劉勇，徐廷學(xué)，孫臣良

(1.海軍航空工程學(xué)院接改裝訓(xùn)練大隊(duì)，山東煙臺264001;2.海軍航空工程學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東煙臺264001)

艦炮是重要的艦載武器，為使其具有良好的維修性，需要進(jìn)行維修性評價。目前多采用定量評分法，很強(qiáng)硬地讓專家給出一個分值，忽略了維修性描述及評價的不確定性，易造成評價信息的丟失。在進(jìn)行系統(tǒng)性能評價的過程中，不可避免地要考慮模糊性和隨機(jī)性。二者聯(lián)系緊密，難以分開［1-2］。與模糊綜合評判法、集值統(tǒng)計法、層次分析法、主分量法等系統(tǒng)性能評價方法相比，云理論的優(yōu)勢是它在定性定量的轉(zhuǎn)換過程中綜合考慮了模糊性和隨機(jī)性的關(guān)聯(lián)性，使轉(zhuǎn)換結(jié)果更加科學(xué)。云重心方法已廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜系統(tǒng)的綜合評價。但是，已有的研究成果尚存在以下不足:1)當(dāng)將定性評語轉(zhuǎn)化為云模型時，基于3倍熵規(guī)則的熵參數(shù)的確定方法不夠合理，且缺乏有效的確定超熵參數(shù)方法，使評價云發(fā)生器的設(shè)置不合理，影響到評價的準(zhǔn)確性;2)利用歸一化運(yùn)算求解單個定量指標(biāo)的云重心位置與理想云重心位置的離差存在偏差，且求解綜合云重心偏離度的算法較為繁瑣。針對這些問題，對云重心方法進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于艦炮維修性評價。

1 云理論概述

定義1 設(shè)U是一個用精確數(shù)值表示的定量論域，C是U上的定性概念，若定量值x∈U是C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，x對C的確定度μ(x)∈［0，1］是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù) μ:U→［0，1］?x∈Ux→μ(x)則 x在論域U上的分布稱為云，每個x稱為一個云滴［3］。

云用期望值Ex、熵En、超熵He3個數(shù)值來整體表征一個概念，把模糊性和隨機(jī)性很好地融合到一起，為定性與定量的結(jié)合提供了數(shù)學(xué)依據(jù)。

定義2 設(shè)U是一個用精確數(shù)值表示的定量論域，C是U上的定性概念，若定量值x∈U是C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，x滿足 x～N(Ex，En'2)，其中 En'～N(En，He2)，且x對 C的確定度滿足 μ=exp［-(x-Ex)2/(2En'2)］，則x在U上的分布稱為正態(tài)云。

云模型中，定性概念與定量數(shù)據(jù)之間的相互轉(zhuǎn)換是通過云發(fā)生器來完成的。其中正向正態(tài)云發(fā)生器根據(jù)云的數(shù)字特征 Ex、En和 He產(chǎn)生云滴drop(xi，μi)，其具體算法見文獻(xiàn)［4-5］。

2 評語的云模型表示

2.1 評語的云化過程

評語的云化是將各個評語用正態(tài)云的3個特性(E x，En，He)來表示，生成評價云。云模型和區(qū)間數(shù)之間有良好的映射關(guān)系，且云化的關(guān)鍵在于合理度量專家對該評語的定性認(rèn)識。因此，應(yīng)由各專家給出概念對應(yīng)的區(qū)間數(shù)，然后對區(qū)間數(shù)進(jìn)行集結(jié)［6］，最后轉(zhuǎn)換為云模型。

1)專家給出各個評語對應(yīng)的區(qū)間數(shù)。設(shè)專家集為 E={Ei}(i=1，2，…，t)，評語集為 S={sj}(j=1，2，…，m)，專家 Ei在論域[0，1]上給出 sj的區(qū)間數(shù)記為 cij=［aij，bij］，0≤aij＜bij≤1，則專家群體的評判矩陣為 C=(cij)t×m。

