畢殿杰,孫玉濤

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).自從八十年代初始Hopfield[1]首次利用微分方程組對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行描述并分析研究其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多研究學(xué)者考慮到神經(jīng)元之間信號(hào)傳輸?shù)难舆t，提出并研究了大量的具有時(shí)滯因素的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2-7]. 在文獻(xiàn)[6]中，徐和何研究了如下具有兩個(gè)神經(jīng)元的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

在模型(1)中，xi(t)(i=1,2)表示第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻t的狀態(tài).f(xi)(i=1,2)表示兩個(gè)神經(jīng)元的連接函數(shù)，α1，α2，a，b，c和d為模型參數(shù).τ1和τ2為兩個(gè)神經(jīng)元之間的信號(hào)傳遞延遲，且均為正常數(shù).雖然在文獻(xiàn)[6]研究了模型(1)的穩(wěn)定性和Hopf分支，但是文獻(xiàn)[6]作者只是以τ1與τ2二者之和為分支參數(shù)討論的.本文研究更一般的情形，利用τ1與τ2兩個(gè)時(shí)滯的不同組合為分支參數(shù)，討論不同情形下的穩(wěn)定性和Hopf分支問(wèn)題.

1 Hopf分支存在性

為了方便討論，首先給出如下假設(shè)：(H1)f∈C2(R),f(0)=0,且uf(u)>0(u≠0).基于以上假設(shè)易知，E*(0,0)是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn).將系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E*(0,0)處線性化，得到，

(2)

進(jìn)而，得到系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E*(0,0)處的特征方程

λ2+A1λ+A0+B0e-λ(τ1+τ2)=0.

(3)

情形(1).τ1=τ2=0.方程(3)變?yōu)?/p>

λ2+A1λ+A0+B0=0.

(4)

情形(2).τ1>0,τ2=0.方程(3)變?yōu)?/p>

λ2+A1λ+A0+B0e-λτ1=0.

(5)

令λ=iw1(w1>0)為方程(4)的根,得到

(6)

進(jìn)而，可以得到

(7)

進(jìn)而，由(6)可以計(jì)算

接下來(lái)，對(duì)橫街性條件進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)方程(5)的兩端同時(shí)對(duì)τ1進(jìn)行求導(dǎo)，得到

因此,

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[8]中的Hopf分支存在性定理，有下列結(jié)果.

定理2.1 對(duì)于系統(tǒng)(1),當(dāng)τ1∈[0,τ10)時(shí)，平衡點(diǎn)E*(0,0)漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ1=τ10時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E*(0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.

情形3.τ1=0,τ2>0.方程(3)變?yōu)?/p>

λ2+A1λ+A0+B0e-λτ2=0.

(8)

對(duì)比方程(5)和方程(8),可以得到關(guān)于τ1=0,τ2>0時(shí)的下列結(jié)果

情形4.τ1=τ2=τ>0.方程(3)變?yōu)?/p>

λ2+A1λ+A0+B0e-2λτ=0.

(9)

令λ=iw(w>0)為方程(9)的根,有

(10)

進(jìn)而得到

對(duì)方程(9)兩邊同時(shí)對(duì)τ求導(dǎo)，得到

進(jìn)而,

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[8]中的Hopf分支存在性定理，有下列結(jié)果.

定理2.3 對(duì)于系統(tǒng)(1),當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，平衡點(diǎn)E*(0,0)漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E*(0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.

情形5.τ1>0，τ2>0且τ2∈(0,τ20).令λ=iw1*(w1*>0)為方程(3)的根，有

(11)

進(jìn)而，得到

接下來(lái)，對(duì)橫截性條件進(jìn)行驗(yàn)證.在方程(3)的兩邊，同時(shí)對(duì)τ1進(jìn)行求導(dǎo)，得到

因此，

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[8]中的Hopf分支存在性定理，有下列結(jié)果.

2 數(shù)字模擬

(12)

圖1 當(dāng)τ1=0.003<τ10時(shí)，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ1=0.015>τ10時(shí)，系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

圖3 當(dāng)τ=0.0015<τ0時(shí)，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定

圖4 當(dāng)τ=0.007>τ0時(shí)，系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

圖5 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定

圖6 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

3 結(jié)論

本文研究了一類具有時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.以兩個(gè)時(shí)滯的不同組合作為分支參數(shù)，通過(guò)分析模型相應(yīng)特征方程根的分布，確定了模型產(chǎn)生Hopf分支的充分條件.當(dāng)時(shí)滯小于臨界值時(shí)，模型漸近穩(wěn)定.而一旦時(shí)滯的取值超過(guò)臨界值，模型將失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分支.最后，利用仿真實(shí)例驗(yàn)證了以上理論結(jié)果的正確性.對(duì)于Hopf分支的性質(zhì)，有待進(jìn)一步研究.

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