陸曉林

中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省南通市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，南通市優(yōu)秀教育工作者，曾獲江蘇省“導(dǎo)航杯”教學(xué)比賽一等獎(jiǎng)，在《人民教育》等刊物上發(fā)表文章多篇。

以往教師們總是自覺不自覺地把數(shù)學(xué)課程內(nèi)容視為一系列事實(shí)性結(jié)論，對(duì)有“過(guò)程”的課堂以及如何構(gòu)建有“過(guò)程”的課堂存在認(rèn)識(shí)與實(shí)踐上的誤區(qū)。因此，能真正創(chuàng)建出有效、優(yōu)效的有“過(guò)程”的課堂頗少。最近以來(lái)，很多教師在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，開始努力去顛覆以“知識(shí)為本”的課堂模式，有意識(shí)地重視對(duì)“過(guò)程”的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從而促進(jìn)思維的發(fā)展。然而，如何創(chuàng)建有“過(guò)程”的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者擬從下面三個(gè)角度略述，以期拋磚引玉。

一、 設(shè)計(jì)以“學(xué)”為主的課堂活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注是當(dāng)下課堂的熱點(diǎn)議題之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從某種角度說(shuō)就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一體，要落實(shí)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)，讓學(xué)生“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)是基本的途徑。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體、課堂的主人，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)如果缺少學(xué)生主動(dòng)介入、積極參與和生生、師生的多維互動(dòng)，這樣的課堂就只有教師“教”的“流程”，而沒有“學(xué)”的“過(guò)程”。在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生如果能夠通過(guò)觀察比較、動(dòng)手操作等多種形式的活動(dòng)，真正“經(jīng)歷”了數(shù)學(xué)過(guò)程，獲得了直接的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)或者發(fā)展了間接的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)的結(jié)論能被學(xué)生“火熱”地“看”出來(lái)、“做”出來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)不再是“冰冷”的、理性的，這樣的課堂就是有真“過(guò)程”的課堂。

例如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，可以安排三次不同的畫圓實(shí)踐，讓學(xué)生在不同的“經(jīng)歷”中獲得成功畫圓的“經(jīng)驗(yàn)”，進(jìn)而在對(duì)“經(jīng)驗(yàn)”的反芻中認(rèn)識(shí)到圓最基本的特征：一中同長(zhǎng)。

1.初次畫圓。教師在揭示課題、明確學(xué)習(xí)任務(wù)后，讓學(xué)生借助于不同的工具嘗試畫圓，然后選擇有代表性的作品進(jìn)行展示比較，引導(dǎo)學(xué)生交流畫圓成功的經(jīng)驗(yàn)、方法和不成功的原因，初步感受圓是曲邊圖形，可以借助于現(xiàn)成的圓形物體描出圓，也可以借助于畫圓的專用工具畫圓。然后讓學(xué)生用圓規(guī)反復(fù)練習(xí)，體會(huì)“針尖固定、兩腳距離不變、捏住手柄旋轉(zhuǎn)”的畫圓要領(lǐng)。

2.嘗試畫大圓。體育教師想在操場(chǎng)上畫一個(gè)大圓，還會(huì)用圓規(guī)嗎？請(qǐng)同學(xué)幫體育教師想出辦法，并在教室的空地上演示“固定木棒、拉繩畫圓”的方法，畫出大圓后，啟發(fā)學(xué)生思考：工具不同，畫圓的道理一樣嗎？相同在哪兒？

3.畫圓比賽。分男、女生兩組，一組分發(fā)圖釘、無(wú)彈性的長(zhǎng)線、粉筆三種材料，另一組也有圖釘和粉筆，不同的是將長(zhǎng)線換成彈性十足的橡皮筋，讓男、女生兩組借助于分發(fā)的工具進(jìn)行畫圓比賽。在輕松娛樂的比賽結(jié)束后提問(wèn)：這樣的比賽公平嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？明白了什么？

三次畫圓的“經(jīng)歷”，層層遞進(jìn)。第一次學(xué)會(huì)了技能，第二次明白了道理，第三次把握了本質(zhì)，學(xué)生在其中“種植”了直接經(jīng)驗(yàn)，“生長(zhǎng)”了間接經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了自己的數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)直覺，提高了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平。從而體現(xiàn)，有“經(jīng)歷”才能催生“經(jīng)驗(yàn)”，有“經(jīng)驗(yàn)”才能萌發(fā)“見識(shí)”，有“見識(shí)”才會(huì)助推“成長(zhǎng)”。

二、 還原知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)與思想方法的“顯化”