2)將C=(cij)t×m按列進(jìn)行集結(jié)并平均，獲得云化區(qū)間數(shù)cj為

3)運(yùn)用云模型與區(qū)間數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將各云化區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為云模型。評語集與云化區(qū)間數(shù)cj的對應(yīng)關(guān)系為 sj～ cj=［aj-1，aj］。當(dāng) j=1，m 時，cj對應(yīng)的定性評語用半云模型來描述;當(dāng)j=2，3，…，m-1時，cj對應(yīng)的定性評語用對稱云模型來描述。

設(shè)一個對稱云模型對應(yīng)的區(qū)間數(shù)為［a，b］，文獻(xiàn)［7］采用指標(biāo)近似法確定其特征參數(shù)如下:

2.2 2倍熵規(guī)則的提出及熵的改進(jìn)模型

式(2)確定熵的方法顯然是基于3En規(guī)則［1，8］，即認(rèn)為區(qū)間長度是熵的 6倍，區(qū)間［Ex-3En，Ex+3En］之外的云滴可以不考慮。因此，評價云發(fā)生器的各個云圖不會有交叉。圖1很好地證明了這一點(diǎn)，圖中按照式(2)確定各云對象的期望與熵。

圖1 區(qū)間長度為6倍熵時評價的云發(fā)生器Fig.1 Evaluation cloud generator with the interval length of 6 times of the entropy

既然云模型是表達(dá)定性概念的，那么每個云滴至少應(yīng)對一個概念具有確定度，但從圖1可看出，存在μ(x)≈0的點(diǎn)。對某個具體的云模型來說，根據(jù)3En規(guī)則，當(dāng)x=Ex±3En時，就應(yīng)該有μ(x)=0。

事實(shí)上，各云圖之間在確定度較弱的區(qū)域呈現(xiàn)出交織狀態(tài)。因?yàn)樵谶B續(xù)的論域空間上，肯定存在這樣一些云滴，它們對程度上相鄰的2個概念M和N的確定度μM(x)與μN(yùn)(x)差別很小甚至相同，因此很難清晰地分辨出云滴確定的是M還是N。這種交織體現(xiàn)出了概念在對程度表達(dá)上的模糊性與連續(xù)性。問題的關(guān)鍵是如何確定μM(x)≈μN(yùn)(x)處的云滴x。為此，先對確定度的強(qiáng)弱進(jìn)行劃分。

定義3 對于描述定性概念M的云模型，若x∈［Ex-En，Ex+En］，稱x對定性概念M 有強(qiáng)確定度;若 x∈［Ex-En，Ex-2En)∪［Ex+En，Ex+2En)，稱x對定性概念M有中等確定度;若x∈［Ex-2En，Ex-3En)∪［Ex+2En，Ex+3En)，稱 x對定性概念M有弱確定度。

劃分的依據(jù)是:在x=Ex±En處，μ(x)≈0.61;在x=Ex±2En處，μ(x)≈0.15;在 x=Ex±3En處，μ(x)≈0。

在 x∈［Ex-2En，Ex-3En)∪［Ex+2En，Ex+3En)上，μ(x)比較小，且 μ(x)在 x=Ex±2En 處取得最大值，因此，可以認(rèn)為在x=Ex±2En處，云滴對相鄰2個概念M與N的確定度都較小，且最難區(qū)分出云滴屬于哪個概念的云對象。于是，把x=Ex±2En 2個相鄰云模型的交織點(diǎn)，并讓完整云對應(yīng)的區(qū)間數(shù)的長度d=4En，即認(rèn)為表達(dá)定性概念的云滴主要落在［Ex-2En，Ex+2En］內(nèi)。這是本文提出的2倍熵(2En)規(guī)則。這樣界定是合適的，因?yàn)槲挥趨^(qū)間［Ex-2En，Ex+2En］上的云滴對一個定性概念的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的95.44%。

于是，當(dāng) j=2，3，…，m-1時，期望與熵的確定方法如下

c1對應(yīng)的云模型為半降云，cm對應(yīng)的云模型為半升云，期望與熵的確定方法為

式中:a0=0，am=1，半降云的期望值取0，半升云的期望值取1。只需要由式(4)確定的對稱云模型的一半，即圖像位于對稱軸左邊(cm對應(yīng)的云模型)或右邊(c1對應(yīng)的云模型)的那部分。

