肖緒洋，陳潤(rùn)平，夏繼宏，席 鋒

(1.重慶文理學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，重慶 永川 402160; 2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

近年來(lái)，復(fù)合周期結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)典波傳播特性的調(diào)控引起了人們廣泛的關(guān)注。聲子晶體(Phononic crystal, PnC)是由彈性介質(zhì)周期交替排列形成的復(fù)合材料[1-3]。彈性波在其中傳輸時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的周期性而形成聲子帶隙[4-7](Acoustic Band Gap, ABG)，使頻率落入聲子帶隙的彈性波被禁止傳播。由于利用聲子晶體的帶隙能實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性波的有效控制，故在聲濾波、隔離噪聲、減振，以及聲學(xué)功能器件方面有著廣泛的應(yīng)用前景。

在對(duì)周期性結(jié)構(gòu)的聲子晶體研究中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)聲子晶體與光子晶體類(lèi)似，存在聲子局域態(tài)、超晶格折疊性、負(fù)折射等現(xiàn)象[8-10]。聲波在周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中的傳輸特性已有深入研究[11-13]，對(duì)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體對(duì)彈性波的調(diào)控特性也有了新的認(rèn)識(shí)[14-16]?，F(xiàn)有對(duì)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體多基于彈性波在固體介質(zhì)聲子晶體的研究。通常研究固液介質(zhì)聲子晶體是將固體薄片或固體柱體浸入液體或空氣中[17-18]。理想情況下，不考慮液體的黏滯效應(yīng)時(shí)，只能傳遞彈性縱波。而某些介質(zhì)常態(tài)時(shí)為固體，也只能傳遞彈性縱波[19]，如聚乙烯，石英等，從這一角度考慮，也可當(dāng)成“液”體介質(zhì)對(duì)待。由固體介質(zhì)和這類(lèi)“液”體介質(zhì)構(gòu)成的聲子晶體能脫離液體介質(zhì)環(huán)境而獨(dú)立存在，為其實(shí)際利用提供了方便。準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)是介于周期結(jié)構(gòu)和無(wú)序結(jié)構(gòu)之間的一種結(jié)構(gòu)，相比于周期結(jié)構(gòu)存在局域失諧。這種局域失諧結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的聲子局域化現(xiàn)象與周期結(jié)構(gòu)中由引入缺陷體產(chǎn)生的局域失諧有何區(qū)別,本文針對(duì)固“液”介質(zhì)的Fibonacci序列的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體，研究彈性波在這種無(wú)序結(jié)構(gòu)中的帶隙特征和局域化現(xiàn)象以及入射角對(duì)聲子晶體帶隙的影響。

1 對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體

一維Fibonacci序列準(zhǔn)周期固液介質(zhì)聲子晶體由固體介質(zhì)A和液體介質(zhì)B構(gòu)成。Fibonacci序列由迭代關(guān)系生成，設(shè)Fj={Fj-1,Fj-2} 當(dāng)j≥2時(shí)，其中F0={A} 和F1={AB}。對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)表示為Sj=FjF’j，其中F’j為與Fj對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。當(dāng)j=5時(shí)的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體如圖1所示，A為固體介質(zhì)，B為液體介質(zhì)，其厚度分別為da，db。

圖1 對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體

在不考慮液體介質(zhì)的橫向粘滯效應(yīng)情況下，液體介質(zhì)中不能傳輸橫波，只能傳輸縱波。在相鄰固液介質(zhì)的界面上，根據(jù)位移和應(yīng)力在界面的連續(xù)條件，得到在相鄰界面上前行波和后行波的振幅關(guān)系為：

(1)

(2)

式中;

和

(3)

式中:θ為聲波在端面的入射角，θjT和θjL分別為橫波和縱波在固體介質(zhì)面上的入射角，θj+1為聲波在液體界面上的入射角，均由Snell定律確定；λ和μ分別為固體介質(zhì)的拉梅常數(shù)，下標(biāo)L表示縱波，T表示橫波。

波通過(guò)厚度為dj的介質(zhì)后，僅有相位發(fā)生變化，相應(yīng)的傳輸矩陣為：

(4)

在一個(gè)周期內(nèi)的傳輸矩陣可寫(xiě)為：

(5)

進(jìn)而可得到整個(gè)對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期聲子晶體的傳輸矩陣，并可進(jìn)一步求得透射率和反射率。

2 數(shù)值結(jié)果和討論

固體介質(zhì)A和液體介質(zhì)B分別為鋁和聚乙烯，相應(yīng)的物理參數(shù)為：ρa(bǔ)=2 700 kg/m3,cLa=6 350 m/s，cTa=3 080 m/s，ρb=920 kg/ m3,cb=2 000 m/s，介質(zhì)厚度da=cLa/4f0,db=cb/4f0，f0(=10 kHz)為入射彈性波的中心頻率。環(huán)境介質(zhì)為水，ρ0=1 000 kg/ m3,c0=1 480 m/s。利用傳輸矩陣法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并分析彈性波在不同準(zhǔn)周期序列的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)聲子晶體中的傳輸特性。

