劉安立

古希臘哲學(xué)家芝諾（約公元前490～約前430）是出了名的喜歡創(chuàng)制非常難解的謎題的人。他想出了一系列看似很有理、卻又明顯矛盾的情形，它們被稱為“芝諾悖論”。芝諾悖論中有九個(gè)悖論流傳至今，其中最著名的、也最頑固難破的有三個(gè)，分別是“阿喀琉斯和烏龜”、“二分法辯論”和“飛行中的箭頭”。

在超過兩千年的時(shí)間里，芝諾的系列悖論困擾、挑戰(zhàn)、影響、啟發(fā)、激怒和逗趣了許許多多的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)家和歷史學(xué)家相信，芝諾悖論都是簡單的數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)代微積分對(duì)它們提供了數(shù)學(xué)解決方法。然而，一些哲學(xué)家卻堅(jiān)持認(rèn)為，芝諾悖論及其變種依然是懸而未決的形而上學(xué)問題。而絕大多數(shù)自然科學(xué)家的觀點(diǎn)是，這些哲學(xué)家的說法實(shí)乃玄論。

不過，也許出人預(yù)料，到了今天，這些古老理念竟然在幫助科學(xué)家對(duì)付一個(gè)危險(xiǎn)得多的問題。這是怎么一回事？

芝諾的系列悖論中最有名的一個(gè)是“阿喀琉斯和烏龜”。神話中，阿喀琉斯（也稱阿基里斯，希臘神話中的勇士，曾參加圍攻特洛伊城）出生后被其母倒提著腳在冥河水中浸過，因此除未浸到水的腳踵外，渾身刀槍不入。

“阿喀琉斯和烏龜”悖論說的是，英雄阿喀琉斯參加與一只烏龜?shù)拈L跑比賽。這不是一只普通烏龜，而是在擊敗了伊索（古希臘寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只烏龜。為了公平起見，阿喀琉斯讓烏龜領(lǐng)先一步——比如1千米。比賽開始后，阿喀琉斯很快就到達(dá)了烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)。然而，此時(shí)烏龜已笨拙地前進(jìn)了一段距離，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了這100米，但此刻烏龜又往前挪動(dòng)了一小段距離——1/100千米……

芝諾悖論指出，由于烏龜總是領(lǐng)先阿喀琉斯一步——每當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)烏龜所在的上一個(gè)位置，烏龜總是又往前走了一段距離（盡管這段距離可能很短很短），所以阿喀琉斯永遠(yuǎn)都追不上烏龜。雖然阿喀琉斯每次所跑的距離越來越短，但烏龜有無限段領(lǐng)先距離需要他跨越。這個(gè)距離用公式可表述為：

1+1/10+1/100+1/1000+…10的無限次方分之一

根據(jù)芝諾所言，阿喀琉斯“不可能在有限時(shí)間內(nèi)跨越無限段的距離”。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才證明了芝諾悖論是錯(cuò)的。隨著阿喀琉斯與烏龜之間的距離越來越短，阿喀琉斯追趕得也越來越快。事實(shí)上，阿喀琉斯與烏龜之間的距離最終會(huì)變得無限短，以至于他瞬間就跑過了烏龜。因此，他完全能趕上烏龜，輕易超越它。

也許讀到這里，還是有些讀者搞不明白芝諾悖論為什么是錯(cuò)的。其實(shí)，不少當(dāng)代哲學(xué)家聲稱，芝諾悖論在數(shù)學(xué)邏輯上也許是錯(cuò)的，但在邏輯思維上完全站得住腳。果真如此嗎？

事實(shí)上，提出這一悖論的芝諾本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上烏龜。不然的話，芝諾悖論就不會(huì)被叫作悖論了。芝諾把阿喀琉斯追烏龜?shù)倪^程無限分割，這一點(diǎn)沒有什么錯(cuò)誤。但由此得出追趕過程的段落無窮多、因而追趕過程的持續(xù)時(shí)間也無窮大這個(gè)結(jié)論就大錯(cuò)特錯(cuò)了。無窮個(gè)數(shù)字相加之和可以是有限的數(shù)值，而不是想當(dāng)然的無窮大。中國莊周所著《莊子》一書的《天下篇》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。一尺的長度可以無限分割，換句話說，無窮個(gè)線段相加可以等于一尺。無窮個(gè)線段之和可以是有限的，因此走完這樣的無窮個(gè)線段所需的時(shí)間也是有限的。線段上有無窮個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)沒有大小，線段卻有確定的長度。這個(gè)問題正好和芝諾悖論有些相似，如果理解不了芝諾悖論，那么就解釋不清楚為什么沒有長度的點(diǎn)能構(gòu)成線段。事實(shí)上，這也正是亞里士多德對(duì)芝諾這一悖論的反駁思路。