2.3 基于差異度的超熵確定模型

所有云滴構(gòu)成的隨機(jī)變量X的分布被稱為泛正態(tài)分布，超熵 He是 X偏離正態(tài)分布的度量［9］。文獻(xiàn)［8，10］展示了超熵對云圖的影響。文獻(xiàn)［11］指出，當(dāng)He＜En/3時，云X的泛正態(tài)狀態(tài)較為明顯，當(dāng)He＞En/3時，云滴呈現(xiàn)為霧化狀態(tài)，因此，將He=En/3稱為云的霧化點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］認(rèn)為:當(dāng)He＜En/3時，不確定度較小;當(dāng)He＞En/3時，不確定度較大。

文獻(xiàn)［7］認(rèn)為式(2)中的K值可根據(jù)評語的不確定性和隨機(jī)性確定，但并未闡述具體的確定方法。文獻(xiàn)［6］認(rèn)為，專家對某一定性概念認(rèn)知的不確定度是表達(dá)該定性概念的區(qū)間數(shù)長度d的增函數(shù)。該文獻(xiàn)還指出:當(dāng)d小于某一界限值dk時，可認(rèn)為專家對定性概念認(rèn)知的不確定度較小，He應(yīng)小于En/3，此時取He=0.1En;當(dāng)d＞dk時，可認(rèn)為專家對定性概念認(rèn)知的不確定度較大，此時取He=0.3En;dk一般取論域［0，τ］的長度的1/10。

上述文獻(xiàn)涉及的熵是由式(2)確定的，按照文獻(xiàn)［11］的觀點(diǎn)，當(dāng)由式(3)確定 En時，取 He=0.2En為霧化點(diǎn)。

文獻(xiàn)［6］確定超熵的方法存在的2點(diǎn)不足:1)區(qū)間數(shù)的長度大并不意味著專家對定性概念認(rèn)知的不確定度也大，區(qū)間長度在論域上的劃分是受評價慣例影響的。比如一般認(rèn)為得分低于總分的60%為不及格，而不是50%。對于本文案例，當(dāng)論域?yàn)椋?，1］時，0.6左側(cè)領(lǐng)域只能算是“差”，而不能算是“中”。這樣帶來的結(jié)果是，評語“劣”與“差”對應(yīng)的區(qū)間數(shù)的總長度為0.6，而另外3個評語對應(yīng)的區(qū)間數(shù)的長度之和為0.4。2)給出dk的取值時未考慮評語的數(shù)目。本文案例中評語個數(shù)為5，區(qū)間數(shù)的平均長度為0.2，且其區(qū)間數(shù)的長度均超過了論域長度的1/10，按照該文獻(xiàn)的模型，He必然取值偏大。

審視將定性概念映射為區(qū)間數(shù)，再將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)換為云模型的過程，不難發(fā)現(xiàn):對于云圖中的某一個特定的x，μ(x)的離散程度很大程度上受專家對區(qū)間數(shù)劃分意見的影響。因此，可認(rèn)為專家對某一區(qū)間數(shù)的界定的差異越大，云的超熵越大。下面給出衡量專家給出的區(qū)間數(shù)與云化區(qū)間數(shù)之間的差異度η的模型。

定義4 對于第j個評語sj，設(shè)專家Ek(k=1，2，…，t)給出的區(qū)間數(shù)為，計算求得的云化區(qū)間數(shù)為 cj=［aj-1，aj］，令 dj=aj-aj-1，則差異度 ηj的計算方法為

式中:j=1，2，…，m。

下面分2種情況進(jìn)行討論:

1)將雙邊約束的區(qū)間數(shù)(即 j=2，3，…，m-1)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的云模型時超熵的取值。當(dāng)ηj≤0.15時，可認(rèn)為各專家對區(qū)間數(shù)cj的界定的差異較小，云的泛正態(tài)化較為明顯;只要ηj未達(dá)到ηu=0.2，就可以認(rèn)為專家對區(qū)間數(shù)cj的界定的差異不算很大，云不應(yīng)呈現(xiàn)出較明顯的霧化狀態(tài)?；谶@樣的考慮，建立超熵的計算模型如下:

