李軍成

湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底 417000

利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模的邊緣檢測

李軍成

湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底 417000

現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階微分邊緣檢測算子大都是基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分而構(gòu)造，鮮有文獻(xiàn)討論基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的邊緣檢測算子。為此，分析了1～2階分?jǐn)?shù)階微分對信號的作用，基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分構(gòu)造了一種新的邊緣檢測掩模算子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算子不僅優(yōu)于常用整數(shù)階微分算子，而且比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子具有更好的邊緣檢測效果。

邊緣檢測；分?jǐn)?shù)階微分；掩模算子；1～2階微分

邊緣檢測是圖像處理的一個重要環(huán)節(jié)，也是進(jìn)行信息提取與模式識別的一個基本手段。傳統(tǒng)的邊緣檢測算子多為微分算子，主要包括一階與二階微分算子。常用的一階微分算子主要有Rebort算子、Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子等，而常用的二階微分算子則有Laplician算子和LOG算子等[1]。

近年來，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論在圖像處理領(lǐng)域中的成功應(yīng)用[2-5]，利用分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行邊緣檢測逐漸成為一個研究熱點(diǎn)。Mathieu等人[6]提出了分?jǐn)?shù)階魯棒輪廓邊緣檢測器，適當(dāng)選擇分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù)時，該檢測器不僅能選擇性地檢測出邊緣；楊柱中等人[7]構(gòu)造了一種基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分的Tiansi掩模模板，相對于傳統(tǒng)的微分算子，該模板在有效提取圖像邊緣的同時具有較高的信噪比；王衛(wèi)星等人[8]根據(jù)Tiansi掩模模板的特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的Tiansi算子，該算子在進(jìn)行邊緣檢測時可大幅增強(qiáng)圖像的紋理細(xì)節(jié)邊緣信息值；Pu等人[9]和Gao等人[10]分別利用分?jǐn)?shù)階微分替換傳統(tǒng)一階微分，構(gòu)造了兩種不同的分?jǐn)?shù)階邊緣檢測算子；汪成亮等人[11]針對Tiansi模板的最佳分?jǐn)?shù)階階數(shù)需要人為指定這一缺陷，提出了一種基于圖像紋理復(fù)雜度的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分算法；何春等人[12]首先利用分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分組成復(fù)合導(dǎo)數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上提出了一種基于復(fù)合導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算子；蔣偉等人[13]基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分理論和傳統(tǒng)的Sobel算子，提出了一種分?jǐn)?shù)階Sobel算子的邊緣檢測模型。

現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階微分邊緣檢測算子大都是基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分而構(gòu)造，相對于傳統(tǒng)的微分算子，0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子的邊緣檢測方法不僅能有效提取圖像的邊緣信息，而且還能保留圖像的紋理細(xì)節(jié)，對噪聲也具有一定的抑制作用。在分?jǐn)?shù)階微分中，除了可以定義0～1階分?jǐn)?shù)階微分，還可定義1～2階分?jǐn)?shù)階微分[14]。然而，目前鮮有文獻(xiàn)討論基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分構(gòu)造的邊緣檢測算子。為此，本文基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分構(gòu)造了一種用于邊緣檢測的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，該算子不僅比常見一階和二階微分算子具有更好的邊緣檢測效果，而且比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子在邊緣信息提取和紋理細(xì)節(jié)保留方面更具優(yōu)勢。

1 1～2階分?jǐn)?shù)階微分

1.1 1～2階分?jǐn)?shù)階微分的定義

分?jǐn)?shù)階微分也稱為非整數(shù)階微分，是整數(shù)階微分運(yùn)算的一種推廣。從不同的應(yīng)用角度分析問題可得到不同的分?jǐn)?shù)階微分定義。經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微分定義主要有Grümwald-Letniko、Riemann-Liouville和Capotu定義[15]。由于Grümwald-Letniko定義是通過將經(jīng)典微分定義中的階數(shù)由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)推衍而來，在信號的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中表現(xiàn)得更為精確，因此成為圖像處理中較為常用的一種分?jǐn)?shù)階定義。

