馮丹丹

【設(shè)計說明】

本節(jié)課內(nèi)容是《反比例函數(shù)》起始課，屬于一節(jié)概念新授課，教材為蘇教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第11章反比例函數(shù)第一課時。本課教材從已有的小學(xué)知識“兩個量的乘積一定，那么這兩個量成反比例”出發(fā)，設(shè)問：成反比例的兩個量之間的關(guān)系，怎么用函數(shù)表達式來描述？于是引出操作題：南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發(fā)，以速度v（km/h）開往上海，全程所用時間t（h）。寫出t、v的關(guān)系式，并填寫下表：

隨著速度的變化，全程所用時間發(fā)生怎樣的變化？時間t是速度v的函數(shù)嗎？

教材給出了一組對應(yīng)關(guān)系，從對應(yīng)關(guān)系的表達式找共同特征得出反比例函數(shù)的定義。

我在設(shè)計時考慮，既不能脫離教材，又要結(jié)合實際，因此對操作題進行改編作為課題情境導(dǎo)入。本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)以及特例正比例函數(shù)后，又一次進入函數(shù)領(lǐng)域?qū)瘮?shù)再認(rèn)識的過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)既區(qū)別于一次函數(shù)，又建立在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，因此起始課對函數(shù)概念的回顧就很有必要，在教學(xué)方法上可以采取回憶得出一次函數(shù)的過程的方法。但是用什么樣的方式讓學(xué)生能回憶起函數(shù)的抽象概念并能總結(jié)出反比例函數(shù)的概念，是筆者在教學(xué)設(shè)計時遇到的最大困難。很顯然教師直接給出定義并不合適，這樣不能讓學(xué)生真正體會反比例函數(shù)的意義。我認(rèn)為，本節(jié)課的重點是進行抽象反比例函數(shù)的概念的教學(xué)，進而理解反比例函數(shù)的概念，難點同樣是理解反比例函數(shù)的概念。

【初稿設(shè)計】

介于上述考慮，筆者首先給出教學(xué)設(shè)計初稿。

情境導(dǎo)入1：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，據(jù)了解走滬寧高速平均速度為100km/h，行駛的路程s（km）隨時間t（h）的變化而變化。

問題1：此題中常量是什么？變量是什么？

問題2：變量s與時間t的關(guān)系式是什么？s是t的函數(shù)。（s=100t）

問題3：回憶什么是函數(shù)？

情境導(dǎo)入2：在出發(fā)前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（升）隨行駛里程x（公里）的變化而變化，y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

情境導(dǎo)入3：從蘇州到南京，汽車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化，t與v的函數(shù)關(guān)系式是什么？

結(jié)合教材實例列出4個函數(shù)關(guān)系式。

思考：上述函數(shù)表達式中哪些是已學(xué)的函數(shù)，分別是什么函數(shù)？一般式是什么？

討論：剩下的幾個函數(shù)有什么共同特征？（此處安排學(xué)生討論，教師總結(jié)學(xué)生討論結(jié)果）

至此，得出課題反比例函數(shù)。在得出課題后與學(xué)生一起總結(jié)反比例函數(shù)的一般式以及完整定義。（中間略）在一些概念習(xí)題后講解了待定系數(shù)法，并做相應(yīng)練習(xí)，最后總結(jié)。

針對初稿設(shè)計，我試上了一節(jié)課，通過學(xué)生表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這樣的設(shè)計存在很大的問題。

（1）由于沒有任何鋪墊，在給出“情境導(dǎo)入1”中的一個正比例函數(shù)s=100t就讓學(xué)生回答什么是函數(shù)，學(xué)生基本一無所知，一來因為函數(shù)知識的學(xué)習(xí)已經(jīng)過了一個學(xué)期，間隔較長。二來函數(shù)概念本來就過于抽象，與學(xué)生學(xué)情不符，此處耗時較長。

（2）討論問題問學(xué)生剩下幾個函數(shù)有什么共同特征？問題太大，沒有針對性，學(xué)生不知道從哪個方面來回答，給出的答案與教師預(yù)設(shè)相去較遠，遠離了本課教學(xué)目標(biāo)。教師解釋也很困難。

