王巍，陳衛(wèi)東，張寶財，吳限德，路勝卓，于佳

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

多管火箭武器以其射擊距離遠(yuǎn)、覆蓋面大、成本低廉和作戰(zhàn)效費比高等特點成為國內(nèi)外研究的重點。多管火箭彈箭體間相對距離較近、多枚火箭彈處于同一發(fā)射平臺、相互間干擾嚴(yán)重，導(dǎo)致每枚火箭彈起始擾動隨機性較大［1-2］，落點散布成為制約其性能的主要問題。因此，對火箭彈的射序和射擊間隔進行調(diào)整和優(yōu)化，以期最大限度減小起始擾動對落點散布的影響，以達(dá)到提高射擊精度的目的。射擊密集度是多管火箭武器系統(tǒng)主要的作戰(zhàn)性能指標(biāo)之一，發(fā)射動力學(xué)理論與大量試驗證明，彈箭起始擾動是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一，彈箭起始擾動取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及射擊間隔和發(fā)射順序設(shè)計。

本文在不改變武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境的前提下，采用復(fù)合形優(yōu)化算法，以射擊時間間隔和發(fā)射順序為設(shè)計變量，建立了多管火箭彈射擊密集度優(yōu)化模型，優(yōu)化得到現(xiàn)有的約束條件下最佳射擊時間間隔和順序，提高多管火箭彈射擊密集度。

1 影響射擊密集度的因素

射擊密集度是多管火箭彈的一個重要效能指標(biāo)，表征彈著點對于平均彈著點的密集程度，通常用其中間誤差E表示。影響射擊計密集度的主要因素包括多管火箭彈的各種隨機因素和武器系統(tǒng)的固有力學(xué)特性。前者是無法預(yù)先確定的，如陣風(fēng)、起始擾動、推力偏心、質(zhì)量分布不均衡等;后者是可以預(yù)先確定的，如彈炮相互作用、火箭彈的裝填位置、射序等。對非隨機性擾動因素的影響可以用彈道修正理論進行修正，而對隨機性擾動因素的影響，則無法修正。

在外彈道學(xué)中，如果火箭彈在標(biāo)準(zhǔn)條件下作無擾動飛行，其彈道是確定曲線，稱為理想彈道。在理想彈道方程組中，沒有考慮的干擾因素稱為擾動因素［3］。這些擾動因素是受擾動后的實際彈道諸元與理想彈道諸元之間產(chǎn)生偏差?；鸺龔椘鹗紨_動指彈丸外彈道方程起始條件對應(yīng)的相關(guān)起始參量，作為6自由度剛體的彈丸方程有12個起始參量，即轉(zhuǎn)動角、速度角、線位移、線速度各3個。起始擾動包括起始擺動角 Φ0、起始擺動角速度、起始偏角Ψ0及其角速度以及起始線位移r0、線速度、自轉(zhuǎn)角γ0和自轉(zhuǎn)角速度。起始擾動作為火箭彈自由飛行階段的起始條件，是影響射彈散布的一個主要原因?；鸺龔椘鹗紨_動是在發(fā)射過程中彈、炮、藥、環(huán)境等因素綜合影響的結(jié)果。任何火箭炮的動態(tài)特性對于射擊密集度的影響，都必須通過火箭彈起始擾動來反映。

發(fā)射動力學(xué)理論與大量試驗證明，彈箭起始擾動是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一，彈箭起始擾動取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及發(fā)射順序和射擊間隔設(shè)計，不同的地面剛度引起多管火箭彈系統(tǒng)振動特性不同，不同的振動特性直接影響著多管火箭彈的射擊密集度;多管火箭彈作為連射武器，射序和射擊間隔對多管火箭彈射擊密集度的影響非常大，這是因為同一門多管火箭彈在不同射序和射擊間隔發(fā)射時引起多管火箭彈系統(tǒng)的質(zhì)量分布和剛度分布等參數(shù)不同，從而引起其振動特性不同，每一發(fā)火箭彈的發(fā)射初始條件亦不同，射擊頻率與固有振動頻率、彈炮相互作用的位置及時間的匹配關(guān)系對其動態(tài)性能的影響非常突出。

2 射序和射擊間隔優(yōu)化方案

多管火箭彈最佳射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計方案由3部分組成，分別是優(yōu)化算法、外彈道模型和迭代仿真求解。其中，優(yōu)化算法包括射序優(yōu)化算法、射擊間隔優(yōu)化算法和同時考慮射序和射擊間隔的優(yōu)化算法;迭代仿真包括仿真結(jié)果分析和根據(jù)精度的設(shè)計變量更新策略。射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計方案如圖1所示，時間約束、射擊順序約束、平臺約束和其他約束共同組成射擊約束。