不失一般性，將函數(shù)s(x)的持續(xù)期[0，x]進(jìn)行N等分，共得N+1個節(jié)點(diǎn)，這N+1個因果像素點(diǎn)的值分別記為：

將圖像的邊界作周期擴(kuò)展，對圖像中的非因果像素點(diǎn)進(jìn)行處理，即

于是，基于Grümwald-Letniko定義可推導(dǎo)出函數(shù)s(x)的v階微分的差分近似公式為[14]：

注：若補(bǔ)充定義Γ(1)=0!=1，則式（1）中的分?jǐn)?shù)階階次v滿足1≤v≤2，此時將式（1）定義的分?jǐn)?shù)階微分稱為1～2階分?jǐn)?shù)階微分。

當(dāng)k=n≤N-1時，由式（1）可推導(dǎo)出二元函數(shù)f(x，y)在x方向和y方向上1～2階分?jǐn)?shù)階微分的前3項(xiàng)近似差分表達(dá)式可表示為：

不難驗(yàn)證，當(dāng)v=1時，式（2）與式（3）變?yōu)橐浑A微分的差分近似表達(dá)式，即

當(dāng)v=2時，式（2）與式（3）變?yōu)槎A微分的差分近似表達(dá)式，即

由此可見，1～2階分?jǐn)?shù)階微分是一階與二階微分的一種推廣。

式（4）表明函數(shù)f(x，y)在y軸負(fù)向和x軸負(fù)向上1～2階分?jǐn)?shù)階微分的前3項(xiàng)近似差分表達(dá)式中的系數(shù)之和不為零，這也是1～2階分?jǐn)?shù)階微分與整數(shù)階微分的顯著區(qū)別之一。

1.2 1～2階分?jǐn)?shù)階微分對信號的作用分析

將式（1）中的整數(shù)階微分算子Dk推廣為任意階微分算子Dv(v∈R+)，則分?jǐn)?shù)階微分fv(t)在頻域的形式可表示為[7]：

由式（5）與式（6）可得一階、二階和1～2階分?jǐn)?shù)階微分對信號的幅頻特征曲線如圖1所示。

圖1 微分對信號的幅頻特征曲線圖

由圖1可知，隨著微分階數(shù)的增加，微分運(yùn)算對高頻信號的提升作用呈非線性的增長，同時，不同階數(shù)的微分運(yùn)算對低頻信號都有一定的削弱作用。一階微分運(yùn)算對甚高頻信號的提升作用明顯小于二階微分運(yùn)算，且對甚低頻信號的削弱作用也明顯大于二階微分。雖然1～2階分?jǐn)?shù)階微分對甚高頻信號的提升作用小于二階微分，但要大于一階微分，高頻信號得到了足夠程度的提升；同時，1～2階分?jǐn)?shù)階微分對中低頻信號有一定的增強(qiáng)，且對甚低頻信號也進(jìn)行了較大程度的非線性保留。因此，對于紋理細(xì)節(jié)較為豐富的圖像，利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行邊緣檢測不僅可以較為精確地提取圖像的邊緣信息，而且還可以較大程度地保留圖像的紋理細(xì)節(jié)。由于邊緣和噪聲都是高頻信號，當(dāng)圖像存在噪聲時，1～2階分?jǐn)?shù)階微分在增強(qiáng)邊緣的同時也會增強(qiáng)噪聲，所以由1～2階分?jǐn)?shù)階微分對高頻信號的提升作用可知，1～2階分?jǐn)?shù)階微分的抗噪性比二階微分好，但要比一階微分差。在實(shí)際應(yīng)用中，為了獲得令人滿意的邊緣檢測效果，可先對圖像進(jìn)行去噪處理后再利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行邊緣檢測。

圖2 不同方向上的掩模算子

2 基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的邊緣檢測

2.1 1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的構(gòu)造

與文獻(xiàn)[14]類似，依據(jù)式（2）與式（3）首先構(gòu)造出x軸正向和y軸正向上大小為3×3的1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，然后類似地可分別構(gòu)造出x軸負(fù)向、y軸負(fù)向、左右對角上下方向等6個方向的大小為3×3的1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，于是可得8個對稱方向上的1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，如圖2所示。