（3）習(xí)題部分過多討論了待定系數(shù)法，題目偏難，學(xué)生做起來很困難。導(dǎo)致最后重點偏離，難點沒有突破。

【改進后的設(shè)計】

經(jīng)過了并不成功的試上課后，聽取了聽課教師的意見，我又仔細閱讀了教材，中間聽了一節(jié)本校小學(xué)部六年級的《認(rèn)識反比例關(guān)系》的隨堂課，深受啟發(fā)。小學(xué)教師更注重對學(xué)生提問的引導(dǎo)，將問題分得很細，很有針對性，一節(jié)課解決的問題不多，但是基本上學(xué)生在上完一節(jié)課后能對本課的重點有一個深刻的印象。同時也發(fā)現(xiàn)了中小學(xué)教材在銜接上存在一些不同步，導(dǎo)致學(xué)生進入初中在學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系的時候已經(jīng)對比例關(guān)系有所淡忘。因此我在重新設(shè)計的時候有了新的想法，將小學(xué)的比例關(guān)系融合到本課的概念的抽象部分，試圖通過正反比例關(guān)系來認(rèn)識正反比例函數(shù)，在改進后的備課中也更好地使用了教材上的表格操作題，對教學(xué)設(shè)計作了如下的修改。

情境導(dǎo)入：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。

問題1：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？

問題2：你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？（t=）

問題3：利用問題2中的關(guān)系式補全下表中的t（表格中給出兩個t的數(shù)值是為了不讓學(xué)生在計算上浪費時間）。

問題4：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t 發(fā)生了怎樣的變化？

問題5：給定變量v的值，t都有唯一確定的值與它對應(yīng)嗎？

問題6：時間t是速度v的函數(shù)嗎?為什么？

問題7：時間t是速度v的一次函數(shù)嗎？

通過一個情境和一組問題，復(fù)習(xí)函數(shù)概念，區(qū)別于設(shè)計初稿中由一個關(guān)系式直接問函數(shù)概念，此處把問題細化，每個問題學(xué)生都很容易回答，設(shè)置問題串的目的主要為問題6做鋪墊，在問題中感受函數(shù)定義中的三個要素：兩個變量；一種變化關(guān)系；對一個變量，另一個變量有唯一確定的值與之對應(yīng)。

情境引入后，緊接著再給出4個生活實例要求學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式，其中兩題承接情境引入形成一個完整的情境設(shè)計，分別列出一個一次函數(shù)和一個一次函數(shù)特例正比例函數(shù)。另兩題均為反比例函數(shù)，一題是以圖表形式呈現(xiàn)，避免函數(shù)表現(xiàn)形式過于單一，一題是利用書本例子，使得函數(shù)表達式中的k出現(xiàn)負值，而更完整。

通過5個函數(shù)表達式的展示，請學(xué)生找出已學(xué)過的函數(shù)，并寫出一般式。然后觀察剩下的三個表達式，請學(xué)生先從形式上找它們的共同點并結(jié)合已學(xué)過的函數(shù)的一般式總結(jié)這些新的函數(shù)的一般式。通過展示的一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般式學(xué)生更容易通過對比寫出新的一般式。

接著留下正比例函數(shù)和新寫的函數(shù)一般式，讓學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的兩個量之間的比例關(guān)系，說出正比例函數(shù)中兩個變量成什么比例關(guān)系，并且成這樣的比例關(guān)系的兩個量之間什么是一定的。通過填空的形式學(xué)生更易回答。緊接著問新的函數(shù)關(guān)系的兩個變量什么是一定的，成什么比例。學(xué)生很容易回答上來。這樣的設(shè)計既回顧了小學(xué)比例關(guān)系，又與本課密切相關(guān)，抽象解釋出概念的過程，自然又有效。

在得出概念及符號表達式后，總結(jié)注意點，并結(jié)合式子變形，得出反比例函數(shù)的另外兩個表現(xiàn)形式。然后給出例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？

（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

此題設(shè)計中預(yù)計學(xué)生會在判斷（2）的比例系數(shù)k上出現(xiàn)問題，另外可能會在（8）的判斷中忘記k≠0的要求而判斷錯誤。因此在講解此題的時候可以考慮由學(xué)生獨立完成，學(xué)生逐一回答，并建議學(xué)生在判斷是否反比例函數(shù)的時候盡量往三個表達式的不同形式上靠，在學(xué)生出現(xiàn)錯誤的時候及時糾正。