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在其著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中深刻地指出：“學(xué)生在學(xué)校接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是在出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想、方法卻能隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使他們終身受益?！边@就是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)提出“四基”的原因之所在。因此，只有讓學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和思想方法、體悟了情感態(tài)度的數(shù)學(xué)課堂才是有深度、有實(shí)效、有長(zhǎng)效的數(shù)學(xué)教學(xué)，即便是具體的知識(shí)遺忘了，但數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方法將伴隨學(xué)生一生。

數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與蘊(yùn)含的思想方法是一種隱性知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的“過(guò)程”，也是知識(shí)本質(zhì)與思想方法發(fā)生和凸顯的“過(guò)程”，對(duì)知識(shí)本質(zhì)的把握與形成一定的思想方法只有依附于這樣的“過(guò)程”才能得以真正實(shí)現(xiàn)。

以特級(jí)教師蔡宏圣教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”為例：

1.鋪墊——重構(gòu)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”。上課伊始，從國(guó)家形象宣傳片《人物篇》中體育明星郭晶晶、丁俊暉和郎平的身高比較入手，幫助學(xué)生完整地建構(gòu)“0”的意義——“0”不但表示“沒有”，而且表示“開始”，更重要的是它還表示比較的“標(biāo)準(zhǔn)”（如以郭晶晶的身高為“0”，丁俊暉和郎平的身高分別標(biāo)記為10、20），使“負(fù)數(shù)”有了意義“生長(zhǎng)”的節(jié)點(diǎn)。

2.激疑——產(chǎn)生知識(shí)“發(fā)生”的需要。通過(guò)變換“標(biāo)準(zhǔn)”（以丁俊暉的身高為基準(zhǔn)“0”），讓“負(fù)數(shù)”（郭晶晶的身高如何標(biāo)記？）有了產(chǎn)生的必要。學(xué)生自主探究，嘗試用符號(hào)來(lái)標(biāo)記具有相反意義的不同的數(shù)，初步理解了正、負(fù)數(shù)是具有“相反意義”的數(shù)，懂得負(fù)數(shù)的引入同時(shí)也是為了減法封閉性的需要，正、負(fù)數(shù)的本質(zhì)意義在與確定“標(biāo)準(zhǔn)”的比較中獲得了“直觀的抽象”。

3.提煉——聯(lián)系生活，發(fā)展、豐盈概念意義。通過(guò)聯(lián)系生活中的實(shí)例，以確定的位置為標(biāo)準(zhǔn)記錄前進(jìn)和后退的步數(shù)，以某一價(jià)格為基準(zhǔn)記錄不同價(jià)格高或低多少，等等，使正、負(fù)數(shù)的意義有了更多鮮活的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐漸深刻而豐滿起來(lái)。

4.拓展——回顧溫度計(jì)的發(fā)展史和利用正負(fù)數(shù)巧求平均數(shù)。課堂既有數(shù)學(xué)文化的氣息，又有數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)潔之美，在概念的應(yīng)用中讓學(xué)生體驗(yàn)到概念的價(jià)值所在，觸碰到數(shù)學(xué)的思想方法。這樣的課堂讓數(shù)學(xué)知識(shí)的“發(fā)生”得以還原，學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)從“起點(diǎn)”出發(fā)，概念的意義在課堂上得以“發(fā)生”與“發(fā)展”，在逐步概括、抽象的過(guò)程中直抵?jǐn)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義，在概念的解釋與應(yīng)用中涵養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維。

三、 復(fù)演前人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造歷程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的二次“創(chuàng)生”

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“再創(chuàng)造”的過(guò)程。正如弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中所言：“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做”“對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”“不應(yīng)該將教的內(nèi)容作為現(xiàn)成的產(chǎn)品強(qiáng)加給學(xué)生”“學(xué)習(xí)過(guò)程必須含有直接創(chuàng)造的側(cè)面”“通過(guò)再創(chuàng)造獲得知識(shí)和能力要比以被動(dòng)方式獲得，會(huì)理解得更好也更容易保持”。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生再走前人探究之路，復(fù)演前人數(shù)學(xué)創(chuàng)造的歷程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的二次“創(chuàng)生”。endprint

“認(rèn)識(shí)厘米”是學(xué)生在小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的第一個(gè)長(zhǎng)度單位，也是學(xué)生使用測(cè)量工具進(jìn)行度量的第一課。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)1厘米并形成1厘米的心理表征，能正確使用直尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度和畫指定長(zhǎng)度的線段，初步形成度量意識(shí)是本課的主要任務(wù)。傳統(tǒng)的教學(xué)是沿著“認(rèn)識(shí)直尺—認(rèn)識(shí)1厘米—建立1厘米的表象—認(rèn)識(shí)幾厘米—揭示測(cè)量方法—量長(zhǎng)度、畫線段”的思路進(jìn)行的，這樣的課堂學(xué)生不可能感受到“度量標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”的必要性，也不能理解“直尺是單位長(zhǎng)度的集合”以及“長(zhǎng)度測(cè)量就是所要測(cè)量的物體長(zhǎng)度與標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的重合”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。我在教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)做了一些嘗試，讓學(xué)生在課堂里復(fù)演前人創(chuàng)造直尺的歷程，力圖使學(xué)生能直觀、自然地“看見”并“做出”數(shù)學(xué)本身。

