洪鑫

一、設計說明

本節(jié)課書本上總共4個例題,教參上安排了3課時。其中三個例題難度不大，是應用基本不等式解決實際問題的兩種基本類型，是本節(jié)課要涉及的內容。有一個例題可能要利用相似三角形來列式，并用基本不等式來解決。當時在初次備課時，最讓我困惑的是如何將這4條例題在一個情境中展現給學生。經過多次的修改和考慮，我作了如下設計。

“在一塊空地上，首先圍成一個周長為30000的長方形空地，怎么圍面積最大？然后，在空地中間建造一個大型的荷花池，面積一定，怎么設計造價最低？緊接著在荷花池周圍造路，問如何設計路寬，使得占地最少？最后，在廣場的左下角，有一棵古樹，我們準備沿著它建一條直線型的景觀帶，問如何設計，使得圍成的三角形面積最?。俊边@樣設計，就很自然地將4個例題“無縫對接”好了。

二、學情分析

1.通過前面幾節(jié)的學習，學生對不等式有了初步的了解，基本能建立函數、方程及不等式之間的關系。

2.對基本不等式的前提及取等號的條件應該是學生面臨的主要問題。

3.具備“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有一定的抽象概括能力和數學建模能力及合情推理歸納能力。

三、教學目標

1.知識與技能。

學生在學會推導并掌握基本不等式、理解幾何意義、掌握不等式成立的條件基礎上，進一步掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0）；會應用此不等式求某些函數的最值；能用基本不等式解決一些簡單的實際問題。

2.過程與方法。

通過實例探究抽象基本不等式；通過4個例題的研究，掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0），并會用基本不等式求某些簡單函數的最大值、最小值。

3.情態(tài)與價值。

通過本節(jié)課的學習，體會數學基本不等式的工具性，以及與其他知識點的聯系，提高學習數學的興趣。發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、處理問題從大局入手的科學態(tài)度。

四、教學重點和難點

1.教學重點。

掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0），會用基本不等式求某些簡單函數的最值。

2.教學難點。

利用基本不等式≤（a≥0，b≥0）求最大值、最小值時所需要注意的要求。

五、教學策略選擇與設計

1.教學導圖。

給出設計方案——引出基本不等式——強調基本不等式的三個注意點——課堂練習——課后作業(yè)

2.教法。

引導探究法，本節(jié)課的教學設計意在讓學生通過對基本不等式應用的學習，自主探索與合作交流獲得新知。所以, 在教學過程中，安排學生完整經歷“思考——解答——歸納”的數學思維過程，結合多媒體及相關的實例達到讓學生掌握基本不等式簡單應用的目的。讓學生在獨立思考的基礎上進行交流活動，并注重推理能力的培養(yǎng)。

3.學法。

自主探究、合作交流。

六、教學環(huán)境及資源準備

1.多媒體教室。

2.彩色粉筆。

七、教學過程

（一）給出整個文化長廊的設計方案

【設計意圖】通過介紹整個設計方案，首先讓學生對整節(jié)課構建一個總體的框架，然后提出問題，如何能夠用基本不等式進行簡單的證明和求值，讓學生對問題產生興趣，從而達到“凝神、點題”的作用。

（二）新課講解

問題1:已知矩形文化長廊的周長為480米，怎樣設計它的長和寬，使得所圍成的矩形面積最大？

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生很自然地進入到課本的例1情境，根據所學的二次函數的知識可以很快得到解答。

解答：設長為x米，寬為（240-x）米，則

S=x（240-x），0

S=x（240-x）

=-x2+240x

=-（x-120）2+1202≤1202（配方法）

答：將空地圍成正方形時面積最大，最大面積是14400平方米。

問題2：已知長方體荷花池的容積為4800立方米,深為3米，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，問怎樣設計荷花池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生自己體會基本不等式的作用，使運用基本不等式求最值變得自然，不僵化，使學生更加容易接受。

這個荷花池造價的數學表達式是什么？怎么寫？池底造價的數學表達式是什么？

已知水池容積為4800m3深為3m，則水池的底面積為1600m2，水池底造價為240000元；池壁造價的數學表達式是什么？

設水池寬為xm，則水池壁造價為720（x+）元；

水池總造價為F=240000+720（x+）。

解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為F元，根據題意，得F=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，當x=，即x=40時，F有最小值297600。

因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元。

當學生在求水池總造價的最小值時，將會很自然地使用基本不等式，此時，教師將拋出下一個問題。

問題3：請問，用基本不等式求最小值時要注意什么？

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生充分地思考基本不等式的三大使用條件（一正，二定，三相等），學生也將很快得到結論：