訓(xùn)練可以讓學(xué)生對反比例函數(shù)概念的判斷、對函數(shù)表達式的幾種不同形式有更深刻的印象。

在（8）出現(xiàn)錯誤時可引出：

如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。隨后增加學(xué)生練習(xí)：當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？

例2以教師講解為主，板書規(guī)范書寫格式。鞏固練習(xí)讓學(xué)生上黑板板書。之后設(shè)計4個簡單的課堂反饋練習(xí)，目的是實時檢測課堂效果。

在練習(xí)了較多數(shù)學(xué)題目后，重新回到生活中的數(shù)學(xué)，給出一個實例：要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此題的判斷需要學(xué)生對列出的式子進行簡單的變形變?yōu)榉幢壤瘮?shù)的一般形式來判斷，從中希望能讓學(xué)生再一次深化理解：當(dāng)兩個變量的乘積是一定不為零的常數(shù)時是反比例函數(shù)。）

實例后增加兩個變形：1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a（m）的反比例函數(shù)么？通過反例進一步讓學(xué)生學(xué)會判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)。

然后可以讓學(xué)生根據(jù)生活實例去編題，讓同伴判斷是否是反比例函數(shù)，既可以加深學(xué)生對反比例函數(shù)概念的理解，又可以在學(xué)生學(xué)到疲倦的時候再次活躍課堂氣氛。

最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并留下課后思考題，做到將本節(jié)課的知識遷移到別的學(xué)科，注重學(xué)科之間的結(jié)合。我改進后的設(shè)計去掉了待定系數(shù)法，使得本課的目標(biāo)更明確，放棄了難題的訓(xùn)練，更注重對于抽象概念的教學(xué)過程，舍得在抽象概念教學(xué)過程中花時間，讓更多學(xué)生參與其中，避免了教師教的痕跡，設(shè)計問題更具針對性，注重啟發(fā)學(xué)生思考。情境設(shè)計雖貼近生活實際，但密切聯(lián)系數(shù)學(xué)問題，避免了學(xué)生回答脫離預(yù)設(shè)想法。

【課例呈現(xiàn)】

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解反比例函數(shù)的概念。

2.能根據(jù)實際問題的條件確定反比例函數(shù)的表達式。

3.會判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)。

4.通過探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關(guān)系，體會認(rèn)識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界特定數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，進一步深化理解函數(shù)的概念。

二、教學(xué)重點難點

重點是經(jīng)過抽象反比例函數(shù)概念的教學(xué)過程，理解反比例函數(shù)的概念。

難點是領(lǐng)會反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)熱情

【問題1】師：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，路上遇到一些問題，正好與本課所學(xué)內(nèi)容相關(guān)，同學(xué)們愿意幫助老師一起來解決這些問題么？

生（眾）：愿意。

師：那就讓我們一起開始一段短暫的旅行吧。

PPT顯示引例：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。

師：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？

生1：3個，常量是200，變量是時間t和速度v。

師：你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？

生2：t=。

師：非常好，那么請同學(xué)順著這位同學(xué)的回答來幫老師填寫完整下表。

學(xué)生完成，生3回答。

師：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t發(fā)生了怎樣的變化？

生4：速度v變大，時間t變小（小學(xué)里對反比例關(guān)系的變量間的關(guān)系表述，這里沒有刻意去研究k的符號問題，僅僅讓學(xué)生有一種反比的感受）。

師：給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應(yīng)嗎？

生（眾）：是的。

師：時間t是速度v的函數(shù)嗎？為什么？（特意在上個問題的引導(dǎo)下去問函數(shù)的抽象定義，為了使得學(xué)生體會一一對應(yīng)的關(guān)系）

生5：是的，因為t是隨著v的變化而變化的，并且它們之間是一一對應(yīng)的關(guān)系。（學(xué)生雖然不能完整敘述定義，但是基本能說出幾個要點。）

教師展示完整答案：因為在這個變化中，有兩個變量v和t，給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以t是v的函數(shù)。

（因為有一組問題的引導(dǎo)，生5回答的時候答出了兩個變量之間滿足函數(shù)關(guān)系必須要有一一對應(yīng)的關(guān)系。這也是函數(shù)概念中比較抽象、學(xué)生易忘記的地方。教師在學(xué)生回答完后展示完整答案并強調(diào)注意點是有必要的，視覺的感受會比聽覺更直接更深刻。）

師：時間t是速度v的一次函數(shù)嗎?