圖1 射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計方案Fig.1 Fire sequence and interval optimization scheme

3 射序和射擊間隔優(yōu)化算法

3.1 優(yōu)化模型的建立

最優(yōu)化問題一般可表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式

式中:f(X)稱為目標(biāo)函數(shù)，用它來評價一個設(shè)計方案好壞的具體數(shù)值評判標(biāo)準(zhǔn);gi(X)≤0(i=1，2，…，m)稱為不等式約束條件，m為不等式約束條件的個數(shù);hj(X)≤0(j=1，2，…，l)稱為等式約束條件，l等式約束條件的個數(shù)。

對于多管火箭彈密集度優(yōu)化問題，若建立優(yōu)化模型，則需要以下3個條件:1)可以更快更好的求解問題的優(yōu)化算法;2)能夠評價多管火箭彈密集度大小的目標(biāo)函數(shù);3)符合實際要求的約束條件。

3.2 目標(biāo)函數(shù)建立

根據(jù)前面所述多管火箭彈射擊密集度優(yōu)化問題的特點，目標(biāo)函數(shù)為離散函數(shù)，沒有具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，只可以通過計算，得到函數(shù)值的信息。而目標(biāo)函數(shù)值，多管火箭彈射擊密集度表征彈著點對于平均彈著點的密集程度，通常用彈著點的中間誤差E表示，可以通過下式計算:

式中:EX和EZ表示多管火箭彈的縱向和橫向密集度;n為射擊次數(shù);為火箭彈的縱向和橫向平均落點。

如前面所述，影響射擊密集度的主要因素包括多管火箭彈的各種隨機因素和武器系統(tǒng)的固有力學(xué)特性。前者是隨機的，不可預(yù)測，也不能夠改變;后者是確定性的，可以通過改變系統(tǒng)參數(shù)來提高密集度，其對射擊密集度的影響，必須通過火箭彈起始擾動來反映，起始擾動是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一。

對于多管火箭彈的密集度優(yōu)化問題，可以把影響密集度的主要因素起始擾動作為設(shè)計變量，其中起始擾動可抽象成12個參量，這些參量受彈炮結(jié)構(gòu)、射擊間隔和射擊順序共同影響。即:彈炮起始擾動取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及發(fā)射順序和射擊間隔。鑒于對原有發(fā)射系統(tǒng)的兼容性，此處要求不改變武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)，同時還應(yīng)適應(yīng)各種作戰(zhàn)環(huán)境，所以通過設(shè)計射擊時間和順序，來提高多管火箭彈密集度。

傳統(tǒng)多管火箭彈的發(fā)射方式是，以一定射序、固定的射擊間隔發(fā)射，但是這種發(fā)射順序和射擊間隔不是最優(yōu)的。本文的目的是求解出最佳的發(fā)射順序和射擊間隔，與傳統(tǒng)發(fā)射方式不同的是，本文所尋求的射擊間隔不是固定的，而是可變的，每發(fā)火箭彈的射擊時間差都可能是不同的，所以提出一種數(shù)組變量表示方法，可以將射擊時間和發(fā)射順序表示在一個變量里。

射擊時間和發(fā)射順序兩個變量，前者是連續(xù)的，而后者是離散的，在一個目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)這樣兩個變量，使問題變得復(fù)雜，對于40管火箭來說，2個變量都是40維的，優(yōu)化問題維數(shù)過高，便會增加求解問題的難度，為了解決這一問題，本文提出一種新的數(shù)組變量 X=(t1，t2，…，t40)，其中，ti(i=1，2，…，40)表示第i號火箭彈的射擊時間，而非射擊間隔?；鸺龔椀木幪栐瓌t遵循原有的發(fā)射順序，而非射擊間隔，如圖2所示，為某火箭武器的發(fā)射順序和裝填位置，根據(jù)火箭彈原有的發(fā)射順序進行排序，記為(1，2，…，40)。這里，火箭彈的編號指的并不是按照2的發(fā)射順序進行發(fā)射，而是以此發(fā)射順序為基礎(chǔ)，尋求比之更優(yōu)的發(fā)射順序。若i=5，則表示編號為5的火箭彈的射擊時間，而它的發(fā)射順序可以按照所有火箭彈的射擊時間排序來表示，所有ti(i=1，2，…，40)從小到大排列，若t5排在第10位，則表示編號為5的火箭彈的射序是10。所以X=(t1，t2，…，t40)既可以表示射擊時間，又可以表示射序，將連續(xù)變量和離散變量統(tǒng)一結(jié)合起來，大大的簡化了優(yōu)化問題的復(fù)雜程度，使問題更易于求解。