2.1 彈性波正入射

中心頻率為f0彈性縱波正入射，序列分別為S4、S5、S6和S7的準(zhǔn)周期對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)聲子晶體的透射特性如圖2(a)、(b)、(c)和(d)所示。從圖中看出，在中心頻率f0處出現(xiàn)了局域諧振模，頻率半高寬僅為幾Hz；其帶隙比由A和B構(gòu)成的周期聲子晶體帶隙要寬[19]，且隨著序列的增加，帶隙略有展寬。實(shí)際上，在透射譜中，中心頻率奇數(shù)倍處都將出現(xiàn)諧振模，這與周期結(jié)構(gòu)中心缺陷的情況相同[21]。為了方便，我們僅討論一級(jí)聲子帶隙。從圖2(a)、(b)和(c)的插入圖發(fā)現(xiàn)，除了中心頻率處的局域諧振，還在中心頻率兩側(cè)對(duì)稱(chēng)的出現(xiàn)兩條次級(jí)局域諧振模，其頻率半高寬較中心局域諧振模頻率半高寬窄。序列越大，局域諧振越強(qiáng)，因而品質(zhì)因子(中心頻率/頻率半高寬)越高。

由于低序列的準(zhǔn)周期聲子晶體，主要表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)的非周期性，相當(dāng)于在周期結(jié)構(gòu)中加入多個(gè)缺陷層。因此，彈性波從準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射后將產(chǎn)生局域諧振模。當(dāng)準(zhǔn)周期序列增大時(shí)，準(zhǔn)周期聲子晶體的無(wú)序性降低，而有序性增強(qiáng)，將主要表現(xiàn)出周期結(jié)構(gòu)的特性。在所討論的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中，在對(duì)稱(chēng)面兩側(cè)(對(duì)稱(chēng)中心處)，奇數(shù)序列為介質(zhì)B，偶數(shù)序列為介質(zhì)A。由此可以把這兩層介質(zhì)看做缺陷體，又因?yàn)樘幱诮Y(jié)構(gòu)中心處，因而在透射譜的帶隙中心應(yīng)出現(xiàn)局域諧振模，這與局域理論完全相符。

圖2(d)所示為彈性波在S7序列中的透射譜。在該透射譜中，只在中心頻率處出現(xiàn)一條局域諧振模，但其頂部不再平坦，變?yōu)殇忼X狀。由于結(jié)構(gòu)層數(shù)增多使局域諧振增強(qiáng)，同時(shí)對(duì)局域聲子的選頻作用也增強(qiáng)，使次級(jí)局域諧振模向中心頻率靠近而合并，次級(jí)局域諧振模消失。

在圖2(b)、(c)和(d)中，在0.3f0和1.7f0附近出現(xiàn)帶邊諧振，且隨著序列的增加，帶邊的諧振增強(qiáng)。而圖2(a)中，由于S4序列(ABAABABAABABAABA)相當(dāng)于在周期結(jié)構(gòu)中引入三個(gè)缺陷層，其透射譜中出現(xiàn)三個(gè)局域諧振模，帶邊沒(méi)有局域諧振。另外，從圖中對(duì)比還發(fā)現(xiàn)，序列越高，中心諧振模的帶邊越陡。這是因?yàn)樾蛄性黾訒r(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的層數(shù)增加更快，諧振越強(qiáng)，從而使聲子局域頻率的帶寬變窄。

圖2 正入射時(shí)不同對(duì)稱(chēng)序列準(zhǔn)周期聲子晶體的透射譜

圖3 不同介質(zhì)時(shí)S6序列的透射譜

彈性波在由不同介質(zhì)構(gòu)成的S6序列中的透射如圖3所示。圖3(a)和(b)為液體介質(zhì)B為黏合劑(ρb=1 738 kg/ m3,cb=2 240 m/s)，固體介質(zhì)A為鋁時(shí)的彈性波透射譜。與圖2(c)相比，聲子帶隙變窄，帶邊局域諧振減弱。圖3(c)為液體介質(zhì)B為聚乙烯，固體介質(zhì)A為鋼(ρa(bǔ)=7 800 kg/m3,cLa=5 850 m/s，cTa=3 230 m/s)時(shí)彈性波的透射譜。其帶隙增寬，帶邊局域諧振更強(qiáng)。透射譜變化的主要原因在于介質(zhì)的波阻抗(Z=ρcL)不同。鋁和聚乙烯的波阻抗比為ZA/ZB=9.32，鋁和黏合劑的波阻抗之比為ZA/ZB=4.40，鋼和聚乙烯的波阻抗之比為ZA/ZB=24.80。固液介質(zhì)的波阻抗越大，帶隙越寬，局域諧振場(chǎng)強(qiáng)。當(dāng)固體介質(zhì)為鋼時(shí)，由于介質(zhì)的波阻抗相差太大，只有中心處的局域諧振能透射，抑制了次級(jí)諧振。