生6：不是，因為不符合一次函數(shù)的表達式。

師：很好，我們的現(xiàn)實生活中存在許許多多的變量，而函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的一種有效數(shù)學(xué)模型，下面請同學(xué)幫老師再來寫寫生活中不同的函數(shù)關(guān)系式。（此時并沒有著急提問這是什么函數(shù)？而是另外給出一系列的生活場景，讓學(xué)生進一步感受函數(shù)在生活中的意義。）

【問題2】用函數(shù)關(guān)系式表示下列問題中變量之間的關(guān)系。

（1）在出發(fā)之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，寫出油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數(shù)關(guān)系式。

（2）油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（3）把一張百元人民幣兌換成零錢，如果手邊有10元、5元、20元等不同面值的零錢，兌換的張數(shù)y隨面額x的變化而變化，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（4）實數(shù)m與n的積為-150，寫出m與n的函數(shù)關(guān)系式。

（二）合作交流，探求新知

師：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我們學(xué)過的函數(shù)？它們是什么函數(shù)？

生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我們學(xué)過的一次函數(shù)。

師追問：一次函數(shù)的表達式是什么？

生7：y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0）。

師：y=7.6x還被稱作什么函數(shù)？

生7：正比例函數(shù)。

師：正比例函數(shù)的一般式是什么呢？

生7：y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0）。

師：很好，正比例函數(shù)是一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)b=0時的特殊形式。那么請同學(xué)們觀察剩下的幾個函數(shù)表達式，從形式上看有什么共同特征？可以與你的同伴討論一下。

眾生討論，教師參與。（在給出了一次函數(shù)及特殊情況正比例函數(shù)的表達式后，讓學(xué)生類比一次函數(shù)先從形式上來認(rèn)識反比例函數(shù)）

生8：我認(rèn)為剩下的幾個函數(shù)從形式上看左邊都是一個變量，右邊都是一個分式。并且分式的分母是一個變量，分子是常數(shù)。

師：非常好，還有同學(xué)補充么？

生9：我認(rèn)為等式左邊是因變量，等式右邊的字母是自變量，并且自變量在分母上，所以不能取0。

師：很好，那你能模仿一次函數(shù)還有正比例函數(shù)的表達式，給具有共同特征的函數(shù)寫個一般式么？

生9：我認(rèn)為一般式可以寫成y=。

師：非常好，那么我們看看一次函數(shù)的k有什么要求，再看看這個函數(shù)里的k有什么要求？

生9：k是常數(shù)且k≠0。

師（PPT展示，板書修改完整表達式）：很好，在大家的幫助下，我們得到了新的函數(shù)的表達式，我們再一起仔細來看一下正比例函數(shù)和這個新函數(shù)的表達式，（此時PPT擦去y=kx+b，僅留下y=kx和y=的表達式以及相關(guān)的4個函數(shù)表達式），請同學(xué)們回憶小學(xué)學(xué)過的比例關(guān)系，想想看在這兩個表達式中，兩個變量都成什么比例關(guān)系？

學(xué)案呈現(xiàn)回憶小學(xué)學(xué)過的比例關(guān)系（學(xué)生一邊接受教師的提問，一邊對照學(xué)案的填空，回答更有針對性）

兩個量的一定，這兩個量成比例。

兩個量的一定，這兩個量成 比例。

生10：在正比例函數(shù)中，兩個變量是成正比例的。

師追問：那么成正比例關(guān)系的兩個量什么是一定的？

生10：這兩個量的比值是一定的。

師：太棒了，這位同學(xué)對小學(xué)知識掌握得很好。那么再請一位同學(xué)說說看，符合y=函數(shù)特征的兩個變量成什么比例關(guān)系？

生11：成反比例關(guān)系。

師追問：滿足什么一定關(guān)系的兩個變量成反比例關(guān)系？

生11：這兩個變量的乘積是一定的。

師：很好，那么如果要你們給這些函數(shù)取個名稱的話可以叫什么呢？

生（眾）：反比例函數(shù)（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學(xué)生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數(shù)》，與學(xué)生一起填寫完整反比例函數(shù)概念。