式中:j=2，3，…，m-1。

2)將單邊約束的區(qū)間數(shù)(j=1，m)轉(zhuǎn)化為云模型時超熵的取值。對于半云模型，當(dāng)ηj≤0.075時，可認(rèn)為各專家對區(qū)間數(shù)cj界定的差異較小，云的泛正態(tài)化較為明顯;只要ηj未達(dá)到ηu=0.1，就可以認(rèn)為專家對區(qū)間數(shù)cj界定的差異不算很大，云應(yīng)不應(yīng)呈現(xiàn)出較明顯的霧化狀態(tài)。于是可建立超熵的計算模型為

式中:j=1，m。

建立的超熵計算模型具有以下性質(zhì):

1)He是η的增函數(shù);

2)當(dāng) η=0 時，He=0.05En＞0，仍能保證云的泛正態(tài)狀態(tài);

3)當(dāng)η=ηu時，He接近但未達(dá)到0.2En，云不會呈現(xiàn)較明顯的霧化狀態(tài)。

3 評價意見的集結(jié)

3.1 單項(xiàng)指標(biāo)值的云集結(jié)

通過各專家評判，各指標(biāo)都將產(chǎn)生t個評價意見，其中有用數(shù)值表示的定量指標(biāo)，也有用語言值來描述的定性指標(biāo)。t個評價意見的集結(jié)值用一個云模型表示。設(shè)某個指標(biāo)的t個評價意見的云對象的期望為(Ex1，Ex2，…，Ext)(定量指標(biāo)的Exi為其第i個數(shù)值)，該項(xiàng)指標(biāo)集結(jié)值云模型的期望為Ex，則定量指標(biāo)Ex集結(jié)方法為［12］

定性指標(biāo)的Ex集結(jié)算法如下

3.2 綜合云重心偏離度的計算

n個評價指標(biāo)值可用n個云模型來表示，系統(tǒng)狀態(tài)就可用1個n維綜合云來表示。云重心偏離度θ用來衡量n維綜合云重心與理想狀態(tài)下n維綜合云重心的差異。令T=(T1，T2，…，Tn)為綜合評價云的云重心向量，L=(Ex1，Ex2，…，Exn)為云重心位置向量，H=(h1，h2，…，hn)為云重心高度向量，則［12-13］

式中:Ti=Exi×hi，(i=1，2，…，n)。文獻(xiàn)［12］認(rèn)為 H為各指標(biāo)的權(quán)重向量，即 H=(ω1，ω2，…，ωn)。

文獻(xiàn)［12-13］求綜合云重心偏離度的方法如下:設(shè)在理想狀態(tài)下，n維綜合評價云重心位置向量為L0=(E，E，…，E)，則在此狀態(tài)下綜合云的重心向量為對綜合云重心向量進(jìn)行歸一化運(yùn)算，得到向量TN=(，…，)，計算方法為

把TN乘以權(quán)重值，然后再相加，有

下面指出這種算法的不足并進(jìn)行改進(jìn)。

首先，式(12)每一項(xiàng)都有ωi，把它約去，此式可簡化為

其次，通過歸一化運(yùn)算求解單個定量指標(biāo)的云重心位置與理想云重心位置的離差不合理，現(xiàn)舉例說明。若一個定量指標(biāo)的理想狀態(tài)值為8，其各個狀態(tài)值或?qū)＜姨峁┑脑u價數(shù)值按式(8)集結(jié)后為12，則按式(14)計算的重心位置離差為0.5。如果采用本案例的五級評語，按照行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，12為“良”，但是，對于本文案例，當(dāng)指標(biāo)的重心位置偏離理想重心位置1為0.5時，意味著“差”。為此，將定量指標(biāo)的集結(jié)值映射到定性評語對應(yīng)的區(qū)間數(shù)中。