2.2 彈性波斜入射

為清晰認(rèn)識(shí)彈性縱波在該對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期固液介質(zhì)聲子晶體中的傳輸特性，需要研究彈性縱波斜入射時(shí)縱波的透射譜。由Snell定律，固液介質(zhì)界面上的臨界角為θc=arcsin(cb/cLa)=18.4°。在固液界面上彈性波的入射角大于時(shí)由于發(fā)生全反射而不能在結(jié)構(gòu)中傳輸。當(dāng)彈性縱波以5°斜入射S4、S5、S6和S7的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體時(shí)，相應(yīng)的透射譜如圖4(a)、(b)、(c)和(d)所示。從圖中看出，斜入射時(shí)，一級(jí)帶隙略微展寬，并向高頻區(qū)移動(dòng)，這一特點(diǎn)與周期結(jié)構(gòu)聲子晶體相同[16]。同時(shí)在頻率2.00f0～2.10f0內(nèi)出現(xiàn)次級(jí)帶隙。

另外，一級(jí)帶隙的帶間諧振和帶邊諧振以及級(jí)次帶隙的帶間諧振隨著序列的增加顯著增強(qiáng)。從圖中看出，固液聲子晶體對(duì)彈性波入射角很敏感，彈性波以較小的角度入射，就能使聲子帶隙發(fā)生很大的變化。彈性波斜入射時(shí)，透射譜發(fā)生頻移，使原來(lái)在中心頻率處的局域諧振模也向高頻區(qū)移動(dòng)，出現(xiàn)在1.07f0附近。當(dāng)彈性波以15°斜入射S7序列的透射如圖4(e)所示。此時(shí)只有低頻彈性波透射，其頻率上限約為0.54f0，頻率大于此值的彈性波在端面被全反射。從插入圖中還可以算出，在0.26f0～0.31f0間出現(xiàn)一個(gè)低頻帶隙。次級(jí)帶隙產(chǎn)生的原因在于，入射的彈性縱波在固體介質(zhì)中將有一部分轉(zhuǎn)換為橫波，而這一部分橫波是不能在液體介質(zhì)中傳播的。

圖4 斜入射時(shí)不同對(duì)稱(chēng)序列準(zhǔn)周期聲子晶體的透射

3 結(jié) 論

本文基于Fibonacci準(zhǔn)周期序列，提出了一維固液介質(zhì)聲子晶體的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)。利用傳輸矩陣法，研究了彈性縱波在其中的透射特性。數(shù)值研究的結(jié)果表明，彈性波正入射時(shí)，該對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期固液聲子晶體的帶隙中，由于結(jié)構(gòu)的失諧，在中心頻率附近出現(xiàn)局域諧振模，其頻率帶寬僅為幾Hz，因此，利用該準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體獲得的局域諧振模，比通過(guò)引入缺陷結(jié)構(gòu)得到的諧振模有更高的品質(zhì)因子。根據(jù)這一特點(diǎn)，利用不同的對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期序列，可實(shí)現(xiàn)超窄帶的多通道濾波。當(dāng)彈性波以較小的角度斜入射時(shí)，聲子帶隙以及帶隙中的局域諧振模都略微向高頻方向移動(dòng)，同時(shí)出現(xiàn)次級(jí)聲子帶隙。

利用彈性波在對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中的局域失諧，得到品質(zhì)因子很高的局域諧振模，以實(shí)現(xiàn)超窄帶聲子濾波，這對(duì)設(shè)計(jì)和制備聲波器件具有重要意義。

[1]Kushwaha M S. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. Phys. Rev. Lett. 1993, 71(13):2022-2025.

[2]Jesen J S, Phononic band gaps and vibrations in one-and two-dimensional mass-spring structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 266(5)：1053-1078.

[3]Wang Gang, Yu Dian-long, Wen Ji-hong. One-dimensional phononic crystals with locally resonant structures[J]. Physics Letters A, 2004, 327(5-6)：512-521.

[4]Sigalas M M, Soukoulis C M. Elastic-wave propagation through disordered and/ or absorptice layered systems[J]. Phys. Rev. B, 1995,51(5): 2780-2789.

[5]Liu Z Y, Zhang X X, Mao Y W, et al. Locally resonant sonic materials[J]. Science, 2000, 289: 1734-1736.

