張大元,雷虎民,王 君,肖增博,李慶良

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院,西安 710051;2.93507部隊,石家莊 050200;3.95100部隊,廣州 510405)

為提高飛行器飛行性能,通常根據(jù)給定指標(biāo),利用優(yōu)化算法對飛行軌跡進(jìn)行優(yōu)化以得到基準(zhǔn)彈道和控制量[1-4],但優(yōu)化使用的各種模型存在不確定性,這使得按照基準(zhǔn)控制量控制無法實現(xiàn)理想軌跡。因此,需要設(shè)計軌跡跟蹤制導(dǎo)律,保證飛行器按理想軌跡飛行[5]。

軌跡優(yōu)化和跟蹤一直是飛行器領(lǐng)域的研究熱點,如再入飛行器和無人機的軌跡優(yōu)化和跟蹤,許多先進(jìn)的控制律被應(yīng)用于跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計中,取得了較好的跟蹤效果[5-9];文獻(xiàn)[10]采用幾何原理研究了一種非線性方案彈道跟蹤算法;Dukeman G A、Zhou W Y等人先后將線性二次型最優(yōu)控制理論(linear quadratic regulator,LQR)應(yīng)用于再入飛行器的軌跡跟蹤中[11-12],取得了較好的效果,但常用的跟蹤模型是基于小擾動線性化方法簡化的,適用范圍小且誤差隨使用區(qū)域擴大而增大,模型精確度較低,而反饋線性化方法是一種精確線性化方法[13],能夠提高模型線性化精度,從而提高跟蹤制導(dǎo)精度。因此,本文利用反饋線性化方法對導(dǎo)彈運動模型精確線性化,基于LQR理論設(shè)計彈道跟蹤制導(dǎo)律,最后對制導(dǎo)律進(jìn)行了仿真。

1 反饋線性化理論

1.1 輸入-狀態(tài)線性化的定義和判定定理

反饋線性化的基本思想是通過狀態(tài)反饋消除動態(tài)系統(tǒng)的非線性部分,從而得到一個偽線性動態(tài)。其基本原理簡述如下[13]。

考慮非線性系統(tǒng):

(1)

式中:x=(x1x2…xn)T∈D(D?Rn),f(x)、g(x)為定義在開集D上的Rn值映射,u為控制向量。映射f:D→Rn在微分幾何理論中被稱為D上定義的向量場,可表示為列向量:

f(x)=(f1(x)f2(x) …fn(x))T

(2)

設(shè)實值函數(shù)h:D→R和一個向量場f:D→Rn,h沿f的李導(dǎo)數(shù)定義為

(3)

對兩個向量場f:D→Rn、g:D→Rn,構(gòu)造一個新的向量場,記為[f,g],定義式:

(4)

(5)

式中:k為李積的階數(shù),k=0表示零階李積。下面給出一類非線性系統(tǒng)可輸入-狀態(tài)線性化的定義和判定定理。若式(1)所示的非線性系統(tǒng)可直接寫成:

(6)

式中:A為n×n陣,B為n×p陣,s(x):Rn→Rp和γ(x):Rn→Rp×p是定義在D上,且γ(x)對所有x∈D非奇異。

或是經(jīng)過坐標(biāo)變換z=T(x)使得式(1)所示系統(tǒng)在z下具有如下形式:

(7)

則稱式(1)所示非線性系統(tǒng)可通過坐標(biāo)變換和狀態(tài)反饋線性化變成線性系統(tǒng),方法是取控制量:

u=s(x)+γ(x)V

(8)

將式(8)代入式(7)得:

(9)

式中:V為反饋控制向量,可以使用各種線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法設(shè)計。據(jù)文獻(xiàn)[13],式(1)所示非線性系統(tǒng)可反饋線性化的充要條件為引理1。

引理1式(1)所示非線性系統(tǒng)可輸入-狀態(tài)線性化的充要條件是:

②下式所示的分布是對合的:

1.2 輸入-狀態(tài)線性化

對式(1)所示非線性系統(tǒng),假設(shè)存在z=T(x),使得:

(10)

(11)

以上過程步步可逆,因此式(11)是z=T(x)滿足式(10)的充要條件。注意到z=T(x)不唯一,矩陣A、B可取為可控標(biāo)準(zhǔn)型(Brunovsky能控標(biāo)準(zhǔn)型),令:

z=T(x)=(T1(x)T2(x) …Tn(x))T

(12)