（1）已知兩個正數x，y，如果積xy是定值p，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值是2（簡單記為：“積定和最小”）。

問題4：剛才的問題1是否也可以用基本不等式來解決？

設矩形一邊AB=x（00，240-x>0。由基本不等式，得≤=120，當且僅當x=240-x，即x=120時，取“=”。

由此可知，當x=120時，S取最大值1202。

答：將空地圍成正方形時面積最大，最大面積是1202。

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生開始嘗試使用基本不等式，當遇到求x（240-x）的最大值時，教師將繼續(xù)拋出問題：為什么這時又可以用基本不等式？學生將很快發(fā)現結論：

（2）已知兩個正數x，y，如果和x+y是定值s，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值是（簡單記為：“和定積最大”）。

從上面一般性的結論中，讓大家仔細觀察。

問題5：大家從中能得出用基本不等式求最值的要求嗎？

【設計意圖】從問題自然地過渡到本節(jié)課的重點——應用基本不等式求最值的講解。從問題出發(fā), 營造教學環(huán)境，引導學生進行探究性學習。進而由學生回答總結給出基本不等式求最值過程中三個條件，簡單記為：“一正，二定，三相等?！焙锨楹侠?，讓學生容易接受。

問題6：已知長方體荷花池的容積為4800立方米，深為3米，根據需要，荷花池的左右兩邊都留有寬為2米的路，頂部和底部都留有寬為4.5米的路（如圖），如何規(guī)劃荷花池的尺寸，才能使總占地面積最少？

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生進入到課本的例4情境，設荷花池的長為x，寬為，運用基本不等式，很自然地可以解決問題。最后，教師可以反問學生：此題我們可否設兩個未知數？從而引導學生進入二元函數的情境，更加深入地理解“乘積為定值，和有最小值”。

問題7：長廊內左下角E點處有一棵古樹，點E距AB、AD邊的距離分別為20米、10米，過E點修一條直線型的景觀帶，問怎樣設計，才能使得三角形AFG面積最??？

【設計意圖】通過這個問題的設置，讓學生進入到課本的例3情境，可以通過直線的相關知識解答，也可通過設邊長，用相似三角形來解決，甚至可以通過設角來作答，但最終都要通過基本不等式來完成最后的解答。讓學生更加深刻地認識到基本不等式的使用條件。

（三）課堂小結

利用基本不等式求函數最值時，必須滿足三條:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正數。

（2）積xy（或和x+y）是定值。

（3）x與y必須能夠相等。

（四）課后作業(yè)

課本第101頁習題第3、4兩題。

八、教學反思

新的教育改革正在蓬勃開展，新課程理念也逐漸深入人心。傳統(tǒng)的課堂教學模式是把教學活動的性質框定在“特殊認識活動”的范圍內，上課變成是執(zhí)行教案的過程，教師講，學生聽，采用“滿堂灌”的教法，這樣不僅導致課堂教學沉悶，而且抑制了學生的創(chuàng)新潛能。教師“以綱為綱，以本為本”的課堂教學模式已不適應新理念下的教學，更不可能完全有效地實現教學目標。面對新課程，我緊密圍繞新課程理念，按照新的數學課程標準，突出體現基礎性、普及性和發(fā)展性，使數學教育面向全體學生，讓不同的學生得到不同的發(fā)展。

（一）教學目標

1.知識與技能。

通過本節(jié)課的學習，絕大多數學生會應用此不等式求某些函數的最值；能用基本不等式解決一些簡單的實際問題。

2.過程與方法。

通過對課本4個例題的研究，深刻體會了運用基本不等式求某些簡單函數的最大值、最小值時的三個注意條件。

3.情態(tài)與價值。

通過本節(jié)課的學習，讓學生體會數學基本不等式的工具性，以及與其他知識點的聯系，提高學習數學的興趣，同時發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、處理問題從大局入手的科學態(tài)度。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學，在教學過程中面向全體學生，我主要起組織者、指導者、幫助者和促進者的作用，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境要素充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神，最終圓滿地完成了教學任務。

（二）教學過程

在本節(jié)課教學中，我擺脫了教師講、學生聽、“滿堂灌”的傳統(tǒng)教法，通過創(chuàng)設情景，采用引導探究的教學方法，注重合情推理能力的培養(yǎng)。特別注意安排學生經歷“思考——解答——歸納”的數學思維過程，讓學生通過對基本不等式應用的學習，自主探索與合作交流獲得新知。結合多媒體及相關的實例達到讓學生掌握基本不等式簡單應用的目的。結果表明，這樣的教學方式，學生的學習積極性很高，課堂上學生在不停地動手、動腦，大腦始終處于興奮狀態(tài)，積極思考，回答問題，課堂氣氛活躍，教學取得了滿意的效果。

