯西中值定理.

3 微分中值定理的推廣

我們知道，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，更一般地可推廣成如下定理.

定理1：設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)都在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在點(diǎn)η∈(a,b)使

證明：作輔助函數(shù)

顯然，F(xiàn)(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，因此存在點(diǎn)η∈(a,b)使得F′(η)=0，定理1得證.

此定理的幾何意義是：若空間曲線

在兩端點(diǎn)處連續(xù)，在內(nèi)點(diǎn)處都有切線，則存在η∈(a,b)使曲線上點(diǎn)(f(η),g(η),h(η))處的切向量(f′(η),g′(η),h′(η))與向量(f(a),g(a),h(a)),(f(b),g(b),h(b))共面.

再進(jìn)一步，我們有

定理2：設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x),k(x)都在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在點(diǎn)η∈(a,b)使

證明：作輔助函數(shù)

顯然，G(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，因此存在點(diǎn)η∈(a,b)使得G′(η)=0，定理2得證.

當(dāng)k(x)=0時(shí)，定理2即為定理1，故定理2是定理1的推廣.

4 總結(jié)

拉格朗日中值定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，但怎么構(gòu)造輔助函數(shù)是難點(diǎn)，本文從不同角度構(gòu)造出了輔助函數(shù)，并給出了輔助函數(shù)的一般形式，最后對(duì)微分中值定理進(jìn)行了推廣.

[1] 王長(zhǎng)遠(yuǎn). 構(gòu)造思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2011，28(5)：20-23.

[2] 楊毅，徐根海.微分中值定理教學(xué)新探[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào),2012,34(2)：80-83.

[3] 辛春元.微分中值定理的應(yīng)用研究[J].經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊,2012,171(25)：322-323.

[4] 劉冬兵，馬亮亮.輔助函數(shù)在微分中值定理中的應(yīng)用[J].攀枝花學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,30(2)：101-103.