式中:Ti(x)為1×n維行向量,i=1,2,…,n,則式(11)可等價轉(zhuǎn)換為

(13)

由式(13)可求解轉(zhuǎn)換矩陣T(x)。

2 彈道跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 彈道跟蹤數(shù)學(xué)模型

導(dǎo)彈縱向平面質(zhì)點運動模型如下所示:

(14)

式中:m,S為導(dǎo)彈質(zhì)量和參考面積;v為導(dǎo)彈速度;Fp為發(fā)動機推力;θ為彈道傾角,單位為rad;q為動壓;g為重力加速度;Cx,Cy分別為阻力和升力系數(shù)。

在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的設(shè)計過程中,首先會對速度特性進(jìn)行設(shè)計,以確定發(fā)動機參數(shù),因此,導(dǎo)彈速度可近似認(rèn)為不可控,而導(dǎo)彈X坐標(biāo)主要由速度決定,所以可去掉近似不受控的v和X變量,取彈道傾角θ和Y坐標(biāo)作為系統(tǒng)狀態(tài)變量,同時考慮攻角為小量,得質(zhì)點運動方程:

(15)

為實現(xiàn)基準(zhǔn)優(yōu)化彈道的跟蹤,化跟蹤問題為調(diào)節(jié)問題,取跟蹤變量的偏差量為狀態(tài)變量x,即:

(16)

對式(16)求導(dǎo)并將式(15)代入,得:

(17)

式中:不受控變量v和X取相應(yīng)時刻基準(zhǔn)彈道上的狀態(tài)值,用下標(biāo)d標(biāo)注。取攻角偏差量Δα為控制變量,用三角公式對式(17)化簡,可得到用于彈道跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計的非線性模型:

(18)

2.2 制導(dǎo)律設(shè)計

下面利用反饋線性化理論將非線性模型(18)線性化,并利用LQR理論設(shè)計跟蹤制導(dǎo)律。

1)驗證可輸入-狀態(tài)反饋線性化條件。

由式(5)和式(18)知:

(19)

因此,

(20)

2)求解變換z=T(x)。

將式(18)代入式(13)得:

(21)

式中:z=T(x)=(T1(x)T2(x) …Tn(x))T。

(22)

(23)

將式(23)代入式(21)第4式,得:

(24)

(25)

由式(25)知,T2(x)對f的李導(dǎo)數(shù)為

(26)

將式(25)、式(26)代入式(21)第3式,得:

(27)

將式(25)和式(27)代入式(8),得u的表達(dá)式為

(28)

則線性化后的系統(tǒng)為

(29)

3)利用LQR設(shè)計制導(dǎo)指令。

利用LQR對系統(tǒng)(29)進(jìn)行設(shè)計,取二次型性能指標(biāo)為

(30)

式中:Q、R為權(quán)重矩陣,且Q半正定,R正定。根據(jù)LQR理論,存在最優(yōu)控制變量V=-Koptz,使得指標(biāo)(30)最小,且最優(yōu)反饋系數(shù)Kopt可按下式確定:

(31)

式中:P為黎卡提方程的解,O為零矩陣。

將式(25)、式(27)和式(31)代入式(28),可得彈道跟蹤制導(dǎo)指令計算公式為

(32)

式中:u0(t)為基準(zhǔn)彈道控制量,x1=Y-Yd表示Y坐標(biāo)測量值與基準(zhǔn)值的偏差,x2=θ-θd表示彈道傾角測量值與基準(zhǔn)值的偏差,Kopt1和Kopt2為最優(yōu)反饋系數(shù)向量Kopt的分量。

至此,基于反饋線性化理論的彈道制導(dǎo)律設(shè)計完成。該跟蹤制導(dǎo)律工作流程如圖1所示。

圖1中,f(ΔY,Δθ,θd)=s(x)-γ(x)Koptz。制導(dǎo)工作流程為:首先,慣導(dǎo)和彈載機測量、計算導(dǎo)彈運動狀態(tài),并與彈上存儲的基準(zhǔn)彈道比較,得出偏差量;然后,根據(jù)導(dǎo)彈飛行時間從基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)庫中取出相應(yīng)基準(zhǔn)彈道參數(shù),計算偏差控制量Δu和總控制量u*,控制導(dǎo)彈沿基準(zhǔn)彈道飛行。