定義5 設(shè) I1=［l1，u1］和 I2=［l2，u2］是定義在正實(shí)數(shù)域上的2個區(qū)間數(shù)，I1為對象GA的值域的一個子集，I2為對象GB的值域的一個子集，dI1=u1-l1＞0為 l1到 u1的距離測度，dI2=u2-l2＞0為 l2到u2的距離測度，定義I1到I2的一一映射為ξ:I1→I2，對應(yīng)法則ξ表示等比轉(zhuǎn)換，對任意的x∈I1，x'∈I2，x'為 x 的象，滿足

不妨設(shè)一個定量指標(biāo)Gr為成本型指標(biāo)，即狀態(tài)值越小越好。于是對于該指標(biāo)的一個狀態(tài)值fv，應(yīng)存在 0＜f1＜f2＜…＜fm-1，使得能夠界定定量評價標(biāo)準(zhǔn)并建立定量標(biāo)準(zhǔn)與定性評語的對應(yīng)關(guān)系如下

設(shè)該指標(biāo)的各個值進(jìn)行集結(jié)后的期望為Exag，該值對應(yīng)的定性評語為sj，下面分3種情況進(jìn)行討論Exag轉(zhuǎn)換為定性評語時的云重心位置。

1)當(dāng) j=2，3，…，m-1 時，sj對應(yīng)的定量評價標(biāo)準(zhǔn)界定的區(qū)間為(fm-j，fm-j+1］，由式(15)，Exag經(jīng)等比轉(zhuǎn)換后在定性評語對應(yīng)區(qū)間數(shù)中的位置為

2)當(dāng)j=1時，設(shè)該指標(biāo)的最大狀態(tài)值為Vmax，由式(15)，Exag經(jīng)等比轉(zhuǎn)換后的云重心位置為

3)當(dāng)j=m時，定量評價標(biāo)準(zhǔn)界定的區(qū)間其實(shí)為［0，f1］，于是由式(15)，Exag經(jīng)等比轉(zhuǎn)換后的云重心位置為

照此方法，同樣可建立Gr為效益型指標(biāo)時的轉(zhuǎn)換模型。這樣，在求偏離度時，全部按定性指標(biāo)處理，且可把式(13)進(jìn)一步簡化為

3.3 評價結(jié)果的確定

根據(jù)評語集、區(qū)間數(shù)與云模型之間的對應(yīng)關(guān)系，在各個區(qū)間數(shù)上用相應(yīng)的云模型表示出相應(yīng)的評語，就構(gòu)成了一個評價云發(fā)生器。

將求得的偏離度θ輸入到定性評價云發(fā)生器中，通過激活的云對象來確定評價結(jié)論。偏離度θ的意義在于將多維云的云重心位置組成的云重心向量集結(jié)成一個點(diǎn)xa，且有xa=E-θ。給定閾值δ∈［0.1，0.2］，考察各評語云對象的 μi(xa)(i=1，2，…，5)。設(shè)確定度最大的為maxμi(xa)，與之相鄰的云對象在xa處的確定度為μj(xa)，那么:

1)當(dāng) maxμi(xa)-μj(xa)＞δ時，第 i個評語值即可作為對艦炮維修性定性評價的結(jié)果輸出;

2)當(dāng) maxμi(xa)-μj(xa)≤δ時，xa為評價結(jié)果的定量輸出，而其定性表述可由專家另外給出。

4 案例分析

艦炮初樣機(jī)試驗(yàn)階段，管理部門邀請了10名專家，對其機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行維修性評價。

4.1 將評語轉(zhuǎn)化為云模型

規(guī)定評語集為

S={sj|j=1，2，…，5}={劣，差，中，良，優(yōu)}

10名專家給出各評語對應(yīng)的區(qū)間數(shù)之后，按式(1)計算出各評語對應(yīng)的云化區(qū)間數(shù)，如表1所示。

進(jìn)一步計算各云化區(qū)間數(shù)的長度，然后由式(5)計算專家意見與云化區(qū)間數(shù)的差異度為

η1=0.026 3，η2=0.101 0，η3=0.152 9，η4=0.128 9，η5=0.068 3.