（三）教學方法

主要采用建構主義學習理論提倡的學習方法，通過創(chuàng)設情景，引導學生進入情景、獨立探索、合作學習， 最后進行評價。在過程中，不斷對學生給予鼓勵和提示，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神。實踐表明，采用這樣的教學方法，最終達到了掌握當前所學知識的目的。

（四）學生評價

通過對學生的調查了解，學生不但對基本不定式的應用有了深刻的理解，而且通過多媒體、動手體驗解題過程，體會到解決問題給自己帶來的快樂，提高了學習數學的興趣，比以前的傳統(tǒng)教學更加形象、易懂。學生認為通過自己動手、思考、共同探索得出的結論，記憶更加深刻?？傊n堂教學中將自己的想法和“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標充分融入教學中，“以知識為載體，以思維為主線”，展現知識的發(fā)生和形成過程。采取以學生發(fā)展為本，明確本課的學習目標，以學習任務驅動為方式，穿插研究性教學嘗試，體現了“學生是學習主體，教師是引導者、參與者、組織者、合作者”的新課程理念。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的。實現了教學目標，優(yōu)化了整個教學。但是，在教學中還有很多不足，在以后的教學中將繼續(xù)努力，不斷總結經驗教訓，為高中數學教育作出貢獻。

（作者單位：江蘇省靖江市第一高級中學）

（三）課堂小結

利用基本不等式求函數最值時，必須滿足三條:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正數。

（2）積xy（或和x+y）是定值。

（3）x與y必須能夠相等。

（四）課后作業(yè)

課本第101頁習題第3、4兩題。

八、教學反思

新的教育改革正在蓬勃開展，新課程理念也逐漸深入人心。傳統(tǒng)的課堂教學模式是把教學活動的性質框定在“特殊認識活動”的范圍內，上課變成是執(zhí)行教案的過程，教師講，學生聽，采用“滿堂灌”的教法，這樣不僅導致課堂教學沉悶，而且抑制了學生的創(chuàng)新潛能。教師“以綱為綱，以本為本”的課堂教學模式已不適應新理念下的教學，更不可能完全有效地實現教學目標。面對新課程，我緊密圍繞新課程理念，按照新的數學課程標準，突出體現基礎性、普及性和發(fā)展性，使數學教育面向全體學生，讓不同的學生得到不同的發(fā)展。

（一）教學目標

1.知識與技能。

通過本節(jié)課的學習，絕大多數學生會應用此不等式求某些函數的最值；能用基本不等式解決一些簡單的實際問題。

2.過程與方法。

通過對課本4個例題的研究，深刻體會了運用基本不等式求某些簡單函數的最大值、最小值時的三個注意條件。

3.情態(tài)與價值。

通過本節(jié)課的學習，讓學生體會數學基本不等式的工具性，以及與其他知識點的聯系，提高學習數學的興趣，同時發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、處理問題從大局入手的科學態(tài)度。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學，在教學過程中面向全體學生，我主要起組織者、指導者、幫助者和促進者的作用，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境要素充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神，最終圓滿地完成了教學任務。

（二）教學過程

在本節(jié)課教學中，我擺脫了教師講、學生聽、“滿堂灌”的傳統(tǒng)教法，通過創(chuàng)設情景，采用引導探究的教學方法，注重合情推理能力的培養(yǎng)。特別注意安排學生經歷“思考——解答——歸納”的數學思維過程，讓學生通過對基本不等式應用的學習，自主探索與合作交流獲得新知。結合多媒體及相關的實例達到讓學生掌握基本不等式簡單應用的目的。結果表明，這樣的教學方式，學生的學習積極性很高，課堂上學生在不停地動手、動腦，大腦始終處于興奮狀態(tài)，積極思考，回答問題，課堂氣氛活躍，教學取得了滿意的效果。

（三）教學方法

主要采用建構主義學習理論提倡的學習方法，通過創(chuàng)設情景，引導學生進入情景、獨立探索、合作學習， 最后進行評價。在過程中，不斷對學生給予鼓勵和提示，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神。實踐表明，采用這樣的教學方法，最終達到了掌握當前所學知識的目的。

