胡燕燕，曾芳玲，張詩桂

HU Yanyan,ZENG Fangling,ZHANG Shigui

電子工程學(xué)院 安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230037 Electronic and Engineering Institute,Hefei 230037,China

1 引言

隨著混沌理論在微弱信號檢測領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，人們對弱正弦信號各項參數(shù)如幅值、頻率、相位的檢測研究越趨成熟。眾所周知，對幅值進(jìn)行檢測之前必須先已知待測信號的頻率，因此對待測信號頻率的檢測至關(guān)重要。目前利于混沌檢測弱信號的方法中，對于頻率的研究多還是針對單頻信號的檢測，常用方法是利用間歇混沌原理來實(shí)現(xiàn)檢測的目的，但此方法振子數(shù)目太多，計算量大，檢測帶寬有限；另外，對復(fù)頻信號的檢測方法也不多見，所以，本文提出結(jié)合間歇混沌原理與雙Duffing振子系統(tǒng)利用差分方法檢測復(fù)頻信號的新方法，使檢測效率得到了有效的提高。

2 雙Duffing振子差分方程檢測原理

在檢測范圍內(nèi)，特定參考頻率的Duffing振子不受其他頻率信號的外界干擾，只對其附近的一小部分特定頻率信號敏感[1]。

利用這一特性，得出有可能同時出現(xiàn)小幅值周期運(yùn)動和間歇混沌運(yùn)動的結(jié)論，這說明待測信號中除了可以檢測出單頻信號以外，有同時存在兩個不同頻率的正弦信號的可能，即復(fù)頻信號，否則，無弱正弦信號存在。

2.1 雙振子差分模型

在單Duffing振子測頻的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)，建立模型：

式（1）中兩振子相對獨(dú)立且不完全耦合，除了α不同之外，其余數(shù)值完全相同，且α≠1。由于差分作用，振子1的時域x1與振子2的時域x2有相位的差別，輸出時取其差值x1-x2，此處設(shè)α值為1.001。

調(diào)整γ1=0.826，使振子1處于臨界狀態(tài)的，α值驅(qū)動振子2進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)；加入待測周期信號后，振子1變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)，振子2仍為周期態(tài)，利用差分能抑制共模信號、放大差分信號的作用，此時系統(tǒng)差分輸出為一幅度很小的規(guī)則周期信號，從而判斷出微弱正弦信號的存在[2]。

2.2 差分測頻具體步驟

雙振子系統(tǒng)檢測頻率與傳統(tǒng)Duffing振子陣列法基本原理基本相同，但公比取值范圍在1.06~1.08之間[3]，具體步驟如下：

步驟1設(shè)置系統(tǒng)各參數(shù)，使振子1參數(shù)在混沌閾值處，使振子2處在大尺度周期狀態(tài)。

步驟2選取?ω為0.06~0.08[3]，則檢測頻率的范圍可達(dá)(0.94~1.08)ω0，建立雙Duffing振子陣列頻率檢測模型，以1.06n，n∈[1，40]或者1.08n，n∈[1，30]的數(shù)值設(shè)置各振子組的振子頻率。

步驟3將待測信號加入到系統(tǒng)，生成差分輸出時序圖(x2-x1)-t。

步驟4判定。（1）若某雙振子組系統(tǒng)輸出為一幅度很小的規(guī)則周期信號，則待測信號頻率就等于該振子的驅(qū)動力頻率；（2）若某兩相鄰雙振子組輸出為周期不同的間歇混沌，則待測信號頻率就等于這兩個振子的驅(qū)動力頻率的算術(shù)平均值；（3）若兩種現(xiàn)象都存在，則存在復(fù)頻信號。

具體流程圖如圖1所示。

在下面的仿真中，對單頻信號檢測?ω=0.06；對復(fù)頻信號，為了減少誤判，頻差提高到?ω=0.08。這里?ω比傳統(tǒng)方法0.01取值大很多，避免參考頻率因相差不大導(dǎo)致都在待測信號頻率附近而同時發(fā)生相變，并因此產(chǎn)生的誤判，在某種程度上說，提高了檢測精度[4]。

圖2 未加入周期信號前的差分系統(tǒng)相態(tài)圖

圖1 雙振子差分法弱信號頻率檢測流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 雙振子差分法檢測弱信號

據(jù)差分原理，圖2是振子頻率ω=1 rad/s的差分系統(tǒng)在未加入周期信號前的相態(tài)圖如圖2。

系統(tǒng)分別加入弱正弦信號0.02 cos(t)和加入信噪比為 -19 dB的高斯白噪聲（之后的仿真中皆用此噪聲）0.02 cos(t)+n(t)后的相態(tài)圖，如圖3（a）和3（b）。