將所構(gòu)造的8個方向的掩模算子相加，得到具有旋轉(zhuǎn)同向性的最終1～2階分?jǐn)?shù)階掩模算子W(x，y)，如圖3所示。

特別地，在W(x，y)中取v=1或v=2且將每一項(xiàng)除以-1，則W(x，y)分別變?yōu)椋?/p>

圖3 最終分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

顯然，W1(x，y)與W2(x，y)是8-領(lǐng)域的二階Laplacian算子[1]。由此可見，1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子是二階Laplacian算子的一種擴(kuò)展。

與常用一階微分算子（如Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Canny算子等）以及二階微分算子（如Laplacian、LoG算子等）相比，本文構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子含有1個分?jǐn)?shù)階參數(shù)v，這個參數(shù)的取值對圖像邊緣信息的提取和紋理細(xì)節(jié)的保留具有重要作用。對于不同的圖像，用戶也可通過調(diào)整分?jǐn)?shù)階參數(shù)v的取值獲得不同的邊緣檢測效果。

另一方面，本文構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子是一種基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的邊緣檢測算子，而現(xiàn)有的其他分?jǐn)?shù)階微分邊緣檢測模型大都是基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分而構(gòu)造，相對而言，本文構(gòu)造的1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子在圖像邊緣的提取和紋理細(xì)節(jié)的保留方面更有優(yōu)勢。

2.2 算法步驟

設(shè)灰度圖像函數(shù)為f(x，y)，則利用本文構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子對圖像進(jìn)行邊緣檢測的步驟為：

步驟1對圖像f(x,y)進(jìn)行去噪處理，得圖像f*(x,y)。

步驟3適當(dāng)選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)v(1＜v＜2)，利用分?jǐn)?shù)階微分掩模算子W*(x，y)對圖像f*(x，y)進(jìn)行卷積運(yùn)算，得圖像的分?jǐn)?shù)階掩模運(yùn)算值G(x，y)=W*(x，y)*f*(x，y)。

步驟4圖像的邊緣信息值E(x，y)為：

E(x,y)=G(x,y)-f*(x,y)=W*(x,y)*f*(x,y)-f*(x,y)

步驟5適當(dāng)選取閾值T，得二值化的邊緣圖像e(x，y)為：

由上述步驟可知，在利用本文算法進(jìn)行邊緣檢測時，分?jǐn)?shù)階參數(shù)v和閾值T的大小決定了邊緣檢測效果。因此，要根據(jù)具體的圖像合理地選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)v和閾值T。在實(shí)際應(yīng)用中，可先對分?jǐn)?shù)階參數(shù)v和閾值T賦予一個適當(dāng)?shù)臄?shù)值，若所獲得的結(jié)果不滿意，則可將v和T的取值作適當(dāng)修改，直到滿意為止。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在PC機(jī)上（CPU：Pentium T4400，RAM：2 GB，OS：WIN7 Basic）利用MATLAB7.0軟件進(jìn)行邊緣檢測實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)分為兩組。

第1組實(shí)驗(yàn)以Lena圖為例，對比觀察常用一階、二階微分算子及本文算法的邊緣檢測效果，如圖4所示。在實(shí)驗(yàn)中，Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、LoG算子及Canny算子的閾值采用Matlab7.0自帶的邊緣檢測函數(shù)edge.m中的默認(rèn)閾值，該閾值是算法根據(jù)圖像梯度幅值的概率密度而確定；Laplacian算子的最佳閾值取T=70；本文算法中對圖像的去噪算法采用的是Matlab7.0自帶的3×3自適應(yīng)Wiener線性濾波函數(shù)。