現(xiàn)在回到前述的悖論。那么，到什么位置時(shí)阿喀琉斯能追上烏龜呢？由于19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的工作，我們知道，對(duì)于任何介于0和1之間的數(shù)值n來說：

1+n+n2 +n3 +…n的無限次方=1/（1-n）

對(duì)于芝諾悖論而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯會(huì)在僅僅跑了1.11米之后就追上烏龜?？瓷先?，這個(gè)結(jié)果不過是滿足人們對(duì)一個(gè)歷史悖論的好奇心。然而，這種觀念直到今天依然具有現(xiàn)實(shí)意義。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家們不是用它來研究人龜賽跑，而是利用它來與疾病作斗爭。

自從中東呼吸道綜合癥這種疫病于2012年9月首次被報(bào)告以來，全球這方面的病例已超過400例。有時(shí)候，疫情僅包括一名患者，他（她）常常是被一個(gè)未知的外部來源感染的。有時(shí)候，被感染者呈一個(gè)簇群，他們可能是相互交叉感染的。

測(cè)量疫情傳播的途徑之一，是運(yùn)用增值數(shù)，以R代表。增值數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，在這里是指由一個(gè)典型感染者引發(fā)的次級(jí)感染病例的平均數(shù)量。如果R大于1，那么每個(gè)感染者都會(huì)導(dǎo)致至少一個(gè)次級(jí)病例（次級(jí)感染者），而這樣的感染可能引發(fā)一場主要疫情。如果R小于1，那么疫情最終會(huì)逐漸弱化乃至消失。

盡管中東呼吸道綜合癥迄今為止尚未造成大的疫情，但了解增值數(shù)依然很重要。病毒距離一個(gè)重要門檻越近，它為了有效傳播開來而所需跨越的障礙就越小。運(yùn)用增值數(shù)，科學(xué)家就能估計(jì)當(dāng)一場新的感染進(jìn)入人群后可能會(huì)造成什么后果。平均來說，初始病例會(huì)產(chǎn)生R個(gè)次級(jí)病例，這R個(gè)病例接著會(huì)產(chǎn)生在它基礎(chǔ)上的R個(gè)病例，即R2 個(gè)病例，如此延續(xù)。

如果R的數(shù)值小于1，形成的模式將正如“阿喀琉斯和烏龜”悖論情形。因此，如果科學(xué)家已經(jīng)知道了增值數(shù)的具體數(shù)值，就能使用同樣的公式來算出平均而言的疫情暴發(fā)規(guī)模大小：

疫情暴發(fā)平均規(guī)模=1+R+R2 +R3 +…R的無限次方=1/（1-R）

問題是，科學(xué)家并不清楚中東呼吸道綜合癥的增值數(shù)數(shù)值。幸運(yùn)的是，他們很清楚每次疫情暴發(fā)過程中被報(bào)告的病例數(shù)。這意味著，為了估算增值數(shù)（假設(shè)它的大小低于1），那么只需要把上面的公式反過來：

R=1-1/（疫情暴發(fā)平均規(guī)模）

在中東呼吸道綜合癥病例被報(bào)告的第一年，疾病群的規(guī)模從1個(gè)到超過20個(gè)的都有，平均暴發(fā)規(guī)模是2.7個(gè)。根據(jù)上面的公式，增值數(shù)可能為0.6左右。與之相反，2013年某國一超大城市發(fā)生H7N9禽流感疫情，但被報(bào)告的疾病群（病例數(shù)）僅為2。平均暴發(fā)規(guī)模為1.1個(gè)，由此估算出平均增值數(shù)為0.1，比中東呼吸道綜合癥的這一數(shù)值小得多。

盡管像這樣的技術(shù)只能提供非常粗略的估計(jì)值，但它們卻賦予了科學(xué)家一種在沒有詳細(xì)數(shù)據(jù)庫的情況下如何估計(jì)疾病風(fēng)險(xiǎn)的方法。這類方法在暴發(fā)疫情期間尤其重要。從禽流感到中東呼吸道綜合癥，當(dāng)我們面對(duì)像芝諾悖論那樣不輕易暴露自己秘密的感染時(shí)，這樣的信息真是彌足珍貴。

事實(shí)上，上述故事僅僅是數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)研究中被大量運(yùn)用的一個(gè)實(shí)例而已。類似的和復(fù)雜得多的運(yùn)用還有許多，而且肯定還有數(shù)不清的類似應(yīng)用尚待開發(fā)。