圖2和圖3對比，系統(tǒng)發(fā)生了相變，由混沌臨界狀態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)，證明有弱周期信號存在[5]。

加入噪聲后，差分系統(tǒng)輸出時序圖如圖4。

從(x2-x1)-t上看，發(fā)生相變后的差分輸出為一幅值為±0.3的小幅值規(guī)則周期圖像，說明該系統(tǒng)對加入的周期信號敏感，發(fā)生了相變，弱正弦信號是存在的，且加入噪聲不影響判斷[6]。

3.2 雙振子差分法對單頻信號的檢測

雙Duffing振子各自構(gòu)建以公比為1.06的振子陣列，第n個振子的驅(qū)動力頻率為100×1.06n-1rad/s，振子數(shù)為40[7]，初始頻率ω0為1 rad/s，在高斯白噪聲背景下，將待測信號a cos(1.105t)，a=0.5的正弦信號加入系統(tǒng)，待測信號頻率為110.5 rad/s，預(yù)計會在第二和第三個振子間出現(xiàn)間歇混沌，仿真結(jié)果如圖5。

圖3 加入周期信號和噪聲后的差分系統(tǒng)相態(tài)圖

圖4 加入0.02cos(t)+n(t)的差分振子時序圖

圖5 公比為1.06的差分振子陣列加入待測信號的差分序列輸出(ω 分別取值 ω0＝1.00 rad/s，ω1＝1.06 rad/s，ω2＝1.123 6 rad/s)

圖5 所示，ω0的差分序列沒有任何周期性，表現(xiàn)為混沌態(tài)；ω1和ω2的為穩(wěn)定的間歇混沌，所以待測信號頻率為[8]：

與真實(shí)值相比，誤差為1.32 rad/s，其相對誤差為：

3.3 雙振子差分法對復(fù)頻信號的檢測

確立策動力幅值閾值為0.826，構(gòu)造同上的雙Duffing振子陣列，將初始頻率ω0改為0.92 rad/s，公比改為1.08，檢測頻率范圍為(0.92~1.08)ω0，第n個振子的頻率為0.92×1.08n-1rad/s，振子數(shù)為31個。設(shè)在高斯白噪聲背景下，將復(fù)合信號 a1cos(ω1t)+a2cos(ω2t)(ω1=0.96，ω2=1.07)作為待測信號加入到差分系統(tǒng)里，其中，a1=0.02，a2=0.5，仿真結(jié)果如圖6。

圖6 公比為1.08的差分振子陣列加入待測信號后的差分系統(tǒng)輸出前三個振子組差分輸出(ω分別取值ω0=92 rad/s，ω1=99.36 rad/s，ω2=107.31 rad/s)

ω2的差分時序輸出為小幅值的規(guī)則周期圖像，幅值為±0.4 V；而ω0和ω1的時序差分輸出為間歇混沌。

據(jù)間歇混沌理論，此待測信號有一個信號頻率與ω2的頻率相同為1.0731 rad/s，與真實(shí)信號頻率的誤差為

另外ω0和ω1的差分序列也可確定一個待測信號的頻因此系統(tǒng)平均的相對誤差為0.883 5%。

此方法比傳統(tǒng)的方法更直觀易辨，若最后的仿真時序圖表示為一段直線和一段不規(guī)則波形的規(guī)律組合，則判斷系統(tǒng)表現(xiàn)為間歇混沌，如圖5的第二個波形；若一直為恒定的小幅值規(guī)則波形，則為周期運(yùn)動，如圖4的第三個波形；否則為混沌運(yùn)動，如圖5的第一個波形，最后結(jié)合間歇混沌原理檢測弱周期信號。

4 與傳統(tǒng)單個振子陣列法的比較

4.1 傳統(tǒng)Duffing振子陣列測頻

對傳統(tǒng)方法進(jìn)行仿真如下：

設(shè)待測信號為s(t)=a cos(ωt)+n(t)，其中，a=0.2，ω=1.15 rad/s，將其加入傳統(tǒng)單個Duffing振子檢測系統(tǒng)，振子數(shù)為232個，檢測帶寬為(0.99~1.01)ω0，仿真結(jié)果中，尋找最大周期對應(yīng)頻率為待測信號頻率[9]，如圖7。

理論上，第15個振子周期性最強(qiáng)，周期最大，明顯為待測頻率[10]，而圖7中，第15個振子只可以勉強(qiáng)與理論結(jié)果相匹配，判定為待測信號頻率為114.95 rad/s，雖然此時相對誤差很小，但是圖7中可以看出，時序圖中的周期性并不是很明顯，要判定出結(jié)果，主觀性很強(qiáng)，甚至容易出現(xiàn)誤判的情況，所以它的平均相對誤差要比新方法的大，相同SNR下，錯誤概率也相對較大。