新授概念：形如的函數(shù)叫做函數(shù)，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結(jié)】反比例函數(shù)的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學(xué)知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結(jié)】y是x的反比例函數(shù)的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數(shù)，那么同學(xué)們能從下面這些函數(shù)中找出反比例函數(shù)么？

例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學(xué)生練習(xí)，教師巡視。請學(xué)生逐一回答。

生12：我認(rèn)為（1）中y是x的反比例函數(shù)。

師：好的，請說出比例系數(shù)k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數(shù)的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當(dāng)我們不能很容易看出k時，不如把函數(shù)寫成反比例函數(shù)的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數(shù)的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數(shù)么？

生13：我認(rèn)為（8）也是，比例系數(shù)是a。（此時出現(xiàn)預(yù)設(shè)的錯誤，并且下面學(xué)生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學(xué)來說說看。

生14：我認(rèn)為（8）不是，因為沒有強調(diào)k≠0。

師：非常好，這位同學(xué)考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數(shù)k必須不為0。

（另外對學(xué)生不太理解的（7）也作適當(dāng)?shù)闹v解。）

【階段小結(jié)】我們在判斷一個函數(shù)關(guān)系式是否是反比例函數(shù)的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數(shù)的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數(shù)的解析式是y=。

【小結(jié)】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當(dāng)成比例系數(shù)k。

【鞏固練習(xí)】當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？（學(xué)生板書，答案正確，格式規(guī)范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數(shù)：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數(shù)的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)k是-，則y與x的反比例函數(shù)關(guān)系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數(shù)，則m=_______，若是反比例函數(shù)，則m=_______。

4.若函數(shù)y=（m-3）x是反比例函數(shù)，則m=。

（五）合作交流，數(shù)學(xué)應(yīng)用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數(shù)的概念，再來看看所學(xué)反比例函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數(shù)的一般形式，所以h是a的反比例函數(shù)。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數(shù)。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數(shù)么？

師：你還能舉出生活中反比例函數(shù)的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結(jié)，共同提高

1.引導(dǎo)學(xué)生說出反比例函數(shù)概念的注意點，并注重與生活實例的結(jié)合。

2.引導(dǎo)學(xué)生歸納知識、掌握類比正比例函數(shù)、總結(jié)研究函數(shù)的一般方式，為接下來的函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設(shè)動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎?如果是，請說出比例系數(shù)；

（2）求當(dāng)x=50時函數(shù)y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當(dāng)動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學(xué)生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學(xué)反思】

在整節(jié)的設(shè)計過程中，我通過多次反復(fù)磨課修改，發(fā)現(xiàn)整節(jié)課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，學(xué)生隨時會有與施教者預(yù)定設(shè)計相背離的“意外”出現(xiàn)，因而整節(jié)課如何設(shè)計有效的問題很重要，施教者有必要引導(dǎo)學(xué)生不背離本節(jié)課的核心。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的起點，本課的設(shè)問主要從引導(dǎo)性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學(xué)生認(rèn)知特點和學(xué)習(xí)規(guī)律，達成有效的學(xué)習(xí)目標(biāo)。另外我認(rèn)為在平時的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅僅關(guān)注本課的知識點，應(yīng)該多了解、多聯(lián)系學(xué)生情況，若能結(jié)合他們已有知識甚至小學(xué)的基礎(chǔ)知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學(xué)生這門學(xué)科的生成性學(xué)習(xí)起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學(xué)生，作為一節(jié)起始課，沒有必要設(shè)置太難的題目，而是更多地讓學(xué)生打開思維，用類比正比例函數(shù)的定義給出一般式的特征等方式來學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，讓學(xué)生能通過一節(jié)課學(xué)會某種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。學(xué)生經(jīng)歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信的。

實際教學(xué)過程中，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，這也為較好地完成教學(xué)目標(biāo)起到了一個關(guān)鍵作用，我基本按照預(yù)設(shè)完成，學(xué)生也能自然得出反比例函數(shù)概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設(shè)計的活躍課堂部分因時間關(guān)系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校）