圖4 本文算法與常用整數(shù)階微分算子的邊緣檢測效果對比

由圖4可知，Roberts算子檢測到的邊緣出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的不連續(xù)現(xiàn)象；Sobel算子和Prewitt算子的邊緣檢測效果基本相當(dāng)，都要優(yōu)于Roberts算子，但紋理細(xì)節(jié)丟失較多；Laplacian算子在邊緣信息的提取方面具有較好的效果，但含有較多的噪聲；LoG算子與Canny算子的邊緣檢測效果較為理想，但由于都利用了高斯函數(shù)進(jìn)行濾波處理，因此也丟失了部分紋理細(xì)節(jié)；適當(dāng)選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)v與閾值T時，本文算法的兩種情況都能較好地提取圖像的邊緣信息和較大程度地保留圖像的紋理細(xì)節(jié)，且所含噪聲較少。另外，由圖4也可看出，雖然Canny算子、LoG算子與本文算法都是事先對圖像進(jìn)行去噪處理后再進(jìn)行邊緣檢測，但相對而言，本文算子在較好地提取圖像邊緣信息的同時，圖像的紋理信息也得到了較大程度的保留。因此，本文算法的邊緣檢測效果在總體上要優(yōu)于常用的一階與二階微分算子。

第2組實(shí)驗(yàn)以cameraman圖為例，對比觀察Tiansi算子[7]、分?jǐn)?shù)階Sobel算子[13]這兩種0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子與本文算法的邊緣檢測效果，如圖5所示。在實(shí)驗(yàn)中，文獻(xiàn)[7]方法的最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=0.2，閾值取T= 8；文獻(xiàn)[13]方法的最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=0.8，閾值取T= 90；本文算法的分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=1.5，閾值取T=80，對圖像采用的去噪算法是Matlab7.0自帶的3×3自適應(yīng)Wiener濾波函數(shù)。這里，所謂最佳參數(shù)指的是使得邊緣信息提取、紋理細(xì)節(jié)保留以及噪聲抑制等方面同時取得最好效果時的參數(shù)。

圖5 不同分?jǐn)?shù)階微分算子的邊緣檢測效果對比

由圖5可知，與Tiansi算子[7]、分?jǐn)?shù)階Sobel算子[13]等0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子相比，本文構(gòu)造的1～2階分?jǐn)?shù)階微分掩模算子在邊緣信息提取、紋理細(xì)節(jié)保留以及噪聲抑制等方面都具有優(yōu)勢。因此，本文算法的邊緣檢測效果在總體上也要優(yōu)于現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子。

在時間消耗方面，由于本文算法先對圖像進(jìn)行去噪處理，然后再利用3×3掩模模板進(jìn)行邊緣檢測，其復(fù)雜度要略高于Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子，但要低于LoG算子和Canny算子，因此本文算法的時間復(fù)雜度是符合實(shí)際需要的。

4 結(jié)語

本文主要討論了一種基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的邊緣檢測算子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)參數(shù)適當(dāng)取定時，該算子不僅比常用一階和二階微分算子具有更好的邊緣檢測效果，而且比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子在邊緣信息提取和紋理細(xì)節(jié)保留等方面更具優(yōu)勢，為圖像的邊緣檢測提供了一種有效的新方法。由于分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的分?jǐn)?shù)階參數(shù)和閾值需要人為設(shè)定，對于實(shí)時性要求較高的場合不太適用，因此如何根據(jù)圖像的特點(diǎn)自適應(yīng)選取閾值及分?jǐn)?shù)階參數(shù)值將是進(jìn)一步的研究問題。

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LI Juncheng

Department of Mathematics,Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi,Hunan 417000,China

The present fractional differential operators for edge detection are constructed based on 0～1-order fractional differential.There are rare papers which discuss the edge detection based on 1～2-order fractional differential.This paper analyses the effect of 1～2-order fractional differential to signal,and then constructs a novel mask operator for edge detection based on 1～2-order fractional differential.Experimental results demonstrate that the novel fractional operator is better than the normal integer order differential operators,and has better edge detection results than some present 0～1-order fractional differential operators.

edge detection;fractional differentiation;mask operator;1～2-order differential

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0184

LI Juncheng.Edge detection using 1～2-order fractional differential mask.Computer Engineering and Applications, 2014,50（21）：14-18.

湖南省自然科學(xué)基金（No.13JJ6081）；湖南人文科技學(xué)院省級重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科“計算機(jī)應(yīng)用技術(shù)”資助。

李軍成（1982—），男，博士在讀，主要從事計算機(jī)輔助幾何設(shè)計、數(shù)字圖像處理等方面的研究。

2014-03-14

2014-04-29

1002-8331（2014）21-0014-05

CNKI出版日期：2014-05-22，http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0184.html