圖8 新方法與傳統(tǒng)方法抗噪性能比較

圖7 系統(tǒng)中加入s(t)=a cos(ωt)+n(t)輸出的第13~19個振子時序圖

4.2 抗噪性能比較

仿真如下：圖 8（a）和（b）為差分振子在信噪比為-17 dB的情況下的間歇混沌，隨著待測信號幅值的不斷減小，尤其是在幅值從0.203降到0.197時，系統(tǒng)的間歇混沌開始變得不明顯；同理，圖8（c）和（d）為傳統(tǒng)方法在信噪比為 -9 dB情況下的間歇混沌，在幅值由0.3降到0.2時，系統(tǒng)的狀態(tài)開始難以辨認(rèn)，因此可以得出：新方法的抗噪性能比傳統(tǒng)方法更好，更容易辨認(rèn)，減小了誤判率，而且信噪比也降低了8 dB，并且更容易檢測更微小的信號。

對于Duffing振子而言，噪聲在一定范圍內(nèi)（這個范圍需要考慮系統(tǒng)的最低信噪比門限）對系統(tǒng)的影響僅僅是使相軌跡變得粗糙，粗糙的程度由其方差決定，換言之由信噪比決定。當(dāng)系統(tǒng)原有的運(yùn)行軌跡發(fā)生變化時，則可以判斷最低檢測門限[11]，如表1，以方差為0.001的高斯白噪聲為例。

表1 方差為0.001時刻的系統(tǒng)最低檢測門限判斷

表1顯示，在 -60 dB時，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，-55 dB是狀態(tài)沒有發(fā)生變化，所以此刻最低信噪比門限為-55 dB。

其中，信噪比可定義為下式：

Ps和Pn分別表示信號功率和噪聲功率，a表示待測正弦信號的幅值，σ表示加入的高斯白噪聲的均方差。

因此，不同方差，系統(tǒng)的最低檢測門限是不同的[12]，相同方法得出表2。

表2 不同噪聲方差下的系統(tǒng)的最低檢測門限

4.3 雙振子差分法與傳統(tǒng)方法的其余參數(shù)比較

新方法與傳統(tǒng)的間歇混沌頻率檢測法比較，公比的選取也存在著很大的差異[13]，從而使振子數(shù)由232降低誤判率得到了有效的降低，抗噪性能比傳統(tǒng)方法優(yōu)越，工作量也得到了有效的控制，具體的比較見表3。

表3中，改進(jìn)的雙振子陣列差分法，振子數(shù)比傳統(tǒng)單個振子陣列法的振子數(shù)要少得多；檢測帶寬也比傳統(tǒng)方法的檢測帶寬大的多。

綜上所述，傳統(tǒng)測頻方法雖然也可以實(shí)現(xiàn)較寬頻率范圍的弱周期信號的檢測[15]，但主觀依賴性強(qiáng)，計算量大，有時，間歇混沌現(xiàn)象并不十分明顯，甚至出現(xiàn)誤判；而雙振子差分法，檢測結(jié)果更簡單，更直觀，從波形上就可以直接辨認(rèn)出信號的運(yùn)動形態(tài)，而且可以更進(jìn)一步增大檢測帶寬，抗噪性能也很理想。

表3 傳統(tǒng)振子陣列法與雙振子陣列比較列表

5 結(jié)束語

本文將兩個Duffing振子組合成雙振子差分系統(tǒng)，并結(jié)合傳統(tǒng)方法，得出檢測弱信號頻率的新方法。根據(jù)對應(yīng)的波形特征進(jìn)行分析，系統(tǒng)輸出結(jié)果分三種情況：（1）若系統(tǒng)差分輸出表示為一段直線和一段不規(guī)則波形的規(guī)律組合，那么判斷為間歇混沌；（2）若一直為恒定的小幅值規(guī)則波形，則為周期運(yùn)動；（3）否則為混沌運(yùn)動。

最后在仿真中與傳統(tǒng)方法[16]進(jìn)行比較，此方法比傳統(tǒng)的更直觀易辨，而且結(jié)果也顯示了其檢測帶寬比傳統(tǒng)方法有所增加，大大減小了計算量，檢測效率也有所提高，抗噪性能優(yōu)越，雖然精度上與傳統(tǒng)方法有微小的差異，但是其平均相對誤差還是很可觀的，是一種很好的頻率檢測方法。

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