生（眾）：反比例函數(shù)（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學(xué)生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數(shù)》，與學(xué)生一起填寫完整反比例函數(shù)概念。

新授概念：形如的函數(shù)叫做函數(shù)，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結(jié)】反比例函數(shù)的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學(xué)知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結(jié)】y是x的反比例函數(shù)的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數(shù)，那么同學(xué)們能從下面這些函數(shù)中找出反比例函數(shù)么？

例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學(xué)生練習(xí)，教師巡視。請學(xué)生逐一回答。

生12：我認(rèn)為（1）中y是x的反比例函數(shù)。

師：好的，請說出比例系數(shù)k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數(shù)的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當(dāng)我們不能很容易看出k時，不如把函數(shù)寫成反比例函數(shù)的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數(shù)的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數(shù)么？

生13：我認(rèn)為（8）也是，比例系數(shù)是a。（此時出現(xiàn)預(yù)設(shè)的錯誤，并且下面學(xué)生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學(xué)來說說看。

生14：我認(rèn)為（8）不是，因為沒有強調(diào)k≠0。

師：非常好，這位同學(xué)考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數(shù)k必須不為0。

（另外對學(xué)生不太理解的（7）也作適當(dāng)?shù)闹v解。）

【階段小結(jié)】我們在判斷一個函數(shù)關(guān)系式是否是反比例函數(shù)的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數(shù)的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數(shù)的解析式是y=。

【小結(jié)】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當(dāng)成比例系數(shù)k。

【鞏固練習(xí)】當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？（學(xué)生板書，答案正確，格式規(guī)范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數(shù)：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數(shù)的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)k是-，則y與x的反比例函數(shù)關(guān)系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數(shù)，則m=_______，若是反比例函數(shù)，則m=_______。

4.若函數(shù)y=（m-3）x是反比例函數(shù)，則m=。

（五）合作交流，數(shù)學(xué)應(yīng)用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數(shù)的概念，再來看看所學(xué)反比例函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數(shù)的一般形式，所以h是a的反比例函數(shù)。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數(shù)。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數(shù)么？

師：你還能舉出生活中反比例函數(shù)的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結(jié)，共同提高

1.引導(dǎo)學(xué)生說出反比例函數(shù)概念的注意點，并注重與生活實例的結(jié)合。

2.引導(dǎo)學(xué)生歸納知識、掌握類比正比例函數(shù)、總結(jié)研究函數(shù)的一般方式，為接下來的函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設(shè)動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎?如果是，請說出比例系數(shù)；

（2）求當(dāng)x=50時函數(shù)y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當(dāng)動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學(xué)生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學(xué)反思】

在整節(jié)的設(shè)計過程中，我通過多次反復(fù)磨課修改，發(fā)現(xiàn)整節(jié)課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，學(xué)生隨時會有與施教者預(yù)定設(shè)計相背離的“意外”出現(xiàn)，因而整節(jié)課如何設(shè)計有效的問題很重要，施教者有必要引導(dǎo)學(xué)生不背離本節(jié)課的核心。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的起點，本課的設(shè)問主要從引導(dǎo)性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學(xué)生認(rèn)知特點和學(xué)習(xí)規(guī)律，達成有效的學(xué)習(xí)目標(biāo)。另外我認(rèn)為在平時的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅僅關(guān)注本課的知識點，應(yīng)該多了解、多聯(lián)系學(xué)生情況，若能結(jié)合他們已有知識甚至小學(xué)的基礎(chǔ)知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學(xué)生這門學(xué)科的生成性學(xué)習(xí)起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學(xué)生，作為一節(jié)起始課，沒有必要設(shè)置太難的題目，而是更多地讓學(xué)生打開思維，用類比正比例函數(shù)的定義給出一般式的特征等方式來學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，讓學(xué)生能通過一節(jié)課學(xué)會某種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。學(xué)生經(jīng)歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信的。

實際教學(xué)過程中，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，這也為較好地完成教學(xué)目標(biāo)起到了一個關(guān)鍵作用，我基本按照預(yù)設(shè)完成，學(xué)生也能自然得出反比例函數(shù)概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設(shè)計的活躍課堂部分因時間關(guān)系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校）

生（眾）：反比例函數(shù)（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學(xué)生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數(shù)》，與學(xué)生一起填寫完整反比例函數(shù)概念。