圖2 40管火箭武器的發(fā)射順序和裝填位置Fig.2 40-tube rocket firing sequence and load position

那么多管火箭彈密集度優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可以建立為

式中:X是表示射擊時間和順序的變量，為一數(shù)組X=(t1，t2，…，t40)，C 為影響密集度的其他量，為確定量。這里沒有考慮隨機因素的影響，因為在確定性因素影響下的最優(yōu)解是考慮隨機性因素最優(yōu)解的必要解，所以不考慮隨機因素影響的最優(yōu)解也具有重要的意義。

3.3 約束條件確定與優(yōu)化模型

多管火箭彈密集度優(yōu)化問題，其設(shè)計變量為射擊時間和射序，按照火箭彈的發(fā)射要求，同一時刻不能同時發(fā)射2枚或2枚以上火箭彈，而是逐一的發(fā)射，即發(fā)射順序是 (1，2，…，40)。而且火箭彈的射擊間隔，不能過長，也不能過短，必須限制在一定時間內(nèi)。多管火箭彈的一個重要的戰(zhàn)術(shù)特點就是在短時間內(nèi)形成強大火力密度，所以射擊間隔過長，就失去了這一戰(zhàn)術(shù)特點，那么多管火箭彈就和單管火箭沒有太大區(qū)別了。射擊間隔不能過短的原因是，考慮到發(fā)射頻率與武器系統(tǒng)的固有振動頻率的匹配關(guān)系對其動態(tài)性能的影響非常突出，和前一發(fā)火箭彈尾焰對空氣的擾動對后一發(fā)火箭彈的彈道影響。

現(xiàn)行40管火箭射擊間隔為0.5 s，一輪齊射時間為20 s，為得到最優(yōu)解將齊射時間放寬為40 s。對于 X=(t1，t2，…，t40)，其滿足的條件是:

多管火箭彈密集度優(yōu)化模型建立如下:

式中:X是表示射擊時間和順序的變量，為一數(shù)組X=(t1，t2，…，t40)，C 為影響密集度的其他量，為確定量。

3.4 復(fù)合形計算過程

復(fù)合形法求解約束最優(yōu)化問題的一種直接算法，是無約束最優(yōu)化問題的單純形法的推廣。它只適用于只有不等式約束的最優(yōu)化問題，使用該法僅需比較目標(biāo)函數(shù)值即可決定搜索方向，算法較簡單，對目標(biāo)函數(shù)的要求不苛刻。

用單純形法求解約束最優(yōu)化問題，在處理約束條件時會出現(xiàn)一些困難。當(dāng)向邊界調(diào)優(yōu)時，單純形容易退化降維，當(dāng)反射點XR≈XC時，產(chǎn)生降維現(xiàn)象，就不能求得優(yōu)化問題的最優(yōu)解。復(fù)合形法是以n1個初始點為頂點構(gòu)成一個不規(guī)則多面體，為防止退化降維現(xiàn)象，復(fù)合形多面體頂點個數(shù)n1要大于n+1，一般n+1＜n1≤2n。

復(fù)合形法尋優(yōu)方法主要工作是生成初始復(fù)合形和更新復(fù)合形。復(fù)合形法的基本思想是:在可行域內(nèi)構(gòu)造初始復(fù)合形，然后通過比較各頂點目標(biāo)函數(shù)值，在可行域中找一個目標(biāo)函數(shù)值有所改善的新點，并用其替換目標(biāo)函數(shù)值較差的頂點，構(gòu)成新的復(fù)合形。不斷重復(fù)上述過程，復(fù)合形不斷變形、轉(zhuǎn)移、縮小，逐漸地逼近最優(yōu)點。當(dāng)復(fù)合形各頂點目標(biāo)函數(shù)值相差不大或者各頂點相距很近時，則目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點即可作為最優(yōu)點。為了減小計算變量，復(fù)合形法在尋優(yōu)過程中一般只以在可行域內(nèi)的反射作為基本搜索策略。

