曹體濤，羅 刊

(中國中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川 成都 610031)

混沌微粒群優(yōu)化算法及其在非線性函數(shù)參數(shù)估計中的應(yīng)用

曹體濤，羅 刊

(中國中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川 成都 610031)

混沌微粒群優(yōu)化算法是在微粒群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上引入混沌思想，提高算法的局部搜索能力，具有良好的性能。主要介紹微粒群算法的原理以及混沌優(yōu)化思想，最后結(jié)合求解平面度誤差證明混沌微粒群算法在非線性函數(shù)參數(shù)估計中的有效性及應(yīng)用前景。

微粒群優(yōu)化算法；混沌原理；參數(shù)估計；平面度誤差

微粒群優(yōu)化算法(PSO)是美國心理學(xué)家Kennedy和電器工程師Eberhart受鳥類覓食行為的啟發(fā)而提出的一種基于群體智能的新的進(jìn)化算法[1]。該算法首先隨機(jī)產(chǎn)生一定數(shù)量的微粒子，然后再通過迭代計算不斷地調(diào)整自己的位置。在每一次迭代過程中，微粒子跟蹤兩個極值：一個是自身的最佳位置，另一個是群體最佳位置。PSO算法通用性強(qiáng)，而且原理簡單容易實(shí)現(xiàn)，并能利用個體局部信息和群體全局信息指導(dǎo)搜索。但是，PSO算法也存在著一些缺點(diǎn)，算法的局部搜索能力不強(qiáng)，容易陷入局部極小解。而混沌思想通過混沌搜索的軌道遍歷性，能夠避免搜索陷入局部極小解的情況發(fā)生。

本文介紹了將混沌原理與PSO算法結(jié)合的混沌微粒群優(yōu)化算法(CPSO)[2]，通過基于混沌機(jī)制的局部搜索來增強(qiáng)算法的局部搜索能力，提高算法的性能。并利用CPSO算法求解平面度誤差，說明CPSO算法在進(jìn)行非線性目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化中的有效性和準(zhǔn)確性。

1 混沌微粒群優(yōu)化算法介紹

1.1 微粒子算法介紹

微粒子算法是一種基于群體智能的隨機(jī)尋優(yōu)算法。微粒子算法首先在可行解空間隨機(jī)產(chǎn)生一組帶速度和位置的微粒群，粒子在每一次的進(jìn)化過程中跟蹤兩個極值：自身的最佳位置和群體最佳位置。在d維搜索空間，把第i個粒子的位置和速度分別表示為：Xi=[xi，1,xi,2,…，xi,d]和Vi=[vi，1,vi,2,…,vi,d]。然后根據(jù)計算得到的各微粒的目標(biāo)函數(shù)值，更新在每次進(jìn)化后的每個微粒所經(jīng)過的最佳位置Pi=[Pi,1,Pi,2,…,Pi,d]以及群體的最佳位置Pg。對于每一次迭代，各微粒的速度和位置的更新公式為

(1)

(2)

式中：w為慣性權(quán)因子，c1和c2為正的加速常數(shù)，r1和r2為在0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

式(1)中，慣性權(quán)因子在決定下一次進(jìn)化過程中微粒的速度起到了很大作用，因此，慣性權(quán)的選擇直接影響算法的搜索性能。在此，采用自適應(yīng)的慣性權(quán)系數(shù)，它能夠根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值動態(tài)地調(diào)節(jié)慣性權(quán)，有利于提高算法的全局搜索能力

(3)

式中:wmax和wmin分別代表w的最大值和最小值，f為當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值，favg和fmin分別為所有微粒的平均值和最小目標(biāo)值。

微粒子群算法流程如圖1所示。

圖1 微粒子群算法流程

1.2 混沌優(yōu)化思想

混沌優(yōu)化的主要思想是對給定的函數(shù)，通過將搜索過程對應(yīng)為混沌軌道的遍歷過程，利用混沌動態(tài)特性來實(shí)現(xiàn)對解空間的搜索。最常用的混沌序列發(fā)生器[3]

xk+1=4xk(1-xk),0≤x0≤1.

(4)

當(dāng)x0?{0,0.25,0.5,1}時，式(4)的映射所產(chǎn)生的序列呈現(xiàn)出混沌的動態(tài)特征，初始變量的微小變化將導(dǎo)致后續(xù)軌道的巨大不同。

i=1,2,…,n;j=1,2,…,d.