[6]Wang G, Wen X S, Wen J H, et al. Two-dimensional locally resonant phononic crystals with binary structure[J]. Phys. Rev. Lett. 2004, 93(15):154302.

[7]舒海生,劉少剛,王威遠(yuǎn),等.集中質(zhì)量邊界條件下聲子晶體桿的縱向振動(dòng)傳遞特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊,2012,31(19):113-117.

SHU Hai-sheng, LIU Shao-gang,WANG Wei-yuan, et al. Transmission characteristic of longitudinal vibration of a phononic crystal rod with concentrated mass boundary condition[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(19):113-117.

[8]溫激鴻，王剛，劉耀宗，等，基于集中質(zhì)量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計(jì)算[J].物理學(xué)報(bào)，2004，53(10)，3384-3388.

WEN Ji-hong, WANG gang, LIU Yao-zhong, et al. Lumped-mass method on calculation of elastic band gaps of one-dimensional phononic crystals[J], Acta Physica Sinica, 2004，53(10)，3384-3388.

[9]吳福根，劉有延，二維周期性復(fù)合介質(zhì)中聲波帶隙結(jié)構(gòu)及其缺陷態(tài)[J], 物理學(xué)報(bào)，2002，51(7)，1434-1438.

WU Fu-gen, LIU You-yan. Acoustic band gaps and defect states in two-dimensional composite materials[J]. Acta Physica Sinica, 2002, 51(7):1434-1438.

[10]Peng Pai, Qiu Chun-yin, Ding Yi-qun, et al, Acoustic tunneling through artificial structures: From phononic crystals to acoustic metamaterials[J].Solid State Communications, 2011, 151(5): 400-403.

[11]Hou Zhilin, Badreddine M A, Transmission property of the one-dimensional phononic crystal thin plate by the eigenmode matching theory[J]. Journal of Phys. D: Appl. Phys. 2008, 41(9): 095103.

[12]Khelif A, Djafari-Rouhani B, Vasseur J O, et al, Transmission and dispersion relations of perfect and defect-containing waveguide structures in phononic band gap materials[J]. Phys. Rev. B, 2003,68(2):024302.

[13]宿星亮, 高原文. 含有功能梯度材料的一維聲子晶體彈性波帶隙研究[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33(1):75-80.

SU Xing-liang, GAO Yuan-wen. Research on band gap of one-dimensional phononic crystals with functionally graded materials[J]. Chinese Journal of solid mechanics, 2012, 33(1): 75-79.

[14]曹永軍, 董純紅, 周培勤.一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射性質(zhì)的研究[J]. 物理學(xué)報(bào)，2006，55(12):6470-6475.

CAO Yong-jun, DONG Chun-hong, ZHOU Pei-qin. Transmission properties of one-dimensional qusi-periodical phononic crystal[J]. Acta Physica Sinica, 2006, 55(12): 6470-6474.

[15]楊立峰, 王亞非, 周鷹. 一維壓電Fibonacci類(lèi)準(zhǔn)周期聲子晶體的傳輸特性[J]. 物理學(xué)報(bào)，2012，61(10):107702-6.

YANG Li-feng, WANG Ya-fei, ZHOU Ying. The transmission properties in one-dimensional piezoelectric Fibonacci-class quasi-periodical phononic crystals[J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61(10):107702-6.

[16]Wang Gang, Wen Ji-hong, Wen Xi-sen, Quasi-one-dimensional phononic crystals studied using the improved lumped-mass method: Application to locally resonant beams with flexural wave band gap[J]. Phys. Rev. B, 2005, 71(10)：104302-5.

[17]劉啟能. 固流結(jié)構(gòu)聲子晶體中彈性波能帶的色散研究[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2009，38(1):107-112.

LIU Qi-neng. Dispersive study on the photonic bandgap of solid and fluid phononic crystal[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2009, 38(1):107-112.

[18]Romero-Garcia V, Sanchez-Perez J V, Castineira-lbanez S, et al, Evidences of evanescent Bloch waves in phononic crystals[J]. Appl. Phys. Lett. 96(12), 2010, 124102.

[19]Rose J L. 固體中的超聲波[M]. 何存富, 吳斌, 王秀彥譯. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.

[20]劉啟能. 一維聲子晶體的傳輸特性[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2008，37(1):179-182.

LIU Qi-neng, Transfer characteristic of one-dimensional phononic crystal[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2008, 37(1):179-182.

[21]朱 敏，方云團(tuán)，沈廷根. 一維聲子晶體的缺陷態(tài)的研究[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2005，34(3):536-541.

ZHU Min, FANG Yun-tuang, SHEN Ting-gen, Study on one-dimensional phononic crystal with defects[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2005, 34(3):536-541.