（四）學生評價

通過對學生的調查了解，學生不但對基本不定式的應用有了深刻的理解，而且通過多媒體、動手體驗解題過程，體會到解決問題給自己帶來的快樂，提高了學習數學的興趣，比以前的傳統(tǒng)教學更加形象、易懂。學生認為通過自己動手、思考、共同探索得出的結論，記憶更加深刻。總之，課堂教學中將自己的想法和“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標充分融入教學中，“以知識為載體，以思維為主線”，展現知識的發(fā)生和形成過程。采取以學生發(fā)展為本，明確本課的學習目標，以學習任務驅動為方式，穿插研究性教學嘗試，體現了“學生是學習主體，教師是引導者、參與者、組織者、合作者”的新課程理念。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的。實現了教學目標，優(yōu)化了整個教學。但是，在教學中還有很多不足，在以后的教學中將繼續(xù)努力，不斷總結經驗教訓，為高中數學教育作出貢獻。

（作者單位：江蘇省靖江市第一高級中學）

（三）課堂小結

利用基本不等式求函數最值時，必須滿足三條:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正數。

（2）積xy（或和x+y）是定值。

（3）x與y必須能夠相等。

（四）課后作業(yè)

課本第101頁習題第3、4兩題。

八、教學反思

新的教育改革正在蓬勃開展，新課程理念也逐漸深入人心。傳統(tǒng)的課堂教學模式是把教學活動的性質框定在“特殊認識活動”的范圍內，上課變成是執(zhí)行教案的過程，教師講，學生聽，采用“滿堂灌”的教法，這樣不僅導致課堂教學沉悶，而且抑制了學生的創(chuàng)新潛能。教師“以綱為綱，以本為本”的課堂教學模式已不適應新理念下的教學，更不可能完全有效地實現教學目標。面對新課程，我緊密圍繞新課程理念，按照新的數學課程標準，突出體現基礎性、普及性和發(fā)展性，使數學教育面向全體學生，讓不同的學生得到不同的發(fā)展。

（一）教學目標

1.知識與技能。

通過本節(jié)課的學習，絕大多數學生會應用此不等式求某些函數的最值；能用基本不等式解決一些簡單的實際問題。

2.過程與方法。

通過對課本4個例題的研究，深刻體會了運用基本不等式求某些簡單函數的最大值、最小值時的三個注意條件。

3.情態(tài)與價值。

通過本節(jié)課的學習，讓學生體會數學基本不等式的工具性，以及與其他知識點的聯系，提高學習數學的興趣，同時發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、處理問題從大局入手的科學態(tài)度。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學，在教學過程中面向全體學生，我主要起組織者、指導者、幫助者和促進者的作用，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境要素充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神，最終圓滿地完成了教學任務。

（二）教學過程

在本節(jié)課教學中，我擺脫了教師講、學生聽、“滿堂灌”的傳統(tǒng)教法，通過創(chuàng)設情景，采用引導探究的教學方法，注重合情推理能力的培養(yǎng)。特別注意安排學生經歷“思考——解答——歸納”的數學思維過程，讓學生通過對基本不等式應用的學習，自主探索與合作交流獲得新知。結合多媒體及相關的實例達到讓學生掌握基本不等式簡單應用的目的。結果表明，這樣的教學方式，學生的學習積極性很高，課堂上學生在不停地動手、動腦，大腦始終處于興奮狀態(tài)，積極思考，回答問題，課堂氣氛活躍，教學取得了滿意的效果。

（三）教學方法

主要采用建構主義學習理論提倡的學習方法，通過創(chuàng)設情景，引導學生進入情景、獨立探索、合作學習， 最后進行評價。在過程中，不斷對學生給予鼓勵和提示，利用情境、協作、會話等學習環(huán)境充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)新精神。實踐表明，采用這樣的教學方法，最終達到了掌握當前所學知識的目的。

（四）學生評價

通過對學生的調查了解，學生不但對基本不定式的應用有了深刻的理解，而且通過多媒體、動手體驗解題過程，體會到解決問題給自己帶來的快樂，提高了學習數學的興趣，比以前的傳統(tǒng)教學更加形象、易懂。學生認為通過自己動手、思考、共同探索得出的結論，記憶更加深刻。總之，課堂教學中將自己的想法和“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標充分融入教學中，“以知識為載體，以思維為主線”，展現知識的發(fā)生和形成過程。采取以學生發(fā)展為本，明確本課的學習目標，以學習任務驅動為方式，穿插研究性教學嘗試，體現了“學生是學習主體，教師是引導者、參與者、組織者、合作者”的新課程理念。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的。實現了教學目標，優(yōu)化了整個教學。但是，在教學中還有很多不足，在以后的教學中將繼續(xù)努力，不斷總結經驗教訓，為高中數學教育作出貢獻。

（作者單位：江蘇省靖江市第一高級中學）