1.創(chuàng)設(shè)沖突情境，體會(huì)“度量標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”的必要性。編創(chuàng)故事“阿福的新衣”，裁縫師傅讓小徒弟按“衣長(zhǎng)三拃，袖長(zhǎng)二拃”要求制作新衣，結(jié)果小徒弟卻將新衣做小了，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到度量的前提是統(tǒng)一度量的標(biāo)準(zhǔn)。

2. 認(rèn)識(shí)1厘米，建立1厘米的表象。先出示1厘米長(zhǎng)的小棒，告知學(xué)生，人們規(guī)定這樣的長(zhǎng)度為1厘米；接著，讓學(xué)生觀察手中1厘米的小棒，用拇指與食指指尖間隙來(lái)比畫1厘米，借助小棒檢驗(yàn)、再比畫，再檢驗(yàn)，反復(fù)幾次，初步形成1厘米大概有多長(zhǎng)的表象；然后，利用物體的直邊（不用有刻度的尺）試著在紙上畫1厘米長(zhǎng)的線段，拿1厘米的小棒對(duì)比檢查，反復(fù)嘗試并調(diào)整；最后，找一找身邊有哪些物體的長(zhǎng)度大約1厘米。

3.做“小棒尺”，用“小棒尺”測(cè)量。第一步，用1根1厘米小棒“量”出較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度，體會(huì)連續(xù)測(cè)量的困難；第二步，學(xué)生合作，發(fā)現(xiàn)用多根小棒首尾相連“擺”出線段的長(zhǎng)度比1根小棒連續(xù)測(cè)量方便、準(zhǔn)確；第三步，引導(dǎo)學(xué)生研究，如何“擺”一次小棒，能進(jìn)行多次測(cè)量？學(xué)生嘗試將多根小棒首尾相連成一線粘貼在長(zhǎng)紙條上，做成“小棒尺”；第四步，完善小棒尺，啟發(fā)學(xué)生在“小棒尺”上標(biāo)出富有創(chuàng)意的刻度。第五步，用自己制作的“小棒尺”測(cè)量長(zhǎng)度。

4.認(rèn)識(shí)直尺，形成測(cè)量技能。對(duì)比制作的“小棒尺”與直尺，讓學(xué)生體驗(yàn)到創(chuàng)造的成功與快樂。在直尺上找1厘米和幾厘米，讓學(xué)生直接用直尺測(cè)量和畫線段，及時(shí)對(duì)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行指導(dǎo)，內(nèi)化度量的技能。

整節(jié)課通過(guò)對(duì)“直尺”的再設(shè)計(jì)與再創(chuàng)造，學(xué)生較好地掌握了“尺”的結(jié)構(gòu)與原理，領(lǐng)會(huì)了測(cè)量就是“標(biāo)準(zhǔn)的工具與測(cè)量對(duì)象的合同”，在建構(gòu)測(cè)量工具的同時(shí)也學(xué)會(huì)了測(cè)量的方法，學(xué)生由工具的使用者轉(zhuǎn)換成了設(shè)計(jì)者、制作者，教學(xué)過(guò)程與教學(xué)結(jié)果得到了統(tǒng)一。

當(dāng)然，構(gòu)建有“過(guò)程”課堂的策略還有很多，設(shè)計(jì)以“學(xué)”為主的數(shù)學(xué)活動(dòng)、還原知識(shí)的發(fā)生過(guò)程以及復(fù)演前人的創(chuàng)造歷程，無(wú)論哪一種創(chuàng)建“過(guò)程”的策略在本質(zhì)上都是一致的，都是讓“簡(jiǎn)約與固化”的書本知識(shí)變成“過(guò)程與形態(tài)化”的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在特定的情境中經(jīng)歷一個(gè)較為完整的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解、思想方法的掌握以及情感態(tài)度的習(xí)得，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升。

同時(shí)，創(chuàng)建有“過(guò)程”的課堂不是對(duì)教學(xué)目標(biāo)與結(jié)果的忽視，教學(xué)目標(biāo)與結(jié)果的預(yù)設(shè)指引著教學(xué)過(guò)程的展開，過(guò)程以目標(biāo)與結(jié)果為目的，目標(biāo)與結(jié)果以過(guò)程為基礎(chǔ)，兩者之間是相互依存、和諧發(fā)展的。endprint