再由式(3)、(4)、(6)、(7)計算各評語的云化模型參數(shù)，如表2所示。

表1 各評語對應(yīng)的區(qū)間數(shù)Table 1 Intervals of remark terms

表2 各評語對應(yīng)的云模型參數(shù)Table 2 C loud model parameters of rem ark term s

4.2 計算綜合云重心偏離度

維修性評價指標(biāo)及權(quán)重如表3所示。G1為定量指標(biāo)，其余指標(biāo)為定性指標(biāo)。

表3 評價指標(biāo)及其權(quán)重Table 3 Evaluation indexes and their weights

檢測診斷時間Rt與評價等級的對應(yīng)關(guān)系如表4所示。

表4 診斷時間評價標(biāo)準(zhǔn)Table 4 Evaluation standard of diagnosis tim e

專家的評價意見如表5所示，其中故障診斷時間是由專家估計得到的。將表5中專家群體對單項(xiàng)指標(biāo)的意見運(yùn)用式(8)或式(9)進(jìn)行云集結(jié)，期望值如表6所示。

表5 專家的評價意見Tab le 5 Expert evaluation views

表6 各指標(biāo)綜合云的期望Table 6 Expected value of index

將ExG1=13.9按式(16)進(jìn)行等比轉(zhuǎn)換，得到其云重心位置為ExG1＇=0.725 8。然后利用式(19)計算評價結(jié)果的云重心偏離度θ=0.259 6。

4.3 確定評價結(jié)果

由表2中各評語對應(yīng)的云模型參數(shù)構(gòu)成的評價云發(fā)生器如圖2所示。取δ=0.1，將θ的值輸入到評價云發(fā)生器，xa將激活“良”和“中”2個云對象，對“良”的確定度約為0.33，對“中”的確定度約為0.05，由于0.33-0.05＞δ，于是可判定該裝備維修性水平為良。若按式(9)計算TN1=0.39，那么對指標(biāo)G1的綜合評價應(yīng)為“中”，但按定量評分標(biāo)準(zhǔn)，對其評價屬于“良”，這樣就有了偏差。接下來再按式(10)計算偏離度 θ'=0.278 9，xb=0.721 1，也激活“良”與“中”2個云對象，且xb對“中”的確定度約為0.15，對“良”的確定度約為0.13，0.15-0.13＜δ。于是判定該艦炮維修性水平介于中和良之間，傾向于中。云重心xa與xb如圖3所示，y1指示的圓點(diǎn)表示xa對“中”的確定度，y2表示xb對“良”的確定度。由此可看出，以往的偏離度求解模型是存在明顯的誤差的。

圖2 2倍熵規(guī)則下的定性評價云發(fā)生器Fig.2 Evaluation cloud generator with two-entropy rule

圖3 評價結(jié)果Fig.3 Evaluation result

根據(jù)文獻(xiàn)［6］的方法確定各評語云的超熵，則評價云發(fā)生器中各云模型的超熵均為其熵的0.3倍。它顯然放大了專家對同一個問題認(rèn)識的差異程度。在這樣趨于霧化的發(fā)生器中進(jìn)行評價時，難以直觀判斷出偏離度對所激活的云對象的確定度。

5 結(jié)束語

對云重心評價方法進(jìn)行了改進(jìn)，并應(yīng)用于艦炮的維修性評價。在評價實(shí)例中，把根據(jù)改進(jìn)模型與已有模型建立的評價云發(fā)生器進(jìn)行對比，可看出根據(jù)改進(jìn)模型設(shè)置云發(fā)生器的參數(shù)是合理的，而已有模型與云理論的基本原理不相符。通過將改進(jìn)的綜合云重心偏離度求解模型與原有模型的評價結(jié)果進(jìn)行對比分析，可看出改進(jìn)算法是簡便且準(zhǔn)確的，用于艦炮維修性評價是可行的。本文考慮的定量指標(biāo)是成本型的，若是效益型指標(biāo)，同樣可建立等比轉(zhuǎn)換關(guān)系，改進(jìn)綜合云重心偏離度的求解算法。

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