綜合來說復(fù)合形法的算法思路清晰，容易掌握;不需要導(dǎo)數(shù)，不需作一維搜索，對函數(shù)形態(tài)沒有特殊要求;程序結(jié)構(gòu)簡單，計算量不大;對初始點要求低，能較快地找到最優(yōu)解，算法較為可靠。求解時需給出變量取值區(qū)間及初始復(fù)合形;隨著變量維數(shù)增多計算效率明顯降低;對約束條件較多的非凸問題，常出現(xiàn)多次向形心收縮，使收斂速度減慢。

復(fù)合形法的目標(biāo)函數(shù):

n個常量約束條件:ai≤xij≤bii=1，2，…，n。

k個函數(shù)約束條件:

復(fù)合形法的主要步驟如下:

1)初始復(fù)合形2n個頂點的產(chǎn)生

給定滿足約束條件的第一個頂點坐標(biāo):

在n維變量空間中，確定出初始復(fù)合形其余2n－1個頂點，其方法如下:

按常量約束條件產(chǎn)生第j個頂點，Xj中分量值xij(i=1，2，...，n)為

其中:RN是［0，1］之間的偽隨機數(shù)。

顯然，由上述方法產(chǎn)生的初始復(fù)合形的各頂點滿足常量約束條件，在檢查它們是否滿足函數(shù)約束條件，如果不符合，則做出調(diào)整，直到全部滿足方可，其原則是:

假設(shè)前j個點已滿足所有約束條件，而第j+1個點不滿足約束條件，則作如下調(diào)整變換:

式中:T是前j個點的形心，表示為:

此過程一直到滿足約束條件為止。

初始復(fù)合形的2n個頂點確定以后，計算各頂點的目標(biāo)函數(shù)值:

2)求最壞點XR和次壞點XG

3)計算最壞點XR的反射點XT

式中:XF為去掉最壞點的其余點的形心XF=為大于零的反射系數(shù)，一般取α=1.3。

4)確定一個新的頂點代替最壞點XR構(gòu)成新的復(fù)合形。其方法如下:

如果f(XT)＞fG，則用下式修改XT:

直到f(XT)≤fG為止。

然后檢查XT是否滿足所有約束條件。如果某個分量XT(j)不滿足常量約束條件，即如果XT(j)＜aj或XT(j)＞bj，則另XT(j)＜aj+δ或δ為很小的常量，一般取δ=10-8，然后重復(fù)4)。

如果XT不滿足函數(shù)約束條件，則用下式修改XT:

重復(fù)4)，直到f(XT)≤fG且XT滿足所有約束條件為止。此時，令

重復(fù)2)～4)，直到復(fù)合形中各頂點距離小于預(yù)先給定的精度要求為止。

4 優(yōu)化結(jié)果

仿真和試驗數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)［7］，以40 s內(nèi)，40管火箭齊射為例，經(jīng)過復(fù)合形法優(yōu)化，能夠得到縱向最優(yōu)密集度，即彈著點中間誤差EX為

橫向最優(yōu)密集度，即彈著點中間誤差EZ為

多管火箭射擊密集度最優(yōu)結(jié)果，中間誤差E為

表示火箭彈發(fā)射順序和激發(fā)時間的最佳設(shè)計變量(單位:s)為

最佳設(shè)計變量對應(yīng)的射擊順序和裝填位置關(guān)系如圖3所示，每管火箭彈由3組數(shù)字表示，第1行數(shù)字表示優(yōu)化后的射擊順序，第2行數(shù)字分別表示自左至右的排列順序和行列順序。

圖3 優(yōu)化后射擊順序和裝填位置Fig.3 The firing order and load position after the optimization

圖4給出了40管火箭彈射序和射擊間隔優(yōu)化過程的收斂情況，在不考慮隨機因素的情況下，中間誤差在450次迭代后達(dá)到最小。

圖4 優(yōu)化收斂過程Fig.4 The optimization progress

圖5給出了多管火箭彈分別按照優(yōu)化射序與射擊間隔和傳統(tǒng)射擊方式的落點分布情況，從圖中可以看出，優(yōu)化后的火力密集明顯優(yōu)于傳統(tǒng)射序和射擊間隔時的火力密集度。

5 結(jié)束語

通過復(fù)合形法對多管火箭彈射擊間隔和射序優(yōu)化，確定了典型多管火箭彈在給定的約束條件下最佳射序和射擊間隔。通過模擬打靶方式，驗證了優(yōu)化射序?qū)ι鋼裘芗鹊母纳菩Ч?，落點集中在500 m半徑區(qū)域內(nèi)。為形成小起始擾動多管火箭彈精度總體設(shè)計通用方法提供優(yōu)化方法和典型優(yōu)化設(shè)計方案。

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