(5)

式中:n為粒子個數(shù)，d為搜索空間維數(shù)，xmin,j和xmax,j分別為第j維變量的搜索上下界。

(6)

1.3 混沌PSO算法

在標(biāo)準(zhǔn)微粒子群算法的進(jìn)化過程中，算法每迭代一次就更新一次所有粒子的速度、位置和目標(biāo)函數(shù)值，因此，在每次更新的過程中引入混沌機(jī)制，對微粒子群中的最佳微粒進(jìn)行混沌搜索。本文采用的混沌PSO算法步驟為：

1)初始化粒子群中每個粒子的位置、速度以及每個粒子和粒子群的最佳位置；

2)根據(jù)式(1)、(2)、(3)，更新各微粒的位置和速度，并計算其相對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；

3)對粒子群中所有微粒進(jìn)行評價，更新每個微粒經(jīng)過的最佳位置；

4)更新整個粒子群的群體最佳位置；

5)對群體的最佳微粒執(zhí)行混沌局部搜索(認(rèn)為擁有最佳目標(biāo)函數(shù)值的粒子為群體的最佳微粒)，然后更新這個微粒的最佳位置和粒子群的群體最佳位置；

6)如果算法滿足停止準(zhǔn)則，則輸出粒子群的群體最佳位置及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。否則，算法流程轉(zhuǎn)向2)繼續(xù)進(jìn)化。

混沌PSO算法是在PSO算法基礎(chǔ)上的一個改進(jìn)，是對兩者的一個綜合。用PSO算法主要進(jìn)行全局搜索，而混沌搜索則主要根據(jù)PSO算法的結(jié)果執(zhí)行局部搜索，這種混合方法更好地平衡了算法的全局搜索和局部搜索能力，從而提高整體算法的快速性、有效性以及魯棒性。

2 混沌PSO算法在非線性目標(biāo)函數(shù)參數(shù)估計中的應(yīng)用

利用混沌PSO算法可以對一些復(fù)雜非線性函數(shù)參數(shù)進(jìn)行估計[4，9]，本文以求解平面度誤差為例，運(yùn)用混沌PSO算法進(jìn)行平面度誤差的計算，并與其他方法的結(jié)果相比較，來說明混沌PSO算法的有效性。

(7)

在算例中，采用參考文獻(xiàn)[5]給出的用于平面度誤差評定的一組測量數(shù)據(jù)，見表1。設(shè)置迭代次數(shù)為500，種群大小為20，粒子維數(shù)為3，慣性權(quán)因子下限為0.2，慣性權(quán)因子上限為1.2，加速常數(shù)C1和C2取為2。選取最小二乘的結(jié)果對粒子進(jìn)行初始化，位置范圍為-10～10。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)(7)，即可求得f(a,b)的最小值。

表1 待擬合平面點(diǎn)原始數(shù)據(jù) μm

本文采用VC++進(jìn)行程序設(shè)計[6]，通過對表1測量數(shù)據(jù)計算，得到平面誤差為7.75 μm，a=-0.487 8 μm·cm-1,b=-0.204 4 μm·cm-1。利用本文介紹算法計算結(jié)果與參考文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果對比見表2。

表2 計算結(jié)果對比

從表2可以看出，CPSO算法所得到的平面度誤差最小，且只迭代了500次，說明本文介紹算法的有效性和快速性。由于該算法具有全局和局部搜索能力，可以保證搜索到全局的最優(yōu)解，進(jìn)而準(zhǔn)確求得平面度誤差。

3 結(jié)束語

通過求解平面度誤差的計算應(yīng)用，可以看出CPSO算法在進(jìn)行非線性函數(shù)參數(shù)優(yōu)化中具有較大優(yōu)勢。通常利用的最小二乘法是對非線性函數(shù)線性化后再平差求解，其線性化過程較麻煩且不夠準(zhǔn)確，但粒子群算法較好地解決了這些問題。與其他智能優(yōu)化算法相比，PSO算法原理簡單，參數(shù)個數(shù)較少，是新一代的群體智能優(yōu)化算法，有廣闊的發(fā)展前景[8-10]，PSO算法在與混沌優(yōu)化法結(jié)合后表現(xiàn)出了更優(yōu)秀的性能。雖然CPSO算法目前的實(shí)際應(yīng)用還相對較少，但在一些專業(yè)領(lǐng)域，已經(jīng)將其應(yīng)用到圖像處理以及變形監(jiān)測的分析、預(yù)報中，相信在不久的將來會得到推廣。

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[責(zé)任編輯：郝麗英]

Chaoticparticleswarmoptimizationalgorithmanditsapplicationtononlinearfunctionparameterestimation

CAO Ti-tao LUO Kan

(China Railway No.2 Engineering Group Co. Ltd.，Chengdu 610031,China)

Chaotic particle swarm optimization algorithm is an algorithm based on the introduction of chaotic thought,which improves the algorithm’s local search capability,and has a good performance. It mainly introduces the principle of particle swarm optimization,as well as the chaos optimization idea,and finally combining with the two to solve flatness error is proves the effectiveness and the general application prospects of this algorithm for parameter estimation in nonlinear function.

particle swarm optimization algorithm;chaotic principle;parameter estimation;flatness error

2014-04-03

曹體濤(1977-)，男，工程師，研究方向：精密工程測量.

TP18

A

1671-4679(2014)05-0054-03