新授概念：形如的函數(shù)叫做函數(shù)，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結(jié)】反比例函數(shù)的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學(xué)知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結(jié)】y是x的反比例函數(shù)的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數(shù)，那么同學(xué)們能從下面這些函數(shù)中找出反比例函數(shù)么？

例1：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學(xué)生練習(xí)，教師巡視。請學(xué)生逐一回答。

生12：我認(rèn)為（1）中y是x的反比例函數(shù)。

師：好的，請說出比例系數(shù)k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數(shù)的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當(dāng)我們不能很容易看出k時，不如把函數(shù)寫成反比例函數(shù)的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數(shù)的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數(shù)么？

生13：我認(rèn)為（8）也是，比例系數(shù)是a。（此時出現(xiàn)預(yù)設(shè)的錯誤，并且下面學(xué)生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學(xué)來說說看。

生14：我認(rèn)為（8）不是，因為沒有強調(diào)k≠0。

師：非常好，這位同學(xué)考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數(shù)k必須不為0。

（另外對學(xué)生不太理解的（7）也作適當(dāng)?shù)闹v解。）

【階段小結(jié)】我們在判斷一個函數(shù)關(guān)系式是否是反比例函數(shù)的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數(shù)的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數(shù)y=為反比例函數(shù)，求函數(shù)的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數(shù)的解析式是y=。

【小結(jié)】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當(dāng)成比例系數(shù)k。

【鞏固練習(xí)】當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y=（m+1）xm-2是反比例函數(shù)？（學(xué)生板書，答案正確，格式規(guī)范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數(shù)：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數(shù)的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)k是-，則y與x的反比例函數(shù)關(guān)系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數(shù)，則m=_______，若是反比例函數(shù)，則m=_______。

4.若函數(shù)y=（m-3）x是反比例函數(shù)，則m=。

（五）合作交流，數(shù)學(xué)應(yīng)用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數(shù)的概念，再來看看所學(xué)反比例函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數(shù)么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數(shù)的一般形式，所以h是a的反比例函數(shù)。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數(shù)。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數(shù)么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數(shù)么？

師：你還能舉出生活中反比例函數(shù)的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結(jié)，共同提高

1.引導(dǎo)學(xué)生說出反比例函數(shù)概念的注意點，并注重與生活實例的結(jié)合。

2.引導(dǎo)學(xué)生歸納知識、掌握類比正比例函數(shù)、總結(jié)研究函數(shù)的一般方式，為接下來的函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設(shè)動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎?如果是，請說出比例系數(shù)；

（2）求當(dāng)x=50時函數(shù)y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當(dāng)動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學(xué)生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學(xué)反思】

在整節(jié)的設(shè)計過程中，我通過多次反復(fù)磨課修改，發(fā)現(xiàn)整節(jié)課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，學(xué)生隨時會有與施教者預(yù)定設(shè)計相背離的“意外”出現(xiàn)，因而整節(jié)課如何設(shè)計有效的問題很重要，施教者有必要引導(dǎo)學(xué)生不背離本節(jié)課的核心。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的起點，本課的設(shè)問主要從引導(dǎo)性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學(xué)生認(rèn)知特點和學(xué)習(xí)規(guī)律，達成有效的學(xué)習(xí)目標(biāo)。另外我認(rèn)為在平時的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅僅關(guān)注本課的知識點，應(yīng)該多了解、多聯(lián)系學(xué)生情況，若能結(jié)合他們已有知識甚至小學(xué)的基礎(chǔ)知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學(xué)生這門學(xué)科的生成性學(xué)習(xí)起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學(xué)生，作為一節(jié)起始課，沒有必要設(shè)置太難的題目，而是更多地讓學(xué)生打開思維，用類比正比例函數(shù)的定義給出一般式的特征等方式來學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，讓學(xué)生能通過一節(jié)課學(xué)會某種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。學(xué)生經(jīng)歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信的。

實際教學(xué)過程中，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，這也為較好地完成教學(xué)目標(biāo)起到了一個關(guān)鍵作用，我基本按照預(yù)設(shè)完成，學(xué)生也能自然得出反比例函數(shù)概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設(shè)計的活躍課堂部分因時間關(guān)系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校）