圖1 彈道跟蹤制導(dǎo)律工作流程圖

3 數(shù)字仿真

為驗證所設(shè)計的彈道跟蹤制導(dǎo)律的有效性,將其應(yīng)用于導(dǎo)彈質(zhì)點運動仿真。首先,給出隨機風(fēng)干擾計算模型。由文獻(xiàn)[14]知,干擾力可等效為附加攻角,下面給出計算步驟。

3.1 隨機風(fēng)干擾計算模型

①生成隨機地面風(fēng),根據(jù)風(fēng)級定義,取地面垂直風(fēng)速為3 m/s,即μ=0,σ=3 m/s,則:

(33)

式中:U0為地面垂直風(fēng),W0為地面水平風(fēng),NG為高斯白噪聲,μ、σ為均值和均方差。

②生成高空風(fēng)速。

(34)

式中:U為高空垂直風(fēng),W為高空水平風(fēng),ρ0為地面處大氣密度,ρ為高空大氣密度。

③計算干擾攻角分量。

(35)

式中:Δα1為高空垂直風(fēng)引起的干擾攻角,Δα2為高空水平風(fēng)引起的干擾攻角,θ為彈道傾角。

④計算干擾總攻角。

Δα=Δα1+Δα2

(36)

等效干擾攻角計算結(jié)果如圖2所示。

圖2 等效干擾攻角

3.2 彈道跟蹤制導(dǎo)規(guī)律仿真

為比較方便,根據(jù)文獻(xiàn)[14]直接給出導(dǎo)彈縱向平面運動小擾動線性化模型,如下所示:

(37)

基于模型(37)和LQR控制理論同樣可設(shè)計LQR跟蹤制導(dǎo)律,命名為LQR制導(dǎo)律,本文設(shè)計制導(dǎo)律命名為反饋線性化+LQR制導(dǎo)律。

圖3 誤差和控制量曲線

圖4 彈道曲線

仿真結(jié)果的數(shù)據(jù)統(tǒng)計見表1。表中數(shù)據(jù)表示誤差變化范圍。

表1 仿真結(jié)果統(tǒng)計

由圖3、圖4和表1可知:

①對受控的Y坐標(biāo)和彈道傾角θ,跟蹤制導(dǎo)律能迅速消除初始誤差,并維持較小誤差水平,彈道跟蹤精度較高。

②對不受控的X坐標(biāo)和速度v來說,反饋線性化+LQR的跟蹤誤差比LQR小,由表1數(shù)據(jù)知,ΔX絕對值的最大值從4 050.2 m減小到712.0 m,Δv絕對值最大值從38.3 m/s減小到10.0 m/s,大大減緩了不受控變量的發(fā)散速度。

③采用反饋線性化+LQR跟蹤制導(dǎo)律進(jìn)行彈道跟蹤時所需的過載偏差控制量相對LQR較小,且抖振較小,易于工程實現(xiàn)。

綜上,在存在初始誤差和隨機風(fēng)干擾的條件下,本文所設(shè)計的反饋線性化+LQR跟蹤制導(dǎo)律能較好抑制干擾作用,保證導(dǎo)彈穩(wěn)定跟蹤基準(zhǔn)彈道。

4 結(jié)束語

本文利用反饋線性化方法和LQR理論,設(shè)計了一種彈道跟蹤制導(dǎo)律。首先介紹了設(shè)計需用的輸入-狀態(tài)反饋線性化理論,然后對導(dǎo)彈運動非線性模型反饋線性化,并利用該精確線性化模型和LQR理論設(shè)計了一種跟蹤制導(dǎo)律。為比較所設(shè)計的跟蹤制導(dǎo)律,還利用傳統(tǒng)的小擾動線性化模型設(shè)計LQR跟蹤制導(dǎo)律,在存在初始狀態(tài)誤差和隨機風(fēng)干擾條件下,將所設(shè)計的彈道跟蹤制導(dǎo)律和LQR制導(dǎo)律應(yīng)用于導(dǎo)彈非線性運動仿真,結(jié)果表明,本文所設(shè)計的制導(dǎo)律由于使用反饋線性化精確模型,與使用小擾動模型的LQR制導(dǎo)律相比,能較好抑制初始偏差和隨機風(fēng)干擾,保證導(dǎo)彈精確跟蹤基準(zhǔn)彈道。本文的研究可推廣至三